第3章 动量守恒和角动量守恒

1、第3章 动量守恒 角动量守恒上一章我们研究了牛顿定律，特别是牛顿第二定律给出了力的瞬时作用规律。实际上，力对物体的作用总是要延续一段时间。在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总效果。力的时间积累效应的规律，就是动量定理。把动量定理应用于质点系，导出一个重要的守恒定律动量守恒定律。对用于质点系，引入质心的概念，并说明了外力和质心运动的关系。然后，研究和动量概念相关的、描述物体转动特征的重要的物理量角动量。在牛顿第二定律的基础上，导出角动量变化率和外力矩的关系角动量定理，并进一步导出了另一条重要的守恒定律角动量守恒定律。动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理和能量定理深

2、刻反映了机械运动与其他运动形式相互转化之间的关系，具有普遍的意义，它们是自然界最基本、最普遍的规律。这一章我们着重研究动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理。3.1 冲量与动量定理3.1.1 冲量物体运动状态的变化必须在物体运动的过程中受到力的作用，力作用到质点上，可以使质点的动量或速度发生变化。在许多实际情况下，我们要考虑力按时间积累的效果。这一效果可以直接从牛顿第二定律得出：1、牛顿第二定律的微分形式 （3.1-1）式中乘积就表示力在时间内的积累量，叫做在时间内质点所受合外力的冲量。此式表明：在时间内质点所受合外力的冲量等于在同一时间内质点动量的增量。这一关系叫做动

3、量定理的微分形式，实际上是牛顿第二定律公式数学形式的变化。2、冲量的定义 将（3.1-1）式两边对到这段时间积分，则有 （3.1-2），将 （3.1-3）称为质点的冲量。3.1.2 质点的动量定理（3.1-3）式表示在到这段时间内合力的冲量。（3.1-3）式的物理意义是：在到这段时间内，合外力作用在质点上的冲量等于质点在该时间间隔内的动量的增量，这就是质点的动量定理。其数学表达式为： （3.1-4）冲量是矢量，一般地说，冲量的方向并不与动量的方向相同，而是与动量的增量方向相同。（3.1-4）式是动量定理的矢量表达式，写成直角坐标系的分量式为， （3.1-5）在国际单位制中，冲量、动量的单位是

4、牛顿秒 或 公斤米/秒，用符号 Ns 或 表示。图3.1-1动量定理在打击和碰撞等问题中特别有用，在打击和碰撞的极短时间内物体间的相互作用力称为冲力，其特点是作用时间极短，大小随时间而激剧变化。冲力随时间变化的情况往往很复杂，有时无法知道冲力与时间的函数的关系。因此，引入平均冲量的概念，将其定义为：式中为X轴方向上的平均冲力。同样可以定义Y轴、Z轴方向上的平均冲力和。因此，虽然无法确定每一瞬时的冲力，但是都可以通过测定冲力作用前后质点的动量。利用动量定理求出质点受到的冲力，却可以通过测定冲力作用前后质点的动量，利用动量定理求出质点受到的冲量。冲力示意图如图3.1-1所示。图中曲线就是冲力随时间

5、变化的示意图，直线为平均冲力，曲线下面积与直线下面积相等，均为冲力在时间的冲量。例3.1-2、有一冲力作用在质量为0.3kg的物体上，物体最初处于静止状态。已知力的大小F与时间的关系为 ， 和，式中F的单位为N，t的单位为s。求1、 上述时间内的冲量和平均冲量的大小；2、 物体末速度的大小。解题思路：由冲量、平均冲量的定义式和动量定理进行求解。解：1、由冲量的定义式有 平均冲量的大小为 2、物体末速度的大小为 。由于动量定理的应用比较多的场合是在打击和碰撞过程中出现。因此，有些同学常常认为只有打击和碰撞这类问题才有动量问题。为了使同学们思路开阔一些，除了强调在打击或碰撞这类问题中动量定理的应用

