新定义问题2020年北京中考模拟

1、1在平面直角坐标系xoy中，对于线段mn的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点p，q为线段mn的三等分点，即mp=pq=qn，将线段pm以点p为旋转中心顺时针旋转90得到pm，将线段qn以点q为旋转中心顺时针旋转90得到qn，则称线段mn进行了三等分变换，其中m，n记为点m，n三等分变换后的对应点例如：如图2，线段mn，点m的坐标为（1，5），点n的坐标为（1，2），则点p的坐标为（1，4），点q的坐标为（1，3），那么线段mn三等分变换后，可得：m的坐标为（2，4），点n的坐标为（0，3）（1）若点p的坐标为（2，0），点q的坐标为（4，0），直接写出点m与点n的坐标；（2）若点q的坐标

2、是（0，），点p在x轴正半轴上，点n在第二象限当线段pq的长度为符合条件的最小整数时，求op的长；（3）若点q的坐标为（0，0），点m的坐标为（3，3），直接写出点p与点n的坐标；（4）点p是以原点o为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点p的坐标为（，）当点n在圆o内部或圆上时，求线段pq的取值范围及pq取最大值时点m的坐标2在平面直角坐标系中，点q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在q的内部（含角的边），这时我们把q的最小角叫做该图形的视角如图1，矩形abcd，作射线oa，ob，则称aob为矩形abcd的视角（1）如图1，矩形abcd，a（，1），b（，1），c（，3），d（，3），直接写出

3、视角aob的度数；（2）在（1）的条件下，在射线cb上有一点q，使得矩形abcd的视角aqb=60，求点q的坐标；（3）如图2，p的半径为1，点p（1，），点q在x轴上，且p的视角eqf的度数大于60，若q（a，0），求a的取值范围3在平面直角坐标系xoy中，点p与点q不重合，以点p为圆心作经过q的圆，则称该圆为点p、q的“相关圆”（1）已知点p的坐标为（2，0）若点q的坐标为（0，1），求点p、q的“相关圆”的面积；若点q的坐标为（3，n），且点p、q的“相关圆”的半径为，求n的值；（2）已知abc为等边三角形，点a和点b的坐标分别为（，0）、（，0），点c在y轴正半轴上，若点p、q的“相关

4、圆”恰好是abc的内切圆且点q在直线y=2x上，求点q的坐标（3）已知abc三个顶点的坐标为：a（3，0）、b（，0），c（0，4），点p的坐标为（0，），点q的坐标为（m，），若点p、q的“相关圆”与abc的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围4在平面直角坐标系xoy中，abc的顶点坐标分别是a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），对于abc的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1x2|，|x2x3|，|x3x1|中的最大值，称为abc的横长，记作dx；将|y1y2|，|y2y3|，|y3y1|中的最大值，称为abc的纵长，记作dy；将叫做abc的纵横比，记作=例如

5、：如图1，abc的三个顶点的坐标分别是a（0，3），b（2，1），c（1，2），则dx=|2（1）|=3，dy=|3（2）|=5，所以=（1）如图2，点a（1，0），点b（2，1），e（1，2），则aob的纵横比1= aoe的纵横比2= ；点f在第四象限，若aof的纵横比为1，写出一个符合条件的点f的坐标；点m是双曲线y=上一个动点，若aom的纵横比为1，求点m的坐标；（2）如图3，点a（1，0），p以p（0，）为圆心，1为半径，点n是p上一个动点，直接写出aon的纵横比的取值范围5在平面直角坐标系xoy中，给出如下定义：对于c及c外一点p，m，n是c上两点，当mpn最大时，称mpn为点p关于

6、c的“视角”（1）如图，o的半径为1，已知点a（0，2），画出点a关于o的“视角”；若点p在直线x=2上，则点p关于o的最大“视角”的度数 ；在第一象限内有一点b（m，m），点b关于o的“视角”为60，求点b的坐标（2）若点p在直线y=x+2上，且点p关于o的“视角”大于60，求点p的横坐标xp的取值范围（3）c的圆心在x轴上，半径为1，点e的坐标为（0，1），点f的坐标为（0，1），若线段ef上所有的点关于c的“视角”都小于120，直接写出点c的横坐标xc的取值范围6如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点a（2，3），点b（6，3），连接ab如果线段ab上有一个点与点p的距离不大于1

