随机微分方程及其受噪声干扰的影响

1、随机微分方程及其受噪声干扰的影响 在现实生活中，有时会发生一些突然地变化，比如建筑工程，生物工程，经济，人口等系统。在事物发展过程中，有一些是事物内在，或者环境发生变化时，产生的不确定性，称为随机系统。随着社会的不断发展，往往由于一些不确定的噪声因素，会发现一些确定性的脉冲微分方程不足以严格的描述某个模型，从而引入了具有不确定性的随机微分方程。它在科学领域和工业发展上起到很重要的角色，因为它更加能够准确的阐述现实生活中的突变和随机因素。 因为噪声的随机性和不确定性，难以表达出随机微分方程的解，研究随机微分方程精确解和数值解的性质就被凸显出来。在随机微分系统中，噪声和概率分布联系起来，从而产生许

2、多意义下的收敛性和稳定性。现讨论噪声干扰对随机微分方程的一方面的影响：能够抑制微分方程的指数增长，使它变为多项式增长。1、随机微分方程发展1997 年，毛学荣提出随机微分方程dx(t) =f (x(t),t)dt +g(x(t),t)dB(t)漂移项和扩散项满足全局李普希兹条件和线性增长条件条件时，随机微分方程应用Euler-Maruyama 是收敛的。Saito 和Mitsui在1996 年考虑了带有多维噪音的随机微分方程均方稳定性，随着进一步的研究，在2000 年Higham提出了如果漂移项的增长超过这个范围时，A-Stability 是可以保持的。2000 年Bucwark等人研究随机延

3、迟微分方程的方法的收敛性。在2002年Higham等人进一步研究提出减弱了条件，把全局Lipschitz改为局部Lipschitz，同时方程解的p 阶矩有界，证明了非线性随机微分方程应用Euler-Type 方法的强收敛性。在2003年Higham 和Mao等人研究了随机微分方程数值解的收敛条件和稳定性条件的关系，并且给出了非线性随机微分方程应用Backward-Euler方法均方指数稳定的充分条件。同年Mao中证明随机延迟微分方程应用于Euler-Maruyama 方法是收敛的。Higham等研究了带有泊松跳的随机微分方程，通过泰勒法则给出了更弱的条件，使其应用Euler-Maruyama方

4、法收敛。2009年Mao Wei构造了一种特殊的划分，采用方法证明了数值解的相容性和收敛性。2012年Song Minghui和Yu Hui进一步研究带有泊松跳的随机延迟微分方程，并在不满足全局Lipschitz时，也证明了收敛性。 对于一个常微分方程系统 它的解可能是稳定的，也有可能不是稳定的。噪声干扰可以使一个不稳定的系统变得稳定，也可以使一个稳定的系统变得更加稳定。对系统（1.1）加入一个干扰后，转化为随机微分方程系统当上述随机微分方程系统的系数满足李普希茨条件和线性增长条件时，介绍它的一些增长性变化。2、 基本记号与概念定义 2.1 设(,F,P)是一个概率空间，如果满足(i) 由F

5、的子集构成的域；(ii) 当时，；则称为流。注：若，则是右连续的。满足右连续且F0 包含所有零测集称作带流的完备概率空间满足一般条件。定义 2.2 (,F,P)是完备的概率空间，是该空间上的流，一族定义在(,F,P)上的随机变量，称为在状态空间Rd和示性空间I 上的随机过程。如果对于每个，Xt 都是Ft 可测，那么是Ft 适应的。定义 2.3 (,F,P)是概率空间，如果B(t)满足(i) B(t)是实值连续且 Ft 可适应的随机过程；(ii) B(0) =0；(iii) 对于, B(s)-B(t) N(0, s - t)；(iv) 当时, B(t)-B(s)关于Fs 独立；那么称B(t)为一

6、维布朗运动。定理2.1（解的存在性与唯一性定理） 假设存在两个正常数K和满足（1）（李普希茨条件）对于所有的和,有下面式子成立（2）（线性增长条件）对于所有的,有下面式子成立则方程（1.1）存在唯一的解,且.定理2.2 在单边线性增长条件成立的情况下，方程1.1的样本Lyapunov指数应该是不大于的，也就是 其中 称为样本Lyapunov函数。单边线性增长条件为：存在正数，对所有的，有成立。3、噪声干扰对微分方程的影响给定如下随机微分方程 (1.3)其中与都是Borel可测函数。并且满足。在这里，我们假设所给出的方程都是满足解的存在性与唯一性定理的。即存在两个正常数K和满足（1）（李普希茨条件）对于所有的和,有下面式子成立（2）（线性增长条件）对于所有的,有下面式子成立下面介绍噪声干扰可以抑制给定系统的指数增长，使它变为多项式增长的。假设3.1 假设两个系数f和g都满足局部李普希茨条件，也就是说，对于每一个存在一个正数HK,使得对所有的均成立，并且.假设3.2 假设存在非负常数，满足和对所有的均成立，则存在常数，使得,(其中).定理3.1 令假设3.1,3.2都成立，并且假设还存在两个正常数，使得对所有的，有。如果有成立，则方程（1.3）的解将会满足 例