3.2.1任意角三角函数的定义.pptx

1、知识背景：,任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；1416世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、

2、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。,任意角的三角函数 (第一课时),沙湾一中 数学组：牟翠琴,必修四： 1.2任意角的三角函数 (第一课时),学习目标:,知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值： 3.会判断三角函数值的符号； 过程与方法： 1.理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3.通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析、探 究、解决问题的能力。 情感态度价值观： 1.使学生

3、认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度 （自变 量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神,r,r,直角坐标系表中的任意角：,y,P(x,y),P(x,y),x,y,x,y,x,P(x,y),O,O,O,O,复习引入:,在初中我们是如何定义锐角三角函数的？,B,定 义 域,探索与联想,锐角三角函数,任意角的三角函数,?,思考：在直角坐标系中作一个锐角，你能否用终边 上一个点P的坐标表示出锐角三角函数呢？,问：点P是终边上任意一点，若再任取一点P， 角 的三个三角函数值会改变吗？为什么？,结论：锐角三角函数可以用其终边上任意点的坐标表示.,

4、问：点P在终边上的位置可以是任意的，你能否找到一个特殊的位置，使得三个三角函数值的等式更简洁？,结论：在直角坐标系中，锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标或坐标的比值表示。,y,x,1.在直角坐标系中,能否用锐角终边上一个点P的坐标, 表示出锐角三角函数值呢？,3.改变角的终边位置呢？,y,x,1.在直角坐标系中，用锐角终边上一个点P的 坐标，表示出锐角三角函数值.,o,（x，y）,2.如果改变点在终边上的位置， 这三个比值会改变吗？,三角函数值与其点在终边上的 位置无关, 仅与角度的大小有关.,r,y,x,r = 1.,= x,= y,N,P,结论：在直角坐标系中，锐角的三角函数可以用单位圆

5、上点的坐标或坐标的比值表示。,任意角的三角函数定义:,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；,（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；,（3） 叫做 的正切，记作 ，即 .,所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.,使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.,的终边,锐角是任意角的一种特殊情况，试试类比锐角的三角函数给任意角的三角函数下个定义,三角函数可以看成以实数为自变量的函数.,单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数,例1：如图角的终边与单位圆的交点是 , 求角的正弦、余弦和正切

6、值.,解：根据任意角的三角函数定义：,小结：若已知角的终边与单位圆的交点坐标， 则可直接利用定义求三角函数值。,设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即, 叫做 的余弦，即, 叫做 的正弦，即,*任意角 的三角函数值与点 在角的终边上的位置无关, 仅与 的大小有关.,定义推广：,已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可 根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。,比值分别是以角 为自变量，以比值为函数值的函数。,任意角终边上任一点坐标定义三角函数,例2 ：已知角 的终边经过点 ， 求角 的正弦、余弦和正切值 .,变式1： 已知角

7、的终边过点 ， 求 的三个三角函数值.,解：由已知可得：,于是，,变式2：已知角 的终边经过点 ， 且 ，求 x 值.,例3:求 的正弦,余弦,正切的值.,y,x,O,即可求出特殊角的三角函数值。,小结： 若已知角的大小，可求出角终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。,A,B,C,y,x,o,+,-,+,-,全为+,记法：,一全正,二正弦,三正切,四余弦,三、三角函数在各象限的符号：,例4.确定下列三角函数值的符号:,课堂小结：,1、任意角的三角函数具体是怎样定义的？,2、你是如何记忆三角函数值的符号的？,课堂小结：,1、任意角的三角函数具体是怎样定义的？,2、你是如何记忆三角函数值的符号的？,小结：,1.任意角的三角函数的定义.,2.三角函数在各象限的符号,记法：,一全正,二正弦,三两切,四余弦,反思三角函数的定义：,直角三角形中的锐角