7、，那么称点p是线段ab的“环绕点”（1）已知点c（3，1.5），d（4，3.5），e（1，3），则是线段ab的“环绕点”的点是 ；（2）已知点p（m，n）在反比例函数y=的图象上，且点p是线段ab的“环绕点”，求出点p的横坐标m的取值范围；（3）已知m上有一点p是线段ab的“环绕点”，且点m（4，1），求m的半径r的取值范围7（1）在图，中，给出平行四边形abcd的顶点a、b、d的坐标（如图），写出图，中的顶点c的坐标，它们分别是 ， ， ；（可用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）（2）在图中，给出平行四边形abcd的顶点a、b、d的坐标（如图），求出顶点c的坐标（c点坐标用含a，b，c，

8、d，e，f的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图的观察和顶点c的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形abcd处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为a（a，b）、b（c，d）、c（m，n）、d（e，f）（如图）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x2（5c3）xc和三个点g（c，c），s（c，c），h（2c，0）（其中c0）问当c为何值时，该双曲线上存在点p，使得以g，s，h，p为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的p点坐标8如图，在平面直角坐标系xoy中，点a与点

9、b的坐标分别是（1，0），（7，0）（1）对于坐标平面内的一点p，给出如下定义：如果apb=45，则称点p为线段ab的“等角点”显然，线段ab的“等角点”有无数个，且a、b、p三点共圆设a、b、p三点所在圆的圆心为c，直接写出点c的坐标和c的半径；y轴正半轴上是否有线段ab的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点p在y轴正半轴上运动时，apb是否有最大值？如果有，说明此时apb最大的理由，并求出点p的坐标；如果没有请说明理由9我们规定：平面内点a到图形g上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点a到图形g上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形

10、的最大距离d，定义点a到图形g的距离跨度为r=dd（1）如图1，在平面直角坐标系xoy中，图形g1为以o为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形g1的距离跨度：a（1，0）的距离跨度 ；b（，）的距离跨度 ；c（3，2）的距离跨度 ；根据中的结果，猜想到图形g1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 （2）如图2，在平面直角坐标系xoy中，图形g2为以d（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x1）上存在到g2的距离跨度为2的点，求k的取值范围（3）如图3，在平面直角坐标系xoy中，射线op：y=x（x0），e是以3为半径的圆，且圆心e在x轴上运动，若射线op上存在点到e的距离跨度

11、为2，直接写出圆心e的横坐标xe的取值范围 10在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点a，b，c的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”s=ah例如：三点坐标分别为a（1，2），b（3，1），c（2，2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”s=ah=20（1）已知点a（1，2），b（3，1），p（0，t）若a，b，p三点的“矩面积”为12，求点p的坐标；直接写出a，b，p三点的“矩面积”的最小值（2）已知点e（4，0），f（0，2），m（m，4m），n（n，），其中m0，n0若e，f，m三点的“矩面积

12、”为8，求m的取值范围；直接写出e，f，n三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围11在平面直角坐标系xoy中，对于点p（x，y），如果点q（x，y）的纵坐标满足y=，那么称点q为点p的“关联点”（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；（2）如果点p在函数y=x2的图象上，其“关联点”q与点p重合，求点p的坐标；（3）如果点m（m，n）的“关联点”n在函数y=2x2的图象上，当0m2时，求线段mn的最大值12在平面直角坐标系xoy中，对于双曲线y=（m0）和双曲线y=（n0），如果m=2n，则称双曲线y=（m0）和双曲线y=（n0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m0）是双曲线y=（

13、n0）的“倍双曲线”，双曲线y=（n0）是双曲线y=（m0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是 ；双曲线y=的“半双曲线”是 ；（2）如图1，在平面直角坐标系xoy中，已知点a是双曲线y=在第一象限内任意一点，过点a与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点b，求aob的面积；（3）如图2，已知点m是双曲线y=（k0）在第一象限内任意一点，过点m与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点n，过点m与x轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点p，若mnp的面积记为smnp，且1smnp2，求k的取值范围13在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点a，b，c，给出如下

