高二数学《椭圆与直线的位置关系（1）》学案 苏教版

1、椭圆与直线的位置关系（1）教学目标：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。教学重、难点：能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。教学过程：（一）复习：圆与直线的位置关系的判定方法；（1）代数方法：消元，判断；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较。（二）新课讲解：1椭圆与直线的位置关系的判定：例1当m为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？解：由得， 当，即时，直线和椭圆相交；当，即时，直线和椭圆相切；当，即或时，直线和椭圆相离。说明：直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个

2、数来判断。例2如图，已知椭圆的焦点分别是、，过中心O作直线与椭圆相交于A、B两点，若要使的面积是20，求该直线方程。解：，可设AB所在直线方程为 ，ABF2F1由消去x得：，由得，直线AB的方程为 ，即 说明：此题要能注意到是有公共边的两个和的面积之和，故只需构造关于y的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和；设直线方程为比设好，可避免讨论斜率不存在的情况。（3）也可以连接BF1，则例3、已知椭圆的焦点分别是、，点P在椭圆上，求证：的面积为。2弦长问题：例4求直线被椭圆所截得的弦长。解：（法一）由得或，弦长为 （法二）设直线与椭圆的交点为，由消去y得，弦长说明：弦长公式，不仅适用于圆，

3、也适用于椭圆及双曲线等二次曲线。例5.过椭圆C：的右焦点，作一直线交椭圆C与 M、N两点，且M、N两点到直线的距离之和为 ，求直线的方程。解：椭圆C的右焦点为 ：（，0），_F2_F1_1_MONXY右准线为，离心率为 ，其中分别为M、N到准线的距离，设的方程为 ：，由消去y得：，=设M、N两点的横坐标为，由题意知， =，解得：（或|MN|=|MF2|+|NF2|=2a-e（x1+x2），利用焦半径公式解决焦点弦的弦长问题 ）所求的直线的方程为：或例6. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆交于P和Q两点，且，求椭圆的方程。分析 本题也应有焦点在x轴和焦点在y轴上两种情形，

4、但分析题目的条件可知，两种情形的解法是相同的，区别仅在于标准方程的形式不同。如果在标准方程中，取消的限制，那么它就代表了焦点在x轴上（当 时）和焦点在y轴上（当 时）两种情形。我们也就可以将两种情形统一解答。解：设所求椭圆方程( )，由题意，点P、Q的坐标满足方程组 将（2）代入（1）并整理得 （3）设方程（3）的两根为，则直线与椭圆的交点P（，），Q（，）。由题设，可得,整理，得解这个方程组，得 或 根据根与系数的关系，由（3）式得（） 或（） 解方程组（）、（）得 或 故所求椭圆方程为或 说明 这是91年高考文科数学最后一题。在上述的解法中，看到 和 能用m，n表示出来，因而先求出和的值，

5、再用韦达定理得到关于m，n的方程，从而解出m，n，这样一种整体的解题思想十分巧妙。五小结：1直线与椭圆位置关系的判定方法；2弦长问题（弦长公式）。七作业：课本第103页 第11题，第132页 A组第8题，第133页 B组第3题，补充：1求中心在坐标原点，坐标轴为对称轴，过点，且与直线有且只有一个公共点的椭圆方程；2已知直线：，椭圆C：，（1）求证：直线与椭圆C有两个交点；（2）求这两个公共点所成线段的长。椭圆与直线的位置关系（2）教学目标：1.掌握直线与椭圆的关系中运用已知条件求直线或椭圆方程的方法；2.能熟练地运用相关知识解决椭圆中的对称问题。教学重、难点：目标1，2教学过程：（一）复习：椭

6、圆与直线的位置关系的判定方法；代数方法：消元，判断；（二）新课讲解：3弦所在的直线方程例1、已知椭圆，过点P（2，0）能否作直线，使得直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是P点？解：由于椭圆是关于长轴、短轴对称的，过P且垂直于x轴的弦是关于x轴对称的，因而使得P点就是这条弦的中点，因此能作直线使得与椭圆相交成的弦的中点恰好就是P。小结：从本题求得的直线：，它的斜率不存在，可是若不注意审题而把直线设成点斜式，如，和椭圆方程联立去解，不仅运算繁琐，而且结论是错误的。例2、已知一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线的方程。解法一：设通过M（1，1）的直线AB的方程为：，代入椭

7、圆方程，整理得。设A、B的横坐标分别为，则，解之得：，故AB的方程为：，即：解法二：设A（），AB的中点M的坐标为（1，1），所以B点的坐标为，将A、B两点的坐标代入方程，得，及，化简为，-得：，即：，,同理有：，因为A（），B（）都满足，所以即为所求的直线方程。解法三:设A（），B（）是弦的两个端点，代入椭圆方程得： -得：M（1，1）是弦AB的中点，故AB的方程为：，即：4、关于直线对称问题例3、已知椭圆C：，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称。解法一：设，是椭圆C：上关于直线对称的两个点，则。设PQ的方程为，则，消去y，得。由=，解得。 且有，点在直线上， 把代入得，可得解法二：设，是椭圆C：上关于直线对称的两个点，是PQ的中点，则有两式相减得，。，解得：，