第七课第五课时 依法保护消费者的合法权益(一)

1、1.5 一元二次不等式的解法教学目的使学生理解一元二次不等式的概念，掌握它的解法；使学生知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；3.使学生了解简单的分式不等式的解法.重点难点重点：一元二次不等式的解法.难点：必要的讨论.关键：弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.教学设想 1.教法 2.学法 3.课时：2课时.教学过程1.5.1 一元二次不等式的解法、步骤 一、复习引入在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么它们三者之间有什么关系呢？思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y0？它的对应值表与图象如下：x

2、22.533.544.55y-3-2-10123由对应值表与图象（图1-10）可知：当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x3.5时，y0，即2x-73.5时，y0，即2x-70.一般地，设直线y=ax+b与x 轴的交点是(x0，0),则有如下结果： 一元一次方程ax+b=0的解是x0； 当a0时，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.当a0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+bx0. 在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-x-6，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y0？当时我们又是怎样解决的呢？当时我们是

3、通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象如下：x-3-2-101234y60-4-6-6-406由对应值表与图象（图1-11）可知：当x=-2或x=3时，y=0，即x2-x-6=0；当-2x3时，y0，即x2-x-60；当x3时，y0，即x2-x-60.这就是说，若抛物线y=x2-x-6与x轴的交点是(-2，0)与(3，0),则一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2，x2=3. 一元二次不等式x2-x-60的解集是x|-2x0的解集是x|x3.因此这个问题实际就是解方程x2-x-6=0和解不等式：x2-x-60的问题.这样的不

4、等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.二、学习、讲解新课什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0，3x2-6x-2，-2x2+30或ax2+bx+c0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，设其判别式为=b2-4ac，它的解按照0 , =0，0)与x

5、轴的相关位置也分为三种情况（图1-12），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0）的解集我们也分这三种情况进行讨论. 若0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴有两个交点（图1-12），即方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实根x1，x2（x10（a0）的解集是x|xx2；不等式ax2+bx+c0）的解集是x|x1x0)与x轴只有一个交点（图1-12），即方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实根x1=x2=-b/2a,则不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x-b/2a；不等式ax2+bx+c0）的解集是.若0)与x轴没有交点（图1-

6、12），即方程ax2+bx+c=0(a0)无实根，则不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是R；不等式ax2+bx+c0）的解集是.对于二次项系数是负数（即a0.解：0，2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2,x2=2.不等式的解集是x | x2.例2 解不等式 -3x2+6x2.解：整理，得3x2-6x+20，方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+.不等式的解集是x | 1-x0.解：=0，方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2.不等式的解集是x | x1/2.例4 解不等式 -x2+2x-30.解：整理，得x2-2x+30.0(或0) 计算判别式，分析不等式的解的

7、情况：0时，求根x1x2，=0时，求根x1=x2=x0，0时，方程无解， 写出解集.练习：P20练习1-3.答案：x|1/3x2；x|x-2/3,或x1/2；R.x=2-,或x=2+；x2+；2-xb，两边同除于a时要看a的符号，必要时要讨论；不等式组求公共解时要借助于数轴，注意边界点.2一元二次不等式的解与一元二次方程的解、相应的二次函数图象相对于x轴的位置密切相关（见课本P39的图表），注意解题的格式，脑子里要有图象，注意必要的讨论.四、布置作业（一）复习：看课本，进一步巩固一元二次不等式的解法、步骤.（二）书面：P21-22习题1.5：1；3；6.答案：x|x5/2；x|-1/2x1；当

8、x=5，或x=9时，y=0；当x9时，y0；当5x9时，y0；当x=2时，y=0；当x时，y0.由A=x|x2+3x+20=x|-2x0时，方程ax2-2ax+a+3=0无解，原不等式的解集是；当a0时，方程ax2-2ax+a+3=0的两解为，原不等式的解集是x|.（四）预习：课本P20-21的内容和练习.1.5.2 特殊的高次不等式、分式不等式的解法一、复习引入 复习：一元二次不等式的解法、步骤. 引入:上节课我们已经知道，一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的解和二次函数的图象的关系.如果一个一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根x10，就要找这三部分中使ax2+bx+c大于0的部分；

9、同样，解ax2+bx+c0，就是要求这三部分中使ax2+bx+c小于0的部分.利用这种思想，我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法.二、学习、讲解新课 一元二次不等式与特殊的高次不等式例1 解不等式 (x-1)(x+4)0.思路一：利用前节的方法求解；思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组：与的解集的并集，即x|=x|-4x1=x|-4x1.书写时可按下列格式：解：(x-1)(x+4)0或x或-4x1-4x1，原不等式的解集是x|-4x1.思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求

10、其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4x0(0；(x-1)(x+2)(x-3)0；x(x-3)(2-x)(x+1)0.答案：x|x3；x|-2x3；x|-1x0或2x0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为：-2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+各因式

11、积-+-+由上表可知，原不等式的解集为：x|-2x3.思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用图1-13表示，由图即可写出不等式的解集.由此看出，如果不象上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0.解：将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)0；求得相应方程的根为：-1，0，2

12、，3；在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如下图：原不等式的解集为：x|-1x0或2x3.例2 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：原不等式的解集为：x|-1x2或2x3.说明：3是三重根，在C处穿三次，2是二重根，在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习3：解不等式：(x-3)