14、定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且a，b，c三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点a，b，c的覆盖矩形点a，b，c的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点a，b，c的最优覆盖矩形例如，下图中的矩形a1b1c1d1，a2b2c2d2，ab3c3d3都是点a，b，c的覆盖矩形，其中矩形ab3c3d3是点a，b，c的最优覆盖矩形（1）已知a（2，3），b（5，0），c（t，2）当t=2时，点a，b，c的最优覆盖矩形的面积为 ；若点a，b，c的最优覆盖矩形的面积为40，求直线ac的表达式；（2）已知点d（1，1）e（m，n）是函数y=（x0）的图象上一点，p是点o，d，e的一个面积最小

15、的最优覆盖矩形的外接圆，求出p的半径r的取值范围14在平面直角坐标系xoy中，对“隔离直线”给出如下定义：点p（x，m）是图形g1上的任意一点，点q（x，n）是图形g2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k0）满足mkx+b且nkx+b，则称直线l：y=kx+b（k0）是图形g1与g2的“隔离直线”如图1，直线l：y=x4是函数y=（x0）的图象与正方形oabc的一条“隔离直线”（1）在直线y1=2x，y2=3x+1，y3=x+3中，是图1函数y=（x0）的图象与正方形oabc的“隔离直线”的为 ；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式： ；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形

16、edf的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点d的坐标是（，1），o的半径为2是否存在edf与o的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形a1b1c1d1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点m（1，t）是此正方形的中心若存在直线y=2x+b是函数y=x22x3（0x4）的图象与正方形a1b1c1d1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围15设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为r对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足rdr的点叫做等边三角形的中心关联点在平面直角坐标系xoy中，等边abc的三个顶点的坐标分别

17、为a（0，2），b（，1），c（，1）（1）已知点d（2，2），e（，1），f（，1）在d，e，f中，是等边abc的中心关联点的是 ；（2）如图1，过点a作直线交x轴正半轴于m，使amo=30若线段am上存在等边abc的中心关联点p（m，n），求m的取值范围；将直线am向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边abc的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点q为直线y=1上一动点，q的半径为当q从点（4，1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒是否存在某一时刻t，使得q上所有点都是等边abc的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符

18、合题意的t的值；如果不存在，请说明理由16在平面直角坐标系xoy中，若点p和点p1关于y轴对称，点p1和点p2关于直线l对称，则称点p2是点p关于y轴，直线l的二次对称点（1）如图1，点a（1，0）若点b是点a关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点b的坐标为 ；若点c（5，0）是点a关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为 ；若点d（2，1）是点a关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为 ；（2）如图2，o的半径为1若o上存在点m，使得点m是点m关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点m在射线y=x（x0）上，b的取值范围是 ；（3）e（t，0）是x轴上的动点，

19、e的半径为2，若e上存在点n，使得点n是点n关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点n在y轴上，求t的取值范围17在平面直角坐标系xoy中，若p，q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点p，q的“相关菱形”图1为点p，q的“相关菱形”的一个示意图已知点a的坐标为（1，4），点b的坐标为（b，0），（1）若b=3，则r（1，0），s（5，4），t（6，4）中能够成为点a，b的“相关菱形”顶点的是 ；（2）若点a，b的“相关菱形”为正方形，求b的值；（3）b的半径为，点c的坐标为（2，4）若b上存在点m，在线段ac上存在点n，使点m，n的“相关菱

20、形”为正方形，请直接写出b的取值范围18给出如下规定：两个图形g1和g2，点p为g1上任一点，点q为g2上任一点，如果线段pq的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形g1和g2之间的“近距离”；如果线段pq的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形g1和g2之间的“远距离”请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xoy中，点a（4，3），b（4，3），c（4，3），d（4，3）（1）请在平面直角坐标系中画出四边形abcd，直接写出线段ab和线段cd的“近距离”和“远距离”（2）设直线y=（b0）与x轴，y轴分别交于点e，f，若线段ef与四边形abcd的“近距离”是1，