6、以外，再分析一些其它的例子，使学生对动量、冲量和动量定理有进一步的理解可能是有意义的。 *例3.1-2 如图3.1-2所示,质量为m的物体做圆锥摆运动,其速率为v,圆半径为R, 圆锥的夹角为。分析：（1）、质点绕行半周，作用在质点上中力的冲量；（2）、质点由a到b绕行半周，绳的张力T的冲量。 解：因为质点作圆周运动运动的周期为T=，重力是恒力，所以质点绕行半周，作用在质点上中力的冲量为图3.1-2 ，方向向下。 （2）、因为质点做圆周运动，绳中的张力，虽然张力的大小不变，但是张力的方向随其运动不断地变化，张力的冲量不等于，为了计算张力的冲量，先把张力分解为水平和垂直两个分量：，所以张力的冲量；

7、又因为的大小和方向都不变，所以，与重力的冲量大小相等，方向相反。 张力的冲量有两种解法：一是矢量叠加法；二是动量定理法。下面用动量定理法求解：，如图3.1-3所示，在矢量三角形中，有：图3.1-3 例3.1-3 如图3.1-4所示，传送带以3 m/s的速率水平向右运动，砂子从高h=0.8 m处落到传送带上,即随之一起运动.求传送带给砂子的作用力的方向（g取10 m/s2） 解：设沙子落到传送带时的速度为，随传送带一起运动的速度为，则取直角坐标系，x轴水平向右，y轴向上 设质量为Dm 的砂子在Dt时间内平均受力为,则 ,图3.1-4由此式即可得到砂子所受平均力的方向,设力与x轴的夹角为则-1(4

8、/3)= 53,力方向斜向上。 3.1.3 质点系的动量定理 * 1、 质心动量 质心是力学一个重要的概念，涉及到质点系动力学问题都回避不了这个概念。质点系动量可以表示为质心的动量。由动量定义 （3.1-6）以m表示质点系的总质量，则，质点系的动量可表示为： （3.1-7）式中 （3.1-8），此式为质心矢径的定义。与参考系有关，可以证明由（3.1-8）式所确定的质心C点，相对于一定质量分布的质点系是完全确定的。质心是质点系的物理量，它是由质点系的质量决定的，与其质量分布有关，是质点的位矢对质量的加权平均。图3.1-5（3.1-7）式中是质心运动速度，用表示，则 （3.1-9）可见，我们可以把

9、质点系的动量看成是这样一个“质点”的动量，这个“质点”集中了质点系全部质量并以质心速度运动。2、质点系动量定理：系统外的质点对系统内的质点的作用称为外力，系统内质点之间的相互作用力称为内力。为了简单起见，我们先讨论由两个质点所组成的系统。设两质点的质量分别为和，在碰撞时间内，除内力和外，还分别受到外力和的作用，如图3.1-5所示。则两质点所受力的冲量和动量分别为： ，将两式相加，有+由牛顿第三定律可知：和是系统的内力，应满足=-，所以上式变成 （3.1-10）（3.1-10）式表明：作用在两个质点组成的系统的外力的矢量和的冲量等于系统内两质点动量的增量。把这一结论推广到有n个质点组成的质点系统

10、，（3.1-10）式写成， 即 （3.1-11）和分别表示系统的末动量和初动量，上式表明：作用于系统的外力的矢量和的冲量等于系统动量的增量，这就是质点系的动量定理。*3、质心运动定律：作用在质点系上的合外力等于质点系质量m与质心加速度的乘积。， （3.1-12）（3.1-12）式的质心运动定律也可以从牛顿运动定律导出。3.2 动量守恒定律动量守恒定律是物理学中普遍适用的几个守恒定律之一，在经典力学范围内，这个定律可由动量定理直接推导出来。由 ，若=0，则有 = 恒矢量 （3.2-1）上式说明：如果系统运动过程中所受外力的矢量和为零，则系统的总动量保持不变，这一结论就是动量守恒定律。应用动量守恒

