高二数学曲线和方程教案 人教版

1、高二数学曲线和方程教案 人教版教学目标： 1.了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，并据定义进行简单的判断与推理.2.会判定一个点是否在已知曲线上.3.进一步培养学生的逻辑推理能力及抽象思维能力.教学重点：曲线和方程的概念教学难点：曲线和方程概念的理解教学方法：启发引导式教 具：三角板、幻灯片教学过程：一、复习引入：1.问题1：什么叫直线的方程？什么叫方程的直线？问题2：直线和方程满足什么条件时，才能把这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线？答：（1）以方程的解为坐标的点都是直线上的点；（2）直线上的点的坐标都是这个方程的解下面我们来进一步研究一般曲线（当然也

2、包括直线）和方程间的关系二、讲授新知：曲线与方程的概念：1x-y=0能否表示第一、三象限的角平分线？说明： 1)若（x0，y0）是方程x-y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；2)若点（x0，y0）是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0，y0）是方程x-y=0的解；因此，此方程可以表示第一、三象限的角平分线。2能否表示第一、三象限的角平分线？说明： 1)若（x0，y0）是方程的解，即，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；2)若点（x0，y0）是这条直线上的任意一

3、点，则x00,y00，而第一、三象限的角平分线的坐标可以小于0；综上所述，以此方程的解为坐标的点都在第一、三象限的角平分线上，而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却不一定满足这条方程。事实上，此方程表示的曲线是第一象限角平分线（包括原点），不能表示第一、三象限的角平分线3x2-y2=0能否表示第一、三象限的角平分线？说明：x2-y2=0(x-y)(x+y)=0x-y=0或x+y=0，显然以这个方程的解为坐标的点分布在第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上。也就是说，以方程x2-y2=0的解为坐标的点不是都在第一、三象限的角平分线上，而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却都是此方程的解（作

4、图）4结论（引导学生）从上面的例子中，我们可以得到曲线与方程的关系：在平面直角坐标系中，如果某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：上的点的解（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（毫无例外）纯粹性（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。（毫无遗漏）完备性巩固概念：1）选择：1.如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么（ C ）（A）曲线的方程是（B）方程的曲线是（C）曲线上的点都在方程表示的曲线上（D）以方程的解为坐标的点都在曲线C上2.已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列命题

5、中正确的是（B）（A）曲线上的点的坐标都适合方程（B）不在曲线上的点的坐标必不适合（C）凡坐标不适合方程的点都不在上（D）曲线是满足条件的点的轨迹2）判断：1.过点P（2,0）的直线与轴平行，则直线的方程为. （）2.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是直线. （）3.方程的曲线是到轴的距离为到轴距离的2倍的动点的轨迹 （）注意：说这个方程是这条曲线的方程，或这条曲线是这个方程的曲线，一定要说明两点。如：方程、x2-y2=0不能表示第一、三象限的角平分线三、例题精讲：例1.判断点M1（3，-4）、M2（-2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上解：把点M1（3，-4）、M2（-2，2）的坐

6、标分别代入方程x2+y2=25，可知（3，-4）是方程的解，所以点M1在曲线上；（-2，2）不是方程的解，所以点M2不在C上练习：已知方程判断，是否在此方程表示的曲线上. (P在，Q不在)若点在此方程表示的曲线上，求. (=2，=)例2.证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程为x2+y2=25.分析：1.回忆圆的定义 2.证明已知条件下的圆的方程为x2+y2=25，要证明两方面的内容：1） 满足这个条件下的任意点的坐标都是这条方程的解；2） 以这个方程的解为坐标的点都满足这个条件证明：（1）设M（x0，y0）是圆上任意一点，由已知得： 即，即（x0，y0）是方程x2+ y2=25的解。（2）

7、设（x0，y0）是方程x2+ y2=25的解。那么，两边开方取算术根，得 ，即点M（x0，y0）到原点得距离等于5，点M（x0，y0）是这个圆上的点综上所述，x2+ y2=25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程申1.在例2中若擦去右半圆，只剩下左半圆则其方程为.例3.方程分别表示什么曲线，为什么？表示一点A（1，1）表示如图一直线与一射线例4.方程表示的曲线是四、课堂练习：P69练习T1，2，3五、小结：本节课主要内容是曲线和方程的概念，注意理解其满足的两个条件纯粹性和完备性六、作业：1.P72习题7.6T1，22.每课一练七、板书设计：求曲线的方程教学目标：1.了解坐标法和解析几何的意义