21、求它们的“远距离”；（3）在平面直角坐标系xoy中，有一个矩形ghmn，若此矩形至少有一个顶点在以o为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内将四边形abcd绕着点o旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形ghmn的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 19对于p及一个矩形给出如下定义：如果p上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称p是该矩形的“等距圆”如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形abcd的顶点a的坐标为（，2），顶点c、d在x轴上，且oc=od（1）当p的半径为4时，在p1（0，3），p2（2，3），p3（2，1）中可以成为矩形abcd的“等距圆”的圆心的是 ；如果点p在

22、直线上，且p是矩形abcd的“等距圆”，求点p的坐标；（2）已知点p在y上，且p是矩形abcd的“等距圆”，如果p与直线ad没有公共点，直接写出点p的纵坐标m的取值范围20在平面直角坐标系xoy中，图形w在坐标轴上的投影长度定义如下：设点p（x1，y1），q（x2，y2）是图形w上的任意两点若|x1x2|的最大值为m，则图形w在x轴上的投影长度lx=m；若|y1y2|的最大值为n，则图形w在y轴上的投影长度ly=n如图1，图形w在x轴上的投影长度lx=|31|=2；在y轴上的投影长度ly=|40|=4（1）已知点a（3，3），b（4，1）如图2所示，若图形w为oab，则lx ，ly （2）已知

23、点c（4，0），点d在直线y=2x+6上，若图形w为ocd当lx=ly时，求点d的坐标（3）若图形w为函数y=x2（axb）的图象，其中0ab当该图形满足lx=ly1时，请直接写出a的取值范围21对于关于x的一次函数y=kx+b（k0），我们称函数ym=为它的m分函数（其中m为常数）例如，y=3x+2的4分函数为：当x4时，y4=3x+2；当x4时，y4=3x2（1）如果y=x+1的2分函数为y2，当x=4时，y2= ；当y2=3时，x= （2）如果y=x+1的1分函数为y1，求双曲线y=与y1的图象的交点坐标；（3）从下面两问中任选一问作答：设y=x+2的m分函数为ym，如果抛物线y=x2与

24、ym的图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围如果点a（0，t）到y=x+2的0分函数y0的图象的距离小于1，直接写出t的取值范围22如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点a（0，1），b（0，1）点p是平面内任意一点，直线pa，pb与直线x=4分别交于m，n两点若以mn为直径的圆恰好经过点c（2，0），则称此时的点p为理想点（1）请判断p1（4，0），p2（3，0）是否为理想点；（2）若直线x=3上存在理想点，求理想点的纵坐标；（3）若动直线x=m（m0）上存在理想点，直接写出m的取值范围23在平面直角坐标系xoy中，点p（a，b）的“变换点”q的坐标定义如下：当ab时，q点坐标为（b，

25、a）；当ab时，q点坐标为（a，b）（1）求（2，3），（6，1）的变换点坐标；（2）已知直线l与x轴交于点a（4，0），与y轴交于点b（0，2）若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形w，请画出图形w，并简要说明画图的思路；（3）若抛物线y=x2+c与图形w有三个交点，请直接写出c的取值范围24对于两个已知图形g1，g2，在g1上任取一点p，在g2上任取一点q，当线段pq的长度最小时，我们称这个最小长度为g1，g2的“密距”，用字母d表示；当线段pq的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形g1，g2的“疏距”，用字母f表示例如，当m（1，2），n（2，2）时，点o与线段mn的“密距

26、”为，点o与线段mn的“疏距”为2（1）已知，在平面直角坐标系xoy中，a（2，0），b（0，4），c（2，0），d（0，1），点o与线段ab的“密距”为 ，“疏距”为 ；线段ab与cod的“密距”为 ，“疏距”为 ；（2）直线y=2x+b与x轴，y轴分别交于点e，f，以c（0，1）为圆心，1为半径作圆，当c与线段ef的“密距”0d1时，求c与线段ef的“疏距”f的取值范围25在平面直角坐标系xoy中，c的半径为r，点p是与圆心c不重合的点，给出如下定义：如果点p为射线cp上一点，满足cpcp=r2，那么称点p为点p关于c的反演点，图1为点p及其关于c的反演点p的示意图（1）如图2，当o的半径