11、定律解决力学问题时，可以不考虑系统在内力作用下发生的复杂变化，只需研究变化前后系统的总动量，因此可带来很大的方便。应用动量守恒定律应注意以下几点：1、系统动量守恒的条件是：，即系统所受外力的矢量和为零。在一些实际问题中，系统所受外力的矢量和虽然不为零。但是，却远远地小于内力，这时仍然可视为满足动量守恒的条件。比如：碰撞、爆炸、冲击等过程；2、动量守恒是矢量守恒，具体应用时可用直角坐标分量式：=恒量，外力；=恒量，外力；=恒量 ，外力 （3.2-2）若系统所受外力矢量和不为零，但是在某个方向上的分量为零，虽然系统的总动量不守恒，但是在该方向上动量的分量守恒；3、动量具有相对性。动量守恒定律中所涉

12、及的动量都是相对于同一惯性系的，对不同的惯性系，同一物体的动量是不相同的；4、在系统所受外力矢量和为零的情况下，虽然系统的总动量不变。但是，由于系统内各物体间内力的作用，各物体的动量都要发生转移、各物体的动量的大小和方向都可能变化。动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一，动量守恒定律虽然是从表述宏观物体运动规律导出的。但是，近代的科学实验和理论分析都表明：在自然界中，大到天体间的相互作用，小到质子、中子、电子等基本粒子间的相互作用，动量守恒定律都适用；而在原子、原子核等微观领域中，牛顿运动定律却不适用了。因此，动量守恒定律比牛顿定律运用更加广泛。碰撞问题 当两个质点（物体）相互接近时（不

13、一定接触），它们的运动发生了变化，称为碰撞。若碰撞前后两物体总动能没有损失的碰撞，叫弹性碰撞。牛顿总结了各种碰撞实验的结果，提出碰撞定律：碰撞后两个质点的分离速度（）与碰撞前两个质点的接近速度（）成正比，比值由它们的质量决定，且 （4.5-1）通常称e为恢复系数。1、当e=1时，有=，通常称为完全弹性碰撞，简称弹性碰撞；2、当e=0时，有，即碰撞后，两质点不分离，常称为完全非弹性碰撞；3、当0e故在（5）式 0，则。这说明探测器从土星旁绕过后，由于引力的作用而速率增大了弹弓效应。弹弓效应是航天技术中增大宇宙探测器速率的一种有效办法。1989年10月发射的伽利略探测器、1990年10月发射的尤里

14、西斯太阳探测器和1996年12月发射的“火星探路者”于1997年7月4日准时降落在火星上，这些宇宙探测器的发射都利用了弹弓效应。美国宇航局于1997年10月15日又发射了一颗探测土星的核动力航天器，重5.67吨的“卡西尼”号。它将航行7年，行程，将两次掠过金星，1999年8月在900km上空掠过地球，然后掠过木星。在掠过这些行星时，都是利用弹弓效应加速并改变方向，最后于2004年7月进入土星轨道，开始对土星的光环系统和它的卫星进行为期4年的考察。它所携带的“惠更斯”号探测器将在土星最大的卫星土卫六的表面着陆，考察这颗和地球早期（45亿年前）极其相似的天体。火箭的飞行原理 火箭是一种利用燃料燃烧

15、后喷出的气体产生的反冲推力的发动机。它自带燃料与助燃剂，因而可以在空间任何地方发动。火箭技术在近代有很大发展，火箭炮以及各种各样的导弹都有利用火箭发动机作动力。空间技术发展更以火箭技术为基础，各式各样的人造地球卫星，飞船和空间控测器都是靠火箭发动机发射并控制航向的。在科学史上，火箭是中国最早发明的。我国南宋时有作为烟火玩物的“起火”，明代对多箭头的火箭以及称为“火龙出水”的二级火箭已有书籍记载。1990年4月7日，我国成功地将亚洲1号通讯卫星送入太空，说明我国运载火箭技术成熟可靠。“长征二号”是我国独立研制的多用途三级火箭，它长43.25米，最大直径3.35米。起飞质量约为202吨，起飞推动力