8、，了解解析几何的基本问题2.进一步理解曲线的方程和方程的曲线3.初步掌握求曲线方程的方法4.通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力教学重点：求曲线的方程教学难点：求曲线的方程教学方法：启发引导法，讨论法教具：幻灯教学过程：一、复习引入：1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线2.引入：二、讲授新知：1.坐标法和解析几何的意义：由曲线的方程、方程的曲线的概念，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足方程用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质坐标法：把这种借助坐标系来研究几何问题的方法称为坐标法；

9、解析几何：用坐标法来研究几何图形一门科学称为解析几何，即用代数方法厂家几何问题的一门科学，充分体现了数形结合的思想2.解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程（2）通过方程，研究平面曲线的性质事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线本节课就初步研究曲线方程的求法3.如何根据已知条件，求出曲线的方程三、例题精讲：例1.设 、两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段的垂直平分线 的方程首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决解法一：易求线段 的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求

10、得的斜率为，于是有 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决可是，你们是否想过恰好就是所求的吗？或者说就是直线 的方程？根据是什么，有证明吗？ 证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解设 是线段 的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得，这说明点 的坐标 是方程 的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点设点 的坐标 是方程的任意一解，则即到 、的距离分别为 所以点 在直线 上综合（1）、（2），是所求直线的方程注：至此，证明完毕回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设 是线段 的垂直平分线上任意一点，最后得到式

11、子 ，如果去掉脚标，这不就是所求方程 吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设 是线段 的垂直平分线上任意一点，也就是点 属于集合，由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为 ，将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与方程对应的思想因此是个好方法让我们用这个方法试解如下问题：例2.点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程分析：

12、这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系然后仿照例1中的解法进行求解求解过程略【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标；（2）写出适合条件 的点 的集合；（3）用坐标表示条件 ，列出方程 ；（4）化方程 为最简形式；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 一

13、般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正下面再看一个问题：例3.已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到 点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程解：设点 是曲线上任意一点， 轴，垂足是 ，那么点 属于集合由距离公式，点 适合的条件可表示为将上式 移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在 轴的上方，所以，虽然原点 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应

14、为 ，它是关于 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如上图所示四、练习巩固：1.等腰三角形底边的两个端点为B（2,1），C（0，3），则顶点中A的轨迹2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，若满足其中，则点的轨迹方程为（）3.在正三角形 内有一动点 ，已知 到三个顶点的距离分别为 、 、 ，且有222，求点 轨迹方程分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如下图所示设 、的坐标为，则 的坐标为， 的坐标为 根据条件 222，代入坐标可得化简得 由于题目中要求点 在三角形内，所以 ，在结合式可进一步求出 、的范围，最

15、后曲线方程可表示为 () 五、小结：师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？六、作业：课本P72T3，4，5七、板书设计：求曲线的方程的常用方法教学目标：1.熟悉求曲线方程的一般步骤2.能利用一般步骤熟练求出曲线的方程3.求曲线的交点4.通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力教学重点：求曲线的方程的常用方法教学难点：求曲线的方程的常用方法教学方法：启发引导法，讨论法教具：幻灯教学过程：一、复习引入：1.坐标法：2.解析几何的概念：3.解析几何研究的主要问题：4.求曲线

16、方程的一般步骤：5.引入：接着学习求曲线方程的一些常用方法二、讲授新知：例1.已知线段的长为3，平面上一动点到点的距离是到点距离的两倍，求动点的轨迹方程分析：应先建立一平面直角坐标系，再找条件去求解解：建立如图所示的坐标系，且满足，设，由条件知，则化简整理得，所以，的轨迹方程是注：1）坐标法求轨迹方程时应建立一适当的坐标系建系一般遵循下列原则：原点取在某一定点，坐标轴选在某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴；尽量使用图形的对称性及垂直关系2）此题求解轨迹方程的方法称为“直接法”是求解轨迹方程的最常用方法3）注意“数形结合”思想的运用4）除了这种建系的方法外还有其他的如方法、等（练习）练习：已

17、知两定点A，B间的距离为，求到A，B距离之比为的点的轨迹方程例2.已知A（4，0），C（0，-4），点B在圆x2+y2=1上运动，求ABC的重心G的轨迹方程为什么解：（如图）设G点坐标为（x，y），B点的坐标为（x1，y1）（y10）则，故因为B（x1，y1）在x2+y2=1上，故(3x-4)2+(3y+4)2=1即注：1.此题再次告诉我们求轨迹最终务必要注意范围，要使A、B不共线2.这种方法称为“代入法”，或称“坐标转移法”或称“相关点法”通常用于动点在已知曲线上，而所求点与动点的位置有关3.代入法的一般步骤：设点，被动点，主动点；求关系式，求出P、Q坐标间关系；代换，将上述关系代入已知曲线