27、为1时，分别求出点m（1，0），n（0，2），t（，）关于o的反演点m，n，t的坐标；（2）如图3：已知点a（1，4），b（3，0），以ab为直径的g的与y轴交于点c，d（点c位于点d下方），e为cd的中点，如果点o，e关于g的反演点分别为o，e，求eog的大小26设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f（x）在函数y=f（x）中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f（a）例如：函数f（x）=x22x3，当x=4时，f（4）=42243=5在平面直角坐标系xoy中，对于函数的零点给出如下定义：如果函数y=f（

28、x）在axb的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在axb的范围内有零点，即存在c（acb），使f（c）=0，则c叫做这个函数的零点，c也是方程f（x）=0在axb范围内的根例如：二次函数f（x）=x22x3的图象如图1所示观察可知：f（2）0，f（1）0，则f（2）f（1）0所以函数f（x）=x22x3在2x1范围内有零点由于f（1）=0，所以，1是f（x）=x22x3的零点，1也是方程x22x3=0的根（1）观察函数y1=f（x）的图象2，回答下列问题：f（a）f（b） 0（“”“”或“=”） 在axb范围内y1=f（x）的零点的个数是 （2）

29、已知函数y2=f（x）=的零点为x1，x2，且x11x2求零点为x1，x2（用a表示）；在平面直角坐标xoy中，在x轴上a，b两点表示的数是零点x1，x2，点 p为线段ab上的一个动点（p点与a、b两点不重合），在x轴上方作等边apm和等边bpn，记线段mn的中点为q，若a是整数，求抛物线y2的表达式并直接写出线段pq长的取值范围27定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点a（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为b，点a（1

30、，3），动点m（m，m）直接写出abm的面积，其面积是 ；若以m为圆心的圆经过a，b两点，写出点m的坐标；以中的点m为圆心，以为半径作圆，在此圆上找一点p，使pa+pb的值最小，直接写出此最小值28在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点a，b，c给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且a，b，c三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点a，b，c的外延正方形，在点a，b，c所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点a，b，c的最佳外延正方形例如，图1中的正方形a1b1c1d1，a2b2c2d2，a3b3cd3都是点a，b，c的外延正方形，正方形a3b3cd3是点a，b，

31、c的最佳外延正方形（1）如图1，点a（1，0），b（2，4），c（0，t）（t为整数）如果t=3，则点a，b，c的最佳外延正方形的面积是 ；如果点a，b，c的最佳外延正方形的面积是25，且使点c在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值 ；（2）如图3，已知点m（3，0），n（0，4），p（x，y）是抛物线y=x22x3上一点，求点m，n，p的最佳外延正方形的面积的最小值以及点p的横坐标x的取值范围；（3）如图4，已知点e（m，n）在函数y=（x0）的图象上，且点d的坐标为（1，1），设点o，d，e的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围29对于某一函数给出如下定义：若存在实

32、数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1（1）分别判断函数y=x1，y=，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数y=2x2bx若其不变长度为零，求b的值；若1b3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y=x22x（xm）的图象为g1，将g1沿x=m翻折后得到的函数图象记为g2函数g的图象由g1和g2两部分组成，若其不变长度q满足0q3，则m的取值范围为30如图，点

33、p（x，y1）与q（x，y2）分别是两个函数图象c1与c2上的任一点当axb时，有1y1y21成立，则称这两个函数在axb上是“相邻函数”，否则称它们在axb上是“非相邻函数”例如，点p（x，y1）与q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x1图象上的任一点，当3x1时，y1y2=（3x+1）（2x1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在3x1上的性质，得到该函数值的范围是1y1，所以1y1y21成立，因此这两个函数在3x1上是“相邻函数”（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在2x0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2x与y=xa在0x2上是“相邻函数”，

34、求a的取值范围；（3）若函数y=与y=2x+4在1x2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值31p是o内一点，过点p作o的任意一条弦ab，我们把papb的值称为点p关于o的“幂值” （1）o的半径为5，op=3如图1，若点p恰为弦ab的中点，则点p关于o的“幂值”为 ；判断当弦ab的位置改变时，点p关于o的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点p关于o的“幂值”的取值范围（2）若o的半径为r，op=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点p关于o的“幂值”或“幂值”的取值范围 ；（3）在平面直角坐标系xoy中，o的半径为4，若在直线y=x+b上存在点p，使得点