16、248吨，可将1.4吨重的卫星送入离地约3.6公里的地球同步转移轨道,有效载荷能力居世界第四位。该火箭的特点是第一、二级用常规推进剂，而第三级则使用液氢，液氧推进剂，这是低温高能推进剂，它代表现代火箭技术的新水平。2005年11月26日，在北京人大会堂举行庆祝神舟六号载人航天飞行圆满成功的大会上，胡锦涛说：中国仅用两年的时间就实现了从“一人一天”（杨立伟）到“多人多天”（费俊龙、聂海胜）的大跨度，标志着中国在发展载人航天技术方面取得了又一个里程碑意义的重大胜利。 3.3 质点的角动量 角动量守恒定律 3.3.1 质点的角动量 物理学中经常会遇到质点绕一定点转动的情况。例如：行星绕太阳的运动，原

17、子中电子绕原子核的转动等等。在这类转动的问题中，如果用动量来描述质点的转动问题会很不方便，因为动量的方向随时间不断地变化。为此，我们引入角动量的概念，并讨论其所遵循的规律。图3.3-1质点的角动量设质量为m的质点，相对于某一参考点O运动，如图3.3-1所示。在某一时刻，质点相对于参考点O的位置矢量，其速度为，则质点动量为。我们定义：质点的位置矢量与其动量的矢积为质点相对于O点的角动量，用表示，即 （3.3-1）从角动量的定义，可以看出：1、质点的角动量与参考点的选择有关，对同一质点的运动，参考点的选择不同，其角动量不同；2、角动量是矢量，其大小为为位置矢量与速度的夹角。角动量的方向由右手螺旋法

18、则决定，如图3.3-1（b）所示。在国际单位制中，角动量的单位是。3.3.2 质点的角动量定理质量为m的质点，在某时刻质点的位置用矢量表示，是由惯性系中某参考点引向质点的矢径（如图3.3-1所示）。的大小和方向不仅与质点的位置有关，而且与参考点的选择有关。用叉乘（矢量积）牛顿第二定律等式的两边，则有，即力矩 （3.3-2）（3.3-2）式表明：质点的角动量对时间的变化率，等于质点所受的力矩，这就是质点的角动量定理。关于质点的角动量定理需要注意的是：1、 角动量定理中的角动量和力矩，必须是相对于同一个参考点；2、 角动量定理与牛顿第二定律在数学形式上相互对应，即3、微分形式 （3.3-3）3、

19、积分形式 （3.3-4）角动量定理另一表述：作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。3.3.3 角动量守恒定律1、角动量守恒定律如果对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。3、 数学表达式 或 = 常矢量 （3.3-5）角动量守恒定律和动量守恒定律一样，也是自然界的一条最基本、最重要的定律，并且在更广泛的情况下，它不依赖于牛顿定律。关于外力矩为零，这一条件应该指出的是：由于力矩，所以它既可能是外力为零；也可能外力不为零。在外力不为零的情况下，任意时刻如果外力总是与质点对于固定点的矢径平行或反平行时，。在这两种情况下，外力矩为零，这一条件都是成立的。所以，此

20、质点对该固定点的角动量矢量保持不变，即角动量守恒定律成立。下面，分别就这两种情况，举例证明：图3.3-2证明的思路和方法：从力、合外力矩、角动量的概念和定义（定律）出发，应用数理逻辑推理手段，充分利用已知条件证明之。 第一种情况、分析：根据牛顿定律可知，质点所受合外力为零时，质点作匀速直线运动，其动量为m（恒量） ；如图3.3-2所示，S s为质点轨迹。质点经过任一点C时，它对于固定点O 的角动量为=|，其方向垂直于c和 所决定的平面，其大小永远为。证明：从图3.3-2中可以得知，质点做匀速直线运动，其动量是一个不变的恒量，若质点位于C点处时，其角动量为=，式中为单位方向矢量，其垂直于位矢和动