18、方程即得结果练习：1.已知定点，是单位圆上的动点，的平分线交于，求轨迹方程2.已知，点在直线上，求的重心G的轨迹方程例3.过点作互相垂直的直线、，分别交、轴的正向于、两点，求线段的中点的轨迹分析：思路一，设中点的坐标为，若能把点坐标转移到，两点，再利用，问题便可解决思路二，若设斜率为，则的斜率为，再建立、的方程，求得、两点坐标，继而得到点坐标用参数来表示，最后消去参数便可达到目的，在上述考虑要注意斜率存在与不存在的情况，思路三，由于P、A、B、O四点共圆故从而也可解解法一：若不垂直于轴，设的斜率为，则的斜率为，所以的方程为，的方程为，两式联立，则得，从而点的坐标为即，消去则得的轨迹为若，则（3

19、,4）满足上述方程故的轨迹方程为（0，0）注：1.上述用的方法为“参数法”即引进一参数找到动点的关系横、纵坐标然后再消去参数即可求出其轨迹的方法2参数法也是求解曲线方程的一种常用方法.解法二：利用一下即求出解略例4.F是定点，是定直线，点F到直线的距离为p（p0）点M在直线上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足条件，求动点N的轨迹解：建立如图所示的坐标系，F（0,0）：，设则由于是即注：此法称“几何法”练习：已知的顶点是定点，边在定直线上滑动，边上高为3，求外心的轨迹方程答案：（如右图）引申：已知ABC中，|BC|=6，BC边上的高等于2，点A在与BC平行的直线上运动，求ABC的垂心轨迹答案：

20、 三、练习：四、小结：本节课主要研究了曲线方程的几种常用求法直接法、代入法、参数法、几何法等等，特别注意求解时的坐标系的建立，选取适当的坐标系。五、作业：P72习题7.66、7、8六、板书设计：求曲线的交点教学目标：1.理解两曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解2.曲线交点的情况3.会求弦长教学重点：交点的求法转化为方程组解的情况教学难点：问题的转化教学方法：启发引导法，讨论法教具：幻灯教学过程：一、复习引入：1求曲线方程的一般步骤：2两直线相交如何求其交点：3引入：若给两条曲线且相交又该求其交点呢？下面就来研究一下。二、讲授新知：练习：1求直线与的交点2 求直线与的交

21、点例1.求直线与曲线的交点的坐标分析：求交点即转化为求相应方程组解的情况。解：由题意，则联立方程组解此方程组得直线与曲线的交点为注：1.求两条曲线的交点，即求两个曲线方程的公共解，也就是两个曲线方程组成的方程组的实数解；反之，方程组有几个实数解，两条曲线就有几个交点；2.若方程组没有实数解呢？（两曲线就没有交点，反之也成立）练习：求直线l：x-y+2=0和曲线y2=2x2+2的交点 答案：和变式：将直线方程改为x-y+m=0（mR）呢？（猜想会有几个解？跟什么有关？）小结：二次曲线与二次曲线、二次曲线与直线的交点问题将解析几何与二次函数、二次方程、二次不等式等知识联系在一起，是高考的一个重点和

22、热点例2.若抛物线及直线相交于不同的两点、，（1）求的取值范围（2）求（3）求线段的中点坐标解：（1）由则其得4（2）设由韦达定理，（3）设线段的中点坐标为，则有即中点为（2，4）评：1.充分利用二次函数的思想2.弦长公式：=引申1.当为何值时，抛物线与直线有两个交点：仅有一个交点？没有交点？（0或，一个交点；且0，两个交点；，无交点）引申2.已知直线：y=x+b，曲线：有两个公共点，求b的取值范围.分析：采用数形结合的思想，或者利用代入求解()引申3.直线与曲线相交于、两点，若（O为原点），求实数的取值范围分析：由，则可设从而得到利用韦达定理可以得出结果1例3.已知两曲线的方程分别为和求这两

23、条曲线的交点解：由题意，得 2得 即 将代入中，得 所以相应故交点的坐标为(2,1)，(-2，-1) 注：二元二次的要会求解 例4.设为非零实数，证明曲线恒过两个定点证：原方程可转化为即该曲线恒过的交点故可得评：1.类似于过直线交点的直线系方程也有过曲线与的交点的曲线方程为或2.同样说明一曲线恒过某一定点也可利用上面的方法来求解只须联立与即可三、课堂练习：1.求证：不论m取任何实数，方程(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标定点就是（-1，2）2.若曲线与有两个公共点，求实数的取值范围(数形结合的方法结果为1)四、小结： 本节课主要研究了两曲线的交点问题，并知道求曲线的交点即转化为相应