13、(x+1)(x2+4x+4)0.解：将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；在数轴上表示各根并穿线，如图：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 分式不等式什么叫分式不等式？由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如，等都是分式不等式.分式不等式的解法由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x

14、的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)/g(x)的形式.例3 解不等式：.解法1：化为两个不等式组来解：x或-7x3-7x3，原不等式的解集是x| -7x3.解法2：化为二次不等式来解：-7x3，原不等式的解集是x| -7x3.说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是x| -7x3.例4 解不等式：.解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：，原不等式的解集为x| -1x1或2x3.练习：课本P21练习：3；解不等式

15、.答案：1.x|-5x8；x|x-1/2；2.x|-13x-5.例5 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)0，相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？讨论：10当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -3x-a.20当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -3x4.30当-a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -ax4.40当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| x-3.50当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不

16、等式的解集为x| x4.三、小 结 特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为f(x)/g(x)0(或f(x)/g(x)0)的形式，转化为：，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 .一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.注意必要的讨论.一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.四、布置作业（一）复习：阅读

17、课本，进一步熟悉巩固各种不等式的解法.（二）书面：课本P22习题1.5：2；5；8.答案：2.x|-2/3x1/2；x|x-3/5，或x2；5.化为与之等价的不等式组解得：x|-2x-1，或2x3.8.化为与之等价的不等式组或利用区间法求解：得x|x4/3；x|-2/5x15/2.补充：解不等式：.（答：x|x0或1x2）（三）思考题：若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.(提示：4x2+6x+3恒正)（答：1k0(4x2+6x+3恒正)，原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k0对x取任何实数均成立.=-2(k-3)2-8(3-k)0k2-4k+30

18、1k3. k的取值范围是（1，3）.例2 已知关于x的二次不等式：ax2+(a-1)x+a-10的解集为R，求a的取值范围.分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a0 且0.解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，即a-1/3.a的取值范围是a(-,-1/3).说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么？）例3 当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有: 两个实根；一正根和一负根；正根绝对值大于负根绝

19、对值；两根都大于1.解 ：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x1，x2 若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：m.此时m的取值范围是，即原方程不可能有两个正根.若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：m5.此时m的取值范围是(-,5).若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：m0，得m0的解集为x|1/3x0的解集为x|x2，求实数m的值.(答：m=-14)已知关于x的二次不等式px2+px-40对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p0且0，得pp|-16p0)若y=ax2+bx

20、+c经过(0，-6)点，且当-3x1时，y0，求实数a,b,c的值.（答：a=2,b=4,c=-6）已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.解：要原方程有两个负实根，必须:.实数k的取值范围是k|-2k-1或2/3k1.（三）思考题：已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集为R，求实数a的取值范围.解：若a2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和x|x1/2；若a2-10，即a1时，要使原不等式的解集为R，必须.实数a的取值范围是(-3/5,1)1=(-3/5,1).（四）预习：课本P23阅读材料：集合的元素个数.1.5.4 集

21、合的元素个数（阅读材料）教学目的使学生了解集合元素个数的概念和表示方法，会用其解决一些简单的实际问题.教学过程一、复习引入1什么叫做交集？什么叫做并集？如何表示？2问题：学校小买部进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，问：两次一共进了几种货？两次进的货中相同的品种有几种？就前一问，如果回答两次一共进了10种货，显然是不对的.今天我们从集合的角度来考虑解决这类问题.二、学习、讲解新课集合元素个数的表示法及计算公式在研究集合时，常常会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记作card(A).例如

22、，A=a，b，c，则card(A)=3. 下面我们从集合的角度来分析开始提出的问题：分析：用集合A表示第一次进货的品种，集合B表示第二次进货的品种，则A=圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，B=圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面,card(A)=6，card(B)=4.要求两次一共进了几种货？实际就是求card(AB)；要求两次进的货中相同的品种有几种？实际就是求card(AB).解：设集合A表示第一次进货的品种，集合B表示第二次进货的品种，则两次进货的总种数为card(AB)，两次进的货中相同的品种数为card(AB).而card(AB)=8，card(AB)=2.两次一共进了8种货；两次进

23、的货中相同的品种有2种.问：由此例，你能看出card(A),card(B), card(AB)，card(AB)之间有什么关系吗？结论：对任意两个有限集合A，B，有card(AB)= card(A)+ card(B)- card(AB).2.例 与 练例 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，那么两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，则AB就是两次运动会都参赛的学生的集合. card(A)，card(B)，card(AB)是已知的，于是可

24、根据上面的公式求出card(AB).解法1：设A=田径运动会参赛的学生，B=球类运动会参赛的学生，则AB=两次运动会都参赛的学生，AB=所有参赛的学生，card(AB)= card(A)+ card(B)- card(AB)=8+12-3=17.答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.解法2（图解法）：在右下图中相应于AB的区域里先填上3（card(AB)=3），在再A中不包括AB的区域里填上5(card(A)- card(AB)=5)，在B中不包括AB的区域里填上9(card(B)- card(AB)=9)，最后把这三部分中的数加起来得17，这就是card(AB).说明：注意填入各区域的数是元素的个数，不是元素；这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三个以上集合的交、并的问题）更能显示出它的优越性；对于简单的问题也可以不用有关