挑战中考数学压轴题因动点产生的平行四边形问题

1、因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），经过点a的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点c，与抛物线的另一个交点为d，且cd4ac（1）直接写出点a的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点e是直线l上方的抛物线上的动点，若ace的面积的最大值为 ，求a的值；（3）设p是抛物线的对称轴上的一点，点q在抛物线上，以点a、d、p、q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点p的坐标；若不能，请说明理由图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15成都28”

2、，拖动点e在直线ad上方的抛物线上运动，可以体验到，当ecac时，ace的面积最大点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点h在y轴正半轴运动，观察点q和q，可以看到点q和点q都可以落在抛物线上思路点拨1过点e作x轴的垂线交ad于f，那么aef与cef是共底的两个三角形2以ad为分类标准讨论矩形，当ad为边时，ad与qp平行且相等，对角线apqd；当ad为对角线时，ad与pq互相平分且相等满分解答（1）由yax22ax3aa(x1)(x3)，得a(1, 0)由cd4ac，得xd4所以d(4, 5a)由a(1, 0)、d(4, 5a)，得直线l的函数表达式为yaxa（2）如图1，过点e作x轴的垂

3、线交ad于f设e(x, ax22ax3a)，f(x, axa)，那么efyeyfax23ax4a由sacesaefscef，得ace的面积的最大值为解方程，得（3）已知a(1, 0)、d(4, 5a)，xp1，以ad为分类标准，分两种情况讨论：如图2，如果ad为矩形的边，那么ad/qp，adqp，对角线apqd由xdxaxpxq，得xq4当x4时，ya(x1)(x3)21a所以q(4, 21a)由ydyaypyq，得yp26a所以p(1, 26a)由ap2qd2，得22(26a)282(16a)2整理，得7a21所以此时p如图3，如果ad为矩形的对角线，那么ad与pq互相平分且相等由xdxax

4、pxq，得xq2所以q(2,3a)由ydyaypyq，得yp8a所以p(1, 8a)由ad2pq2，得52(5a)212(11a)2整理，得4a21所以此时p图1 图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样解设p(1,n)如图2，当ad时矩形的边时，qpd90，所以，即解得所以p所以q将q代入ya(x1)(x3)，得所以如图3，当ad为矩形的对角线时，先求得q(2,3a)由aqd90，得，即解得例2 2014年陕西省中考第24题如图1，已知抛物线c：yx2bxc经过a(3,0)和b(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为m，它的对称轴与x轴的交点记为n（1）求抛物线c的表达式；（2）求点m的坐标；（

5、3）将抛物线c平移到抛物线c，抛物线c的顶点记为m，它的对称轴与x轴的交点记为n如果以点m、n、m、n为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线c怎样平移？为什么？图1动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点m上下运动，可以体验到，以点m、n、m、n为顶点的平行四边形有四种情况思路点拨1抛物线在平移的过程中，mn与mn保持平行，当mnmn4时，以点m、n、m、n为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为16，底边mn4，那么高nn43mn4分两种情况：点m在点n的上方和下方 4nn4分两种情况：点n在点n的右侧和左侧满分解答（1）将a(3,0)、b(0, 3

6、)分别代入yx2bxc，得 解得b2，c3所以抛物线c的表达式为yx22x3（2）由yx22x3(x1)24，得顶点m的坐标为(1,4)（3）抛物线在平移过程中，mn与mn保持平行，当mnmn4时，以点m、n、m、n为顶点的四边形就是平行四边形因为平行四边形的面积为16，所以mn边对应的高nn4那么以点m、n、m、n为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线c直接向右平移4个单位得到平行四边形mnnm（如图2）；抛物线c直接向左平移4个单位得到平行四边形mnnm（如图2）；抛物线c先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形mnmn（如图3）；抛物线c先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得

7、到平行四边形mnmn（如图3）图2 图3考点伸展本题的抛物线c向右平移m个单位，两条抛物线的交点为d，那么mmd的面积s关于m有怎样的函数关系？如图4，mmd是等腰三角形，由m(1,4)、m(1m, 4)，可得点d的横坐标为将代入y(x1)24，得所以dh所以s图4例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线yx2bxc经过a(0, 1)、b(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求tanabo的值；（3）过点b作bcx轴，垂足为c，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段ab于点n，交抛物线于点m，若四边形mncb为平行四边形，求点m的坐标图1 动感体验请打开几何画板

8、文件名“13松江24”，拖动点n在直线ab上运动，可以体验到，以m、n、c、b为顶点的平行四边形有4个，符合mn在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形mncb只有一个请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点n在直线ab上运动，可以体验到，mn有4次机会等于3，这说明以m、n、c、b为顶点的平行四边形有4个，而符合mn在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形mncb只有一个思路点拨1第（2）题求abo的正切值，要构造包含锐角abo的角直角三角形2第（3）题解方程mnymynbc，并且检验x的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将a(0, 1)、b(4, 3)分别代入yx2bxc，得 解得，c1所以抛物线的

9、解析式是（2）在rtboc中，oc4，bc3，所以ob5如图2，过点a作ahob，垂足为h在rtaoh中，oa1，所以 图2所以， 在rtabh中，（3）直线ab的解析式为设点m的坐标为，点n的坐标为，那么当四边形mncb是平行四边形时，mnbc3解方程x24x3，得x1或x3因为x3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点m的坐标为（如图3）图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点m是抛物线上的一个点，直线mn平行于y轴交直线ab于n，如果m、n、b、c为顶点的四边形是平行四边形，求点m的坐标那么求点m的坐标要考虑两种情况：mnymyn或mnynym由ynym4xx2，解方程x24x3，得