21、量所组成的平面，即质点的角动量的方向。在三角形OAC中，=|=|；若质点位于A点处时，垂直，sinOAC = sin90 = 1，其角动量 =|=|，这是一个不变的量，也就是说：质点沿直线SS运动时，其对固定O点的角动量的方向和大小保持不变，即角动量守恒，证毕。第二种情况、行星围绕太阳运动（质点在有心力场中运动，只考究太阳对行星的引力作用，忽略其他恒星对行星的影响），太阳对行星的引力总是与其对于固定点太阳的矢径平行且方向相反，。我们来研究行星围绕太阳运动的运动:证明(开普勒第二定律)行星对太阳矢径在相等的时间内扫过相等的面积。图3.3-3证明：如图3.3-3所示，行星是在太阳引力的作用下沿椭圆

22、轨道运动的，由于引力的方向在任何时刻总与行星对太阳矢径的方向相反，所以行星受到的引力对太阳的力矩等于零。因此，行星在运动过程中，对太阳的角动量将保持不变。根据右手螺旋法则，可知：行星在运动过程中，对太阳的角动量的方向不变，也表明和所决定的平面的方位不变，这就是说：行星总在一个平面内运动，它的轨迹是一平面轨道，如图3.3-3所示，而垂直这个平面。同时由角动量的定义式，由图3.3-3可知乘积等于三角形的面积（二分之一底乘高）的两倍（忽略那个小角的面积），即； ， ，而为行星对太阳的矢径在单位时间内扫过的面积，叫做行星运动的掠面速度。行星运动的角动量守恒又意味着这一掠面速度保持不变。由此可以直接得出

23、行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积的结论。3.3.4 有关力矩和角动量的说明对于力矩和角动量都是与参考点选择有关的物理量，质点在同样的合外力作用下，对某参考点可能为零，因而角动量守恒；对于另外参考点可能不为零，因而角动量不守恒。为了说明此点，我们仍然以圆锥摆的运动来进行分析，如图3.3-5所示。 例3.3-1 质点m以速率v做圆锥摆运动。试分别以圆心O和悬挂点A为参考点分析张力矩、重力矩、合力矩和质点的角动量。 解：以圆心O为参考点，张力T的力矩为，方向与圆的切线重合，与v的方向相反；同理可得重力矩为；合力矩为图3.3-5，角动量为守恒，方向垂直向上。以悬挂点A为参考点，张力T的力矩

24、为；重力矩为；合力矩为；角动量为，方向如图3.3-5所示。从上述结果可以看出：1、对不同的参考点，力矩和角动量的大小和方向都不相同。因此，角动量是否守恒，不仅与受力的性质有关，而且还与参考点的选择有关；2、合力矩的方向与角动量的方向不一致，合力矩只是与角动量的时间变化率相联系。例如，以悬挂点A为参考点，质点的角动量为的大小不变，但是方向随质点运动而不断地变化。矢量扫过一个平顶的圆锥面，其改变量d（）与质点速度V的方向相同，与合力方向一致；4、 质点角动量定理是对惯性系中一个固定的参考点适用。在不同的惯性系中，由于质点的速度和矢径都发生了变化。因此，力矩和角动量也不相同。但是，角动量定理在不同惯

25、性系中具有相同的形式。例题3.3-2、如图3.3-6所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中心的小孔O. 该物体原以角速度w 在半径为R的圆周上绕O旋转，今将绳从小孔缓慢往下拉则物体： （A）动能不变，动量改变； （B）动量不变，动能改变； （C）角动量不变，动量不变；（D） 角动量改变，动量改变；（E）角动量不变，动能、动量都改变。 图3.3-6解: 因为 ，MZ = Frsin= 0，是因为桌面中心的小孔0又是物体的旋转轴，=，故sin=0；当MZ =0时，角动量不变；同时其速度的方向不断地改变，所以角动量不变，动能、动量都改变选（ E ）。例题3.

