二次根式的有关概念及性质

1、二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1.学习目标(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性 质，并能利用它们进行计算和化简；(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加 减运算；(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化 简；(2)理解，及利用它们进行计算和化简；(3)最简二次根式的运用；(4)合并同类二次根式；(5)二次根式的混合运算.3.难点(1)发现规律，

2、归纳出二次根式的乘除法则；(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满

3、足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用次性质也可以进行二

4、次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能 为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方

5、数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否 相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面

6、的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并.知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运

7、算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算 括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根 式之和或差，或是有理式.三、规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.二次根式的有关

8、概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，.都不是最简二次根式，而，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这

9、两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a0)是一个非负数, 即0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=（a0,b0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a0,b0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义

10、，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）6-x0, x6时原式有意义。 （2）x20, x2+30, x取任意实数原式都有意义。 （3） 当x3且x-3时，原式有意义。 （4） 当-x时，原式有意义。 （5） 当x0且x1时，原式有意义。 （6）x=2 当x=2时，原式有意义。 例2.写出下列各等式成立的条件：（1）=-3x（2）=-mn （3）=1+2a（4）= （5）-=7 分析：本题考察算术平方根的概念及二次根式的性质。 解：（1）=|3x|=-3x, -3x0,3x0, x0. （2）=|mn|=-mn, mn0,

11、成立，隐含m0, m0且n0. （3）=|2a+1|=1+2a1+2a0, a-. （4）由题意得 x=1. （5）-=- =|x+5|-|2-x|=7 只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2时才成立， x2. 例3.化简下列各式： （1）（2）a2(m0) （3）+|2-x|+（2x3) （4）（5）(x-y)+ （6）(y3, =|3-|=-3. （2）m0, 要使有意义，则a0, a2=a2=a2=-=-a. （3）2x3，原式=+|2-x|+ =|2-x|+|2-x|+|x-3| =x-2+x-2+3-x=x-1. （4）=|3x-1|= 在这里我们分3x-10或3x-10 原式

12、=(x-y)+ =+|x-y| =+y-x=-+y-x. （6） y0, 原式= =2|xy| =-2|x|y 当x0时, 原式=-2xy, 当x0时, 原式=2xy。 （7）+ =+=|4-x|+|x+1| 若|4-x|=0,则x=4;若|x+1|=0则x=-1，则本题需要将x的取值分成三段，即分x-1, -1x4, x4三段来进行讨论。 当x-1时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 当-1x4时, 原式=4-x+x+1=5. 当x4时，原式=x-4+x+1=2x-3. 例4.把根号外的因式移至根号内： （1）2（2）-5（3）m(m0) （4）x(x0)（5）a 分析

13、：本题需逆用性质=（a0,b0)只能将根号外的正因式移至根号内。 解：（1）2=。 （2）-5=-=-。 （3）m0, m=。 （4）x(x0) x=-=-。 （5）成立，隐含a0） （2）类型：（i）单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算） （ii）多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式） （iii）除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算，或与分式的运算类比思考，约去分子，分母中的公因式）。 二、例题： 例1.计算下列各式： (1) +4-(-) (2) (-2)-(-) (3) 5a-+3ab(b0) (4) (1+3

14、-2)(1-3+2)-(+)2 (5) (6-5)(-) (6) -()2+ (7) (5+)(5-2) (8) +(0x3) 解：（1）原式=+4-+（去括号） =+-+（化成最简二次根式） =(+3-+)（合并同类二次根式） = （2）原式=4-+4+ =4-+-+4（去括号并且化成最简二次根式） =(4-+)+(4-)（合并同类根式） =+ （3） b0，且成立， a0， 原式=5ab-3a+3ab =(5ab-ab+ab) =ab （4）原式=1+(3-2)1-(3-2)-(+)2（先做乘法，后做减法） =1-(3-2)2-(2+3+2) （应用乘法公式） =1-(18+12-12)-

15、5-2（第二项又用完全平方公式） =1-30+12-5-2 =-34+10 （5）原式=6-5-6+5 =-6+5 =-6+5（做乘法时，不必先化成最简根式） =3-6+（化成最简二次根式，进行加减运算） =- （6）原式=-+（第一，三项分母有理化） =-+4( 中间项分子、分母分别平方） =8-5-+4（第二项分母有理化） =8-5-4-2+4 =4-3 （7）原式= =（分母有理化） = = （8）分析：题中二次根号下为两项的和，不能化简，所以首先应将根号下的式子进行通分，然后分母分解因式，再化简。 解：原式=+（0x3） =+ 0x0，x-30 原式=+ = 说明：在进行二次根式的运算

16、时，应弄清有关的几个概念：同类二次根式 互为有理化因式 分母有理化。 例2.计算下列各式 (1) (-)2 (2) (+-)(-) (3) (+)2-(-)2 (4) (+1)9(-1)9 (5) 分析：仔细观察上述题目，可以发现如果利用乘法公式或因式分解或某些运算律，可以使一些题目的运算简便。 解：(1)原式=7+2+7-2-2(用完全平方公式) =14-2 =14-2 (2) 原式=(-)+(-)- =(-)2-()2 (用平方差公式) =2+3-2-5 =-2 (3) 原式=(+-)(+-+) (因式分解) =22 =4 (4) 原式=(+1)(-1)9 (用了乘法交换律和结合律，变化后

17、 =(2-1)9=1 可用平方差公式) (5) 原式=(分子因式分解) =+2(分子、分母约去公因式) 说明：本题目是用约去分子，分母的公共二次根式方法，进行了二次根式的除法运算。 例3.解不等式：xx+2 解：x-x2 (移项) (-)x2 (合并同类项) -(x的系数化成1) =(分母有理化) =- x- 例4.已知：x=, y=, 求x2-xy+y2的值。 分析：一般的求值都是先化简再求值，观察题目已知条件x, y的分母都含有二次根式，应先将x, y的分母有理化后再代入求值就简单多了。 解： x=-3-2 y=-3+2 x2-xy+y2=(-3-2)2-(-3-2)(-3+2)+(-3+2)2 =9+8+12-(9-8)+9+8-12 =17+17-1 =33 另法：x2-xy+y2