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文档简介

1、平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：,（1）,（2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,平面向量数量积的定义,O,O,O,O,O,向量的夹角,问（1）力F所做的功W= 。 （） 请同学们分析这个公式的特点： W（功） 是 量， F（力） 是 量， S（位移）是 量， 是 量。,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,问题思考,标,标,矢,矢,探究数量

2、积的含义,、概念的抽象,问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？,功是力与位移的大小及其夹角余弦值的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦值的乘积。,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,平面向量的数量积,思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？,当0 90时 为正；,当90 180时 为负。,当 =90时 为零。,注意!:,平面向量的数量积,?,解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab

3、。,O,投影,O,O,练习,判断下列说法是否正确,(),(),(),(),(),(),A,B,C,E,D,练习,2,2,-2,-1,如图,边长为2的等边三角形ABC,点D,E分别是边BC,AC的中点,求,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3),例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1

4、）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,P116 例4,例4,小结：,1. 2.,可用来求向量的模,3.投影,练习,3、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a 5 b 垂直，a 4 b 与7 a 2 b垂直，求a与b的夹角。,解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a -

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