26、3-3、体重相等的甲乙各抓住跨过滑轮的绳的两端，如图3.3-7所示。当他们从同一高度向爬时，相对于绳，甲的速度是乙的速度的两倍。问谁先爬到顶点？ 假定绳和滑轮的质量以及各种磨擦都忽略不计。 解：将两人抽象为质A和B，以定轴O为（力矩）参考点， 设A相对于地面的速度为V1，B的速度为V2， 图3.3-7则L = mR（V1- V2）A的方向垂直于纸面、向里， 而B的方向垂直于纸面、由纸面而出；两者大小相等，方向相反，质点系所受合外力矩为零。开始时， V10= V20 = 0， L0 = 0 （1）又角动量守恒定律（M外 = 0），常量 即 L = mR（V1 - V2） = L- L0 = 0

27、V1 = V2 （2） 虽然相对于绳甲的速度是乙的速度的两倍，相对于地他们的速度相等，他们从同一从同一高度向上爬，速度相同所以他们同时到达顶点。* 3.4 质点在有心力场中的运动由于有心力的大小仅仅与质点到力心O的距离|有关，即，这样的有心力，称为中心对称有心力。因此，我们定义：有心力存在的空间为有心力场。开普勒(J.Kepler)第一(轨道)定律：一切行星都沿各自的椭圆轨道运动，太阳在该椭圆的一个焦点上。开普勒第二(面积)定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。第三（周期）定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比,即。例题3.4-1、

28、1970年，我国发射的第一颗人造地球卫星，重量为173kg，周期为T = 114min，近地点（距地心）r1= 6817km，远地点r2= 8762km，椭圆轨道长半轴a = 7790km，短半轴 b = 7720km，试计算卫星的近地点的速度和远地点的速度。解：1、设远地点速度为V1，近地点速度为V2； ，11=r1V1sin，sin90=1，同理 22= r2V2 sin= r2V2。2、根据开普勒第二定律：卫星的掠面速度为dS/dt =常量，椭圆轨道的面积 1、 数理逻辑推理 即 ， 同理 ，故 ， = 6.3 km/s4、答案：近地点的速度V1 =8.1km/s；远地点的速度V2 =6

29、.3km/s。*例题3.4-2、试证明若质点只受有心力作用，则该质点做平面运动。证明 质点只受有心力作用，它始终指向某一固定点O，力对该点的力矩（ = FrSin0= 0）为0，根据角动量定理，质点对O点的角动量是恒量 =恒矢量，方向不变，和保持在一个平面内，该质点做平面运动。例题3.4-3、人造地球卫星绕地球中心做椭圆运动，若不计空气阻力和其它星球的作用，在卫星的运行过场中，卫星的动量和对地心的角动量都守恒吗？答：人造地球卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力（重力）的作用。重力是有心力作用，它始终指向某一固定点地心，地球卫星受地心的引力矩为零，所以它的角动量守恒。习题3.1、一质量为1 kg

30、的物体，置于水平地面上，物体与地面之间的静摩擦系数m 00.20，滑动摩擦系数m0.16，现对物体施一水平拉力Ft+0.96(SI)，则2秒末物体的速度大小v_。3.2、假设作用在一质量为10 kg的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50 N，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动则物体最后的速率v_。3.3、 水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）（A）总动量守恒；（B）炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向的动量不守恒。（C）总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒。（D）总动量在任何方

31、向的分量均不守恒。 3.4、设作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3（SI），如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小I = 。3.5、一质量为m的物体，以初速成从地面抛出，抛射角，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中物体动量增量的大小为： ，物体动量增量的方向为： 。图3.13.6、质量为M=1.5kg的物体，用一根长为=1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短，求：（1）子弹在穿透过程中所受的冲量。 （2）子弹刚穿出

