数学人教版九年级下册反比例函数的图象和性质的应用.ppt

1、林口中学 杨忠全,反比例函数的图象和性质的综合应用,一：点在反比例函数图像上,二：反比例函数的增减性,三：反比例函数的三角形面积性质,四：反比例函数与一次函数的交点及综合应用问题,五：反比例函数与一次函数综合及三角形的面积问题,二四象限,一三象限,位置,增减性,位置,增减性,y=kx ( k0 ),直线,双曲线,y随x的增大而增大,一三象限,y随x的增大而减小,二四象限,y随x的增大而减小,y随x的增大而增大,填表分析正比例函数和反比例函数的区别, 1,一、三,减少,1.已知反比例函数 的图像经过点(m,-2m),则m=_;,3.已知反比例函数的图像经过点(-1,2), 则该函数的解析式为_;

2、又若 点(2,a)在此图像上则a=_.,-1,4.已知反比例函数 与一次函数 的图像的一个交点的纵坐标是 4 , 则k的值是 _ , 这两个函数的解析式分别为_、_.,-8,y=2x-8,5.若 为反比例函数，则m_ .,6.若 为反比例函数，则 m_ .,要注意系数哦！,2,-1,做一做：,一、三,减小,m2,知识点一点在反比例函数图象上,例1、已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？,例1、已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些

3、象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？,解：（）设这个反比例函数为，,解得： ,这个反比例函数的表达式为,这个函数的图象在第一、第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小。,图象过点A（2，6）,（）把点、和的坐标代入，可知点、 点的坐标满足函数关系式，点的坐标不满足函数关系式， 所以点、点在函数的图象上，点不在这个 函数的图象上。,例1、已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？,练习1：如图，某个反比例函数

4、的图象经过P，则它的解析式是（ ）,A、 B、 C、 D、,D,B,练习3：已知一个反比例函数的图象经过点A(3,-4). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?在图象的每一支上, y随x的增大如何变化? (2)点B(-3,4) 、 点C(-2,6)和点D (3,4)是否在这个函数的图象上?,知识点二反比例函数的增减性的应用,反比例函数的性质,双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.,复习题：,1反比例函数的图象经过点（1，2），那么这个反比例函数的解析式为，图象在 第象限， 它的图象关于成中心对称 2反比例函数 的图象与正比例函数 的图象 交于点A（1，m），则m，反比

5、例函数的解析式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是,二、四,坐标原点,2,(1,2),合作完成,两个分支 关于原点 成中心 对称,两个分支 关于原点 成中心 对称,在第一、 三象限内,在第二、 四象限内,?,?,反比例函数的性质,1.当k0时,函数值y随自变量x的增大而减小；,2.当k0时,函数值y随自变量x的增大而增大。,讨论,当 时，在 内， 随的增大而,观察反比例函数 的图象,说出y与x之间的变化关系:,A,B,C,D,A,B,C,D,减少,每个象限,当 时，在 内， 随的增大而,增大,每个象限,例题2、 已知点（2，y1)（1，y2）（-1，y3）(-2，y4） 在y=1/x的图象上，比

6、较y1，y2，y3，y4的大小. 方法1： X分别取2、1、-2，-1，代入函数式中，求 出y1，y2和y3 、y4 方法2： 作函数图象，将4个点标在曲线上，观察 方法3： 利用性质进行分析和判断,变式训练：已知y = k/x(k 0)上三个点 (a1，y1),(a2，y2)，（a3，y3）,若a1 a20 a3, 比较y1，y2，y3的大小,练习：,1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 都在反比例函数 的图象上,则y1与 y2的大小关系为 .,y2y1,y1 0y2,已知 是反比例函数 的图象上的三点 ，且，则 的大小关系是（） ,练习4： 在反比例函数 的图象上有三点（x1，y1

7、）、（x2，y2）、（x3，y3）， 若x1x20 x3，则下列各式中正确的是（） A、y3y1y2 B、y3y2y1 C、y1y2y3 D、y1y3y2,A,1用“”或“”填空： （1）已知和是反比例函数的两对自变 量与函数的对应值若，则 （2）已知和是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值若，则 ,2已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且，则 的大小关系是（） （A） （B） （C） （D）,3已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ,4已知反比例函数 （1）当x5时，0y 1； （2）当x5时，则y 1, （3）当y5时，x？

8、,C,或y 0,0x1,知识点二反比例函数的增减性的应用,例3. 如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（a，b）和b（a，b），如果aa， 那 么b和b有怎样的大小关系？,例3.如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和b（a，b），如果aa，那 么b和b有怎样的大小关系？,解：（）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限

9、。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。,函数的图象在第一、第三象限,解得 ,（），在这个函数图象的任一支上，随的增大而减小，,当时,例3. 如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（a，b）和b（a，b），如果aa， 那 么b和b有怎样的大小关系？,练习：目标P15 第2、3、5题,17.1.2反比例函数的图像与性质综合运用（3）,面积问题,性质：,当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内.,双曲线关于原点和直线y=x

10、对称.,双曲线无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴.,当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.,位置：,增减性：,渐近性：,对称性：,回顾,练 习,1. 已知k0,则函数 y1=kx,y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( ),D,练 习,2. 已知k0,则函数 y1=kx+k与y2= 在同一坐标系中 的图象大致是 ( ),C,如图函数 在同一坐标系中的大致图象是（ ）,D,面积性质一,面积性质二,A.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3,S2,A,如图所示，A（x1 ，y1）、B（x2 ，y2）、 C（x3 ，y3）是函数y=