35、p关于o的“幂值”为13，请写出b的取值范围 32在平面直角坐标系 xoy中，对于点p（x，y），以及两个无公共点的图形w1和w2，若在图形w1和w2上分别存在点m （x1，y1 ）和n （x2，y2 ），使得p是线段mn的中点，则称点m 和n被点p“关联”，并称点p为图形w1和w2的一个“中位点”，此时p，m，n三个点的坐标满足x=，y=（1）已知点a（0，1），b（4，1），c（3，1），d（3，2），连接ab，cd对于线段ab和线段cd，若点a和c被点p“关联”，则点p的坐标为 ；线段ab和线段cd的一“中位点”是q （2，），求这两条线段上被点q“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已

36、知点r（2，0）和抛物线w1：y=x22x，对于抛物线w1上的每一个点m，在抛物线w2上都存在点n，使得点n和m 被点r“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线w2；（3）正方形efgh的顶点分别是e（4，1），f（4，1），g（2，1），h（2，1），t的圆心为t（3，0），半径为1请在图2中画出由正方形efgh和t的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积33在平面直角坐标系xoy中，c的半径为r，p是与圆心c不重合的点，点p关于c的限距点的定义如下：若p为直线pc与c的一个交点，满足rpp2r，则称p为点p关于c的限距点，如图为点p及其关

37、于c的限距点p的示意图（1）当o的半径为1时分别判断点m（3，4），n（，0），t（1，）关于o的限距点是否存在？若存在，求其坐标；点d的坐标为（2，0），de，df分别切o于点e，点f，点p在def的边上若点p关于o的限距点p存在，求点p的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中d，e，f三点不变，点p在def的边上沿efde的方向运动，c的圆心c的坐标为（1，0），半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答 问题1问题2 若点p关于c的限距点p存在，且p随点p的运动所形成的路径长为r，则r的最小值为 若点p关于c的限距点p不存在，则r的取值范围为 34阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，

38、在abc（其中bac是一个可以变化的角）中，ab=2，ac=4，以bc为边在bc的下方作等边pbc，求ap的最大值小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点b为旋转中心将abp逆时针旋转60得到abc，连接aa，当点a落在ac上时，此题可解（如图2）（1）请你回答：ap的最大值是 （2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰rtabc边ab=4，p为abc内部一点，请写出求ap+bp+cp的最小值长的解题思路提示：要解决ap+bp+cp的最小值问题，可仿照题目给出的做法把abp绕b点逆时针旋转60，得到abp请画出旋转后的图形请写出求ap+bp+cp

39、的最小值的解题思路（结果可以不化简）35对于平面直角坐标系xoy中的点p和c，给出如下定义：若存在过点p的直线l交c于异于点p的a，b两点，在p，a，b三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点p为c 的相邻点，直线l为c关于点p的相邻线（1）当o的半径为1时，分别判断在点d（，），e（0，），f（4，0）中，是o的相邻点有 ；请从中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出o关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；点p在直线y=x+3上，若点p为o的相邻点，求点p横坐标的取值范围；（2）c的圆心在x轴上，半径为1，直线y=与x轴，y轴分别交于点m，n，若线段mn上存在c的相邻

40、点p，直接写出圆心c的横坐标的取值范围2018年05月16日139*3005的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共35小题）1在平面直角坐标系xoy中，对于线段mn的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点p，q为线段mn的三等分点，即mp=pq=qn，将线段pm以点p为旋转中心顺时针旋转90得到pm，将线段qn以点q为旋转中心顺时针旋转90得到qn，则称线段mn进行了三等分变换，其中m，n记为点m，n三等分变换后的对应点例如：如图2，线段mn，点m的坐标为（1，5），点n的坐标为（1，2），则点p的坐标为（1，4），点q的坐标为（1，3），那么线段mn三等分变换后，可得：m的坐标为（2