10、（如图5）所以符合题意的点m有4个：，图5例4 2012年福州市中考第21题如图1，在rtabc中，c90，ac6，bc8，动点p从点a开始沿边ac向点c以每秒1个单位长度的速度运动，动点q从点c开始沿边cb向点b以每秒2个单位长度的速度运动，过点p作pd/bc，交ab于点d，联结pq点p、q分别从点a、c同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：qb_，pd_；（2）是否存在t的值，使四边形pdbq为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点q的速度（匀速运动），使四边形pdbq在某一时刻为菱形，求点

11、q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段pq的中点m所经过的路径长图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点p运动，可以体验到，pq的中点m的运动路径是一条线段拖动右图中的点q运动，可以体验到，当pq/ab时，四边形pdbq为菱形请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点q向上运动，可以体验到，pq的中点m的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部，q的速度变成1.07，可以体验到，当pq/ab时，四边形pdbq为菱形点击动画按钮的中部，q的速度变成1.思路点拨1菱形pdbq必须符合两个条件，点p在abc的平分线上，pq/ab先求出点p运动的时间t，再根据p

12、q/ab，对应线段成比例求cq的长，从而求出点q的速度2探究点m的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点m的路径满分解答（1）qb82t，pd（2）如图3，作abc的平分线交ca于p，过点p作pq/ab交bc于q，那么四边形pdbq是菱形过点p作peab，垂足为e，那么bebc8在rtabc中，ac6，bc8，所以ab10 图3在rtape中，所以当pq/ab时，即解得所以点q的运动速度为（3）以c为原点建立直角坐标系如图4，当t0时，pq的中点就是ac的中点e(3，0)如图5，当t4时，pq的中点就是pb的中点f(1，4)直线ef的解析式是y2x6如图6，pq的中点m的坐标可

13、以表示为（，t）经验证，点m（，t）在直线ef上所以pq的中点m的运动路径长就是线段ef的长，ef图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点m的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2时，pq的中点为(2，2)设点m的运动路径的解析式为yax2bxc，代入e(3，0)、f(1，4)和(2，2)，得 解得a0，b2，c6所以点m的运动路径的解析式为y2x6例5 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的三个顶点b(1, 0)、c(3, 0)、d(3, 4)以a为顶点的抛物线yax2bxc过点c动点p从点a出发，沿线段ab向点b运动，同时动点q从点c出发，沿线段c

14、d向点d运动点p、q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点p作peab交ac于点e（1）直接写出点a的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点e作efad于f，交抛物线于点g，当t为何值时，acg的面积最大？最大值为多少？（3）在动点p、q运动的过程中，当t为何值时，在矩形abcd内（包括边界）存在点h，使以c、q、e、h为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点p在ab上运动，可以体验到，当p在ab的中点时，acg的面积最大观察右图，我们构造了和ceq中心对称的fqe和ech，可以体验到，线段eq的垂直平分线可以经过点c和f，线段ce

15、的垂直平分线可以经过点q和h，因此以c、q、e、h为顶点的菱形有2个请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点p在ab上运动，可以体验到，当p在ab的中点时，即t=2，acg的面积取得最大值1观察cq，eq，ec的值，发现以c、q、e、h为顶点的菱形有2个点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。思路点拨1把acg分割成以ge为公共底边的两个三角形，高的和等于ad2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以c、q、e、h为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）a(1, 4)因为抛物线的顶点为a，设抛物线的解析式为ya(x1)24，代入

16、点c(3, 0)，可得a1所以抛物线的解析式为y(x1)24x22x3（2）因为pe/bc，所以因此所以点e的横坐标为将代入抛物线的解析式，y(x1)24所以点g的纵坐标为于是得到因此所以当t1时，acg面积的最大值为1（3）或考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为fe/qc，feqc，所以四边形fecq是平行四边形再构造点f关于pe轴对称的点h，那么四边形ehcq也是平行四边形再根据fqcq列关于t的方程，检验四边形fecq是否为菱形，根据eqcq列关于t的方程，检验四边形ehcq是否为菱形，如图2，当fqcq时，fq2cq2，因此整理，得解得，（舍去）如图3，当eqcq时，eq2cq2

17、，因此整理，得所以，（舍去）图2 图3例6 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xoy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点a，点m在正比例函数的图象上，且moma二次函数yx2bxc的图象经过点a、m（1）求线段am的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点b在y轴上，且位于点a下方，点c在上述二次函数的图象上，点d在一次函数的图象上，且四边形abcd是菱形，求点c的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点b在y轴上点a下方运动，四边形abcd保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点c有一次机会落在抛物线上思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线

18、是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据moma确定点m在oa的垂直平分线上，并且求得点m的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点c的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点c的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（1）当x0时，所以点a的坐标为(0，3)，oa3如图2，因为moma，所以点m在oa的垂直平分线上，点m的纵坐标为将代入，得x1所以点m的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过a(0，3)、m，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形abcd为菱形，过点a作aecd，垂足为e在rtade中，设ae4

19、m，de3m，那么ad5m因此点c的坐标可以表示为(4m，32m)将点c(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此点c的坐标为（2，2） 图2 图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形abcd是菱形”改为“以a、b、c、d为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点c的坐标为图4 例7 2011年江西省中考第24题将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为m，与x轴的交点从左到右依次为a、b；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为n，与x轴的交点从左到右依次为d、e当b、d是线段ae的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点a、n、e、m为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件