32、时绳中张力的大小； 3.7、物体m被放在斜面M上，如果把m和M看成一个系统。请问在下列情况下，系统水平方向分动量是否守恒？（1）、m和M间无摩擦，而M与地面间有摩擦；（2）、m和M间有摩擦，而M与地面间无摩擦；（3）、两处都没有摩擦；（4）、两处都有摩擦。3.8、质点的动量守恒与角动量守恒的条件是什么？两者能否同时守恒？试说明之。3.9、一质量为m的炮弹竖直向上抛射，初速度V0在发射后，经过ts在空中爆炸。假定分成质量相同的A、B和C三块碎片。其中A块的速度为零，B和C速度大小相等，且B的方向与水平成角。求B和C两块的速度（大小和方向）？3.10、质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面

33、的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）。 3.11、一质量为M的质点沿x轴正向运动，假设该质点通过坐标为x的位置时速度的大小为kx (k为正值常量)，则此时作用于该质点上的力F =_，该质点从x = x0点出发运动到x = x1处，所经历的时间Dt =_3.12、一块木料质量为45 kg，以 8 km/h的恒速向下游漂动，一只10 kg的天鹅以 8 km/h的速率向上游飞动，它企图降落在这块木料上面但在立足尚未稳时，它就又以相对于木料为2 km/h的速率离开木料，向上游飞去忽略水的摩擦，木料的末速度为

34、：_。图 3.23.13、一个人站在平板车上掷铅球，人和车总质量为M，铅球的质量为m，平板车可沿水平、光滑的直轨道移动设铅直平面为xy平面，x轴与轨道平行，y轴正方向竖直向上已知未掷球时，人、车、球皆静止球出手时沿斜上方，它相对于车的初速度在xy平面内，其大小为v0，方向与x轴正向的夹角为q ，人在掷球过程中对车无滑动，则球被抛出之后，车对地的速度： _，球对地的速度_ 3.14、如图3.2，有一小球从高为H处自由下落，在下落到h处碰到一个45的光滑固定斜面与其作完全弹性碰撞试计算斜面位置的高度H为多少时能使小球弹得最远？ 图 3.3 3.15、如图3.3，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高

35、h0.5 m处，煤粉自料斗口自由落在A上设料斗口连续卸煤的流量为qm40 kg/s，A以v2.0 m/s的水平速度匀速向右移动求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向（不计相对传送带静止的煤粉质重）3.16、如图3.4所示，砂子从h0.8 m 高处下落到以3 ms的速率水平向右运动的传送带上取重力加速度g10 ms2传送带给予刚落到传送带上的砂子的作用力的方向为 图 3.4(A) 与水平夹角53向下 (B) 与水平夹角53向上 (C) 与水平夹角37向上 (D) 与水平夹角37向下 图 3.53.17、有一门质量为M (含炮弹)的大炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑当滑下l距离时，从炮内

36、沿水平方向射出一发质量为m的炮弹欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止滑动，炮弹的初速v（对地）应是多少？(设斜面倾角为a ) 3.18、质量为m = 5.6 g的子弹A，以v0 = 501 m/s的速率水平地射入一静止在水平面上的质量为 M =2 kg的木块B内，A射入B后，B向前移动了S =50 cm后而停止，求： (1) B与水平面间的摩擦系数 (2) 木块对子弹所作的功W1 (3) 子弹对木块所作的功W2 (4) W1与W2的大小是否相等？为什么？3.19、两个大小与质量相同的小球，一个是弹性球，另一个是非弹性球它们从同一高度自由落下与地面碰撞后，为什么弹性球跳得较高？地面对它们的冲量是否相同？为什么？3.20、质量为m的物体，初速极小，在外力作用下从原点起沿x轴正向运动所受外力方向沿x轴正向，大小为F = kx物体从原点运动到坐标为x0的点的过程中所受外力冲量的大小为_ 3.21、质量为m的质点，以不变