41、，4），点n的坐标为（0，3）（1）若点p的坐标为（2，0），点q的坐标为（4，0），直接写出点m与点n的坐标；（2）若点q的坐标是（0，），点p在x轴正半轴上，点n在第二象限当线段pq的长度为符合条件的最小整数时，求op的长；（3）若点q的坐标为（0，0），点m的坐标为（3，3），直接写出点p与点n的坐标；（4）点p是以原点o为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点p的坐标为（，）当点n在圆o内部或圆上时，求线段pq的取值范围及pq取最大值时点m的坐标【解答】解：（1）pq=2，根据“三等分变换”的定义，可知m（2，2 ），n（ 4，2 ）（2）当pq=1时，oq=在rtopq中，如图1中，op

42、=oqoqp=opq=45pqn=90pq=q n点n在x轴负半轴上，不在第二象限pq=1不符合题意当pq=2时op=，此时，点n在第二象限符合题意（3）如图2中，由图象可知，p（0，3 ），n（ 0，3 ）（4）如图3中，过点p作pax轴于点a在rtoap中，由勾股定理，op=1，在pqn中，pqn=90，pq=q n点n在o内部或在o上运动，当pn为o直径时，pn最大qpn=45pq=pn=，pq的取值范围：0pq，p（，）由对称性可知n（，）过点n作nex轴于点e，过点q作qfx轴于点f易证oneqof，of=en=，fq=oe=q（，）nqp=qp m=90nqpm，又nq=pm，四边

43、形pnqm是平行四边形，对角线的交点为j，设m（m，n）则j（，），则有=，=，解得m=，n=，点m的坐标为（，）2在平面直角坐标系中，点q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在q的内部（含角的边），这时我们把q的最小角叫做该图形的视角如图1，矩形abcd，作射线oa，ob，则称aob为矩形abcd的视角（1）如图1，矩形abcd，a（，1），b（，1），c（，3），d（，3），直接写出视角aob的度数；（2）在（1）的条件下，在射线cb上有一点q，使得矩形abcd的视角aqb=60，求点q的坐标；（3）如图2，p的半径为1，点p（1，），点q在x轴上，且p的视角eqf的度数大于60，若q（a

44、，0），求a的取值范围【解答】解：（1）如图1中，设ab交y轴于ea（，1），b（，1），oeab，ea=eb，oa=ob，在rtoae中，tanoae=，oab=oba=30，aob=120（2）如图2中，连结ac，在射线cb上截取cq=ca，连结aqab=2，bc=2，ac=4，acq=60acq为等边三角形，即aqc=60，cq=ac=4，q（，1）（3）如图3中，当点q与点o重合时，设p与y轴相切于点e，of是p的切线，p（1，），pe=1，oe=，tanpoe=，poe=pof=30eqf=60，此时q（0，0），如图4，根据对称性可知，当fqx轴时，eqf=60，q（2，0），a的

45、取值范围是0a23在平面直角坐标系xoy中，点p与点q不重合，以点p为圆心作经过q的圆，则称该圆为点p、q的“相关圆”（1）已知点p的坐标为（2，0）若点q的坐标为（0，1），求点p、q的“相关圆”的面积；若点q的坐标为（3，n），且点p、q的“相关圆”的半径为，求n的值；（2）已知abc为等边三角形，点a和点b的坐标分别为（，0）、（，0），点c在y轴正半轴上，若点p、q的“相关圆”恰好是abc的内切圆且点q在直线y=2x上，求点q的坐标（3）已知abc三个顶点的坐标为：a（3，0）、b（，0），c（0，4），点p的坐标为（0，），点q的坐标为（m，），若点p、q的“相关圆”与abc的三边中

46、至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围【解答】解：（1）pq=，s=r2=5过点q作qhx轴于hhq=2，q点坐标为（3，2）或（3，2）n=2或2（2）如图，在rtoac中，aco=30，oc=oa=3，c点坐标为（0，3），abc的内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1，p（0，1），设q（x，2x），则有x2+（2x1）2=1，解得x=或0，q（，）或（0，0）（3）如图3中，当相关圆与ac、ab相切时半径有最小值当相关圆经过点b时，半径有最大值，m，m4在平面直角坐标系xoy中，abc的顶点坐标分别是a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），对于abc的横长、纵长、纵横