11、 的图象在第一象限分支上的三个点，且 x1 x2 x3 ，过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论中正确的是( ),1,A、S1S2S3 B、S3 S2 S1 C、S2 S3 S1 D、S1= S2 = S3,D,如图，点A是反比例函数图象上的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知SAOT=3 则此函数的表达式为_,面积性质三,A.S = 2 B.24,解:由上述性质(3)可知, SABC = 2|k| = 4,C,直线y=kx与反比例函数y= 的图象相交 于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，求SABC,6,、

12、正比例函数y=x与反比例函数y= 的图象相交于 A、C两点.ABx轴于B,CDy轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为( ) （A）1 （B） （C）2 （D）,C,1.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PDx轴于D.则POD的面积为 .,(m,n),1,SPOD =ODPD = =,练习,2.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PAx轴于A, PBy轴于B.则长方形PAOB的面积为 .,2,SPOD =ODPD = =,3.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的 关系式是 .,4. 点P是反比例函数图象上的一点,过点P

13、分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的 关系式是 .,5.一个反比例函数在第三象限如图所示,若A是图象上任意一点,AMy轴于M,O是原点,如果AOM的面积是3,那么这个反比例函数的解析式是什么?,A,A.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3,S1,S3,S2,如图:A、C是函数 的图象上任意两点，,A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.,C,请谈谈你的收获,巴蜀英才：P20第二课时,一次函数与反比例函数综合图象问题,知识点4反比例函数与一次函数的交点及综合问题,典例分析： 1、反比例函数y= -,的图象大致是（ ）

14、,2.已知直线ykxb的图象经过第一、二、四象限，则函数,的图象在第 象限限,2.,3.正比例函数,和反比例函数,在同一坐标系内的图象为（ ）,4. 当k0时，反比例函数,和一次函数ykx2的图象大致是( ),(A) (B) (C) (D),5在同一坐标系中，y(m1)x与,的图象的大致位置不可能的是( ),(A) (B)(C) (D),6、函数y=kx-k 与 y=,在同一条直角坐标系中的 图象可能是,7函数yaxa与,（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）,8、（北京西城）在同一坐标系中，函数,和,的图像大致是（ ）,A B C D,例4、如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数 的图象

15、交于A（2，1）、 B（1，n）两点 求反比例函数和一次函数的解析式,知识点4反比例函数与一次函数的交点及综合问题,如图,已知一次函数y=kx+b(k0)的图象与 x轴.y轴分别交于A.B两点,且与反比例函数 y=m/x(m0)的图象在第一象限内交于C点,CD 垂直于x轴,垂足为点D,若OA=OB=OD=1. (1)求点A.B.D的坐标; (2)求一次函数和 反比例函数的解析式,D,学以致用,解（1）A（-1，0）B（1，0） C（1，0）,（2）把A（-1，1）B（1，0）代入=kx+b中得 b=1 -k+b=0 k=1 y=x+1 当x=1时，y=1+1=2 C(1,2) 把C(1,2)代

16、入y=m/x中 2=m/1 m=2 y=2/x,如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 y= 交于M （2，m） 、N （-1，-4）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。,N（-1，-4）,M（2，m）,（1）求反比例函数和一次函数的解析式；,解（1）点N（-1，-4）在反比例函数图象上 k=4, y= 又点M（2，m）在反比例函数图象上 m=2 M（2，2） 点M、N都y=ax+b的图象上 解得a=2，b= -2 y= 2x-2,N（-1，-4）,M（2，m）,（2）观察图象得： 当x-1或0x2时，反比例函数的

17、值大于一次函数的值,（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。,如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2= （k0）分别交于点C、D，且C点坐标为（-1，2）,(3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，y1y2,（2）求出点D的坐标；,（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；,求（1）一次函数的解析式 （2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。,超越自我,求（1）一次函数的解析式 （2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。,知识点五：三角形面积问题,k0,k0,1.函数图象的两个分支

18、分别在第一、三象限,图 象,性质,y=,反比例函数图象性质,2.在每个象限内，y随x的增大而减小,并且第一象限内的 y 值总大于第三象限内的 y 值；,1.函数图象的两个分支 分别在第二、四象限,2.在每个象限内，y随x的增大而增大,并且第二象限内的 y 值总大于第四象限内的 y 值；,2.反比例函数图象自身都是轴对称图形,有两条对称轴;,3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.,1.反比例函数图象无限向 x，y 轴逼近，但总不相交；,看下面的图象说一说y随x的变化情况,总结与对比,在图象所在象限内，y随x的增大（减少）而减少（增大）,在图象所在象限内，y随x的增大（减少）而

19、增大（减少）,4.反比例函数 ,在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，则m=_.,2.反比例函数 的图象经过点(2,-3), 则它必经过点(-1,_).,1.反比例函数 经过点(m,2),则m的值_.,性质应用,3.对于函数 ,当x0时，图象在第_象限, y随x的值增大而_,当x0时图象在第_象限, y随x的值增大而_.,四,二,增大,增大,3,2,6,知识点五：三角形面积问题,例 5如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标 是6。 （1）求这个一次函数的解析式 （2）求三角形POQ的面积,直线与双曲线,检测1：,1、反比例函数 的图象经过（2，-1），则k的值为 ；,2、反比例函数 的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数图象上，则n等于（ ） A、10 B、5 C、2 D、-6,-1,A,B,4、 已知点P在函数 （x0）的图象上， PAx轴、PBy轴，垂足分别 为A、B，则矩形OAPB的面积为_.,2,2、已知函数y=(m2-2m)x m2-m-3(1)当m _时,它是反比例函数；(2)它的图像在_象限