3.1.2导数的概念 (3).pptx

1、3.1.2 导数的概念,第三章 导数及其应用,3.1 变化率与导数,平均变化率的定义,我们把式子 称为函数 f(x)从x1到x2的平均变化 率 . （ average rate of change）,复习导入,平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态，那么用什么来衡量物体的状态呢？,如何知道运动员在每一时刻的速度呢？,汽车在每一刻 的速度怎么知 道呢？,知识与能力,（1）体会导数的思想及其内涵.,（2）能根据导数定义，求函数的导数.,（3）理解瞬时速度的概念.,学习目标,过程与方法,（1）体会导数的思想及其内涵，通过分析实例，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数. （2）通过函数图

2、象直观地理解导数的意义.,情感态度与价值观,能够在已有的经验（生活经验，数学学习经验）的基础上，更好的学习瞬时速度，导数等概念 .,重点,体会导数的思想及其内涵，形成导数概念.,难点,导数的概念及其内涵.,重点难点,瞬时速度的概念,在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instaneous velociy）.,新课导航,平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反映.,瞬时速度与平均速度的区别,例1.已知物体作变速直线运动,其运动方程为ss（t）(表示位移,t

3、表示时间）,求物体在t0 时刻的速度,物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度v，就是物体在t到 t+t这段时间内，当 t0 时的平均速度:,例2.物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m，时间单位是s，=10m/s2.求： （1） 物体在时间区间2，2.1上的平均速度； （2） 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).,从而平均速度 的极限为,例3. 还记得上节课讲的关于高台跳水问

4、题吗？运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系:,通过列表看出平均速度的变化趋势：,知道了瞬时速度的概念，那么在高台跳水运动中，如何求（比如，t=2)运动员的瞬时速度？,t0时，在2+ t,2这段时间内,当t=-0.01时， = -13.051；,当t=-0.001时， = -13.0951；,当t=-0.0001时， = -13.09951；,当t=-0.00001时， = -13.099951；,当t=-0.000001时， = -13.0999951；,.,t0时，在2,2+ t这段时间内,当t=0.01时， = -13.149；,当t=0.001时，

5、 =-13.1049；,当t=0.0001时， =-13.10049；,当t=0.00001时， =-13.100049；,当t=0.000001时， =-13.1000049；,.,观察 当 趋近于0时，平均速度 有什么样的变化？,我们发现，当 趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1 .,我们用 表示 “当t=2, t趋近于0 时,平均速度趋于确定值-13.1”.,那么运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎么表示?,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又怎么表示？,导数定义,一般地，函数 在 处的瞬时变化率是,我们称它为函数 在

6、 处的导数.,一般将导数记作 ,或者 ,即,表示函数y关于自变量x在 处的导数,有极限,f(x)在点x0处可导,f(x)在点x0处的导数,概念理解,是函数f(x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,知识补充,事实上，导数也可以用下式表示：,如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数，就说函数y=f(x)在点x0处可导，如果极限不存在，就说函数 f(x)在点x0处不可导.,由导数的意义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,（1）求函数的增量,（2）求平均变化率,（3）取极限，求得导数,这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,例4.求函数y=x2在x=1处的导数.,1.瞬时速度的定义,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,归纳小结,一般地，函数 在 处的瞬时变化率是,我们称它为函数 在 处的导数.,2.导数的定义,3.求导数的步骤,（1）求 y；,1.若f(x0)=2，则,-1,达标练习,2.设函数 f(x)可导 ，则,=