47、比给出如下定义：将|x1x2|，|x2x3|，|x3x1|中的最大值，称为abc的横长，记作dx；将|y1y2|，|y2y3|，|y3y1|中的最大值，称为abc的纵长，记作dy；将叫做abc的纵横比，记作=例如：如图1，abc的三个顶点的坐标分别是a（0，3），b（2，1），c（1，2），则dx=|2（1）|=3，dy=|3（2）|=5，所以=（1）如图2，点a（1，0），点b（2，1），e（1，2），则aob的纵横比1=aoe的纵横比2=1；点f在第四象限，若aof的纵横比为1，写出一个符合条件的点f的坐标；点m是双曲线y=上一个动点，若aom的纵横比为1，求点m的坐标；（2）如图3，点a

48、（1，0），p以p（0，）为圆心，1为半径，点n是p上一个动点，直接写出aon的纵横比的取值范围【解答】解：（1）由题意aob的纵横比1=，aoe的纵横比2=1，故答案为，1由点f在第四象限，若aof的纵横比为1，则f（1，1）（在第四象限的角平分线上即可）如图设m（xm，ym）a、当0xm1时，点m在y=上，则ym0，此时aom的横长dx=1，aom的纵长为dy=ym，aom的纵横比为1，dy=1，ym=1或1（舍弃），xm=，m（，1）b、当xm1时，点m在y=上，则ym0，此时aom的横长dx=xm，aom的纵长为dy=ym，aom的纵横比为1，dy=dx，xm=ymym=（舍弃），c、

49、当xm0时，点m在y=上，则ym0，此时aom的横长dx=1xm，aom的纵长为dy=ym，aom的纵横比为1，1xm=ym，xm=或（舍弃），ym=，m（，），综上所述，点m坐标为（，1）或（，）（2）如图3中，当n（0，1+）时，可得aon的纵横比的最大值=1+，当an与p相切时，切点在第二象限时，可得aon的纵横比的最小值，op=，oa=1，pa=2an=，tanapn=，apn=60，易知apo=30，作nhop于hhpn=30，nh=，ph=，此时aon的纵横比=，1+5在平面直角坐标系xoy中，给出如下定义：对于c及c外一点p，m，n是c上两点，当mpn最大时，称mpn为点p关于c

50、的“视角”（1）如图，o的半径为1，已知点a（0，2），画出点a关于o的“视角”；若点p在直线x=2上，则点p关于o的最大“视角”的度数60；在第一象限内有一点b（m，m），点b关于o的“视角”为60，求点b的坐标（2）若点p在直线y=x+2上，且点p关于o的“视角”大于60，求点p的横坐标xp的取值范围（3）c的圆心在x轴上，半径为1，点e的坐标为（0，1），点f的坐标为（0，1），若线段ef上所有的点关于c的“视角”都小于120，直接写出点c的横坐标xc的取值范围【解答】解：（1）画如图1所示，如图2，当mpn最大时，此时pm与pn与o相切，o的半径为r=1，sinmpo=，当op最小时，

51、此时sinmpo最大，即mpo最大，sinmpo=，mpo=30mpn=2mpo=60；故答案为：60点b关于o的视角为60，bm与o相切，且mbo=30，点b在以o为圆心，2为半径的圆上，即ob=2，b（m，m） （m0），ob=m=2，m=b（，）；（2）如图3，点p关于o的“视角”大于60，mpo30，sinmpo=sin30，op2，点p不在c上，1op2点p在以o为圆心，1为半径与2为半径的圆环内，点p在直线y=x+2上，由图4，可得xp=0或xp=0xp（3）如图5，当点c在x轴正半轴时，在线段ef上取一点p，当pm，pn都与c相切时，mpn最大，当mpn=120时，连接cp，cpm=60，在rtpcm中，cm=1，sincpm=，cp=，线段ef上所有的点关于c的“视角”都小于120，点p和原点o重合时，视角只要小于120时，即可，op最大=cp=，此时，满足条件的xc当点c在x轴负半轴时，同可得，xc，即：满足条件的xc或xc6如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点a（2，3），点b（6，3），连接ab如果线段ab上有一个点与点p的距离不大于1，那么称点p是线段ab的“环绕点”（1）已知点c（3，1.5），d（4，3.5），e（1，3），则是线段ab的“环绕点”的点是点d和e；（2）已知点p（m，n）在反比例函数