高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末分层突破学案 北师大版选修

1、第三章 圆锥曲线与方程自我校对1(ab0)1(ab0)(a,0)(0，b)或(0，a)，(b,0)2a2b(c,0)，(c,0)2c1(a，b0)yxyxy22px(p0)x22py(p0)y圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化

2、为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值【精彩点拨】要求的值，可考虑利用椭圆的定义和PF1F2为直角三角形的条件，求出|PF1|和|PF2|的值，但RtPF1F2的直角顶点不确定，故需要分类讨论【自主解答】由题意知，a3，b2，则c2a2b25，即c，由椭圆定义知|PF1|PF2|6，|F1F2|2.(1)若PF2F1为直角，则|PF1|2|F1F2|2|PF2|2，|PF1|2|PF2|220，即，解得|PF1|，|PF2|.所以.(2)若F1PF2为直角，则|F

3、1F2|2|PF1|2|PF2|2.即20|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2或|PF1|2，|PF2|4(舍去)所以2.再练一题1已知点M(3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过点M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()Ax21(x1)Bx21(x1)Cx21(x0)Dx21(x1)【解析】设PM、PN与C分别切于点E、F，如图，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|.从而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|422|MN|，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)所求轨迹方程为x21

4、(x1)【答案】A圆锥曲线简单性质的应用有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.【精彩点拨】求出直线AB的方程，利用点到直线的距离，转化为离心率e的方程求解【自主解答】由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0.又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即821450，

5、8e214e50.e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.再练一题2已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()AxyByxCxyDyx【解析】由题意，3m25n22m23n2，m28n2，令0，y2x2x2，yx，即双曲线的渐近线方程是yx.【答案】D直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定：直线l：f(x，y)0和曲线C：g(x，y)0的公共点坐标是方程组的解，l和C的交点的个数等于方程组不同解的个数这样就将l和C的交点问题转化为代数的问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便，尤其在双曲线

6、中要注意渐近线的特殊性2弦长公式：(1)斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|或当k存在且不为零时，|AB|y1y2|，(其中x1x2、x1x2(或y1y2、y1y2)根据根与系数的关系求得)(2)抛物线y22px(p0)过焦点F的弦长|AB|x1x2p.已知椭圆1(ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)若|AB|，求直线l的倾斜角；若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值【精彩点拨】(1)建

7、立关于a，b的方程组求出a，b；(2)构造新方程，综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解【自主解答】(1)由e，得3a24c2.由c2a2b2，得a2b.由题意，知2a2b4，即ab2.解方程组得a2，b1.所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)知点A的坐标是(2,0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，从而y1.所以|AB|.由|AB|，得.整理，得32k49k2230，即(k21)(32k223)0，解得k1.所以直线l的倾斜角为或.设

8、线段AB的中点为M，则点M的坐标为.以下分两种情况：a当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.b当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y.令x0，解得y0.(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理，得7k22，故k.所以y0.综上，y02或y0.再练一题3在抛物线y216x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是_【解析】设所求直线与y216x相交于点A、B，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得y16x1，y16x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)16(x1x2)，

9、即，得kAB8.设直线方程为y8xb，代入点(2,1)得b15；故所求直线方程为y8x15.【答案】8xy150曲线方程的求法求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y

10、的关系式x(t)，y(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程，设直线yaxb与双曲线3x2y21交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求P(a，b)的轨迹方程【精彩点拨】求点P(a，b)的轨迹方程，即探究a，b满足的关系式，通过条件“以AB为直径的圆过原点”即可找出a，b满足的条件【自主解答】联立方程组得：消去y得：(a23)x22abxb210.直线与双曲线交于A，B两点，解得：a23.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由，得x1x2y1y20.又y1y2(ax1b)(ax2b)a2x1x2ab

11、(x1x2)b2，有a2b20，化简得：a22b21.故P点的轨迹方程为：2y2x21(x23)再练一题4已知椭圆1(ab0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型【解】(1)由e，得.又由原点到直线yx2的距离等于圆的半径，得b，a.(2)法一：由c1，得F1(1,0)，F2(1,0)设M(x，y)，则P(1，y)因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，得(x

12、1)2y2(x1)2，即y24x.所以此轨迹是抛物线法二：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点、l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.圆锥曲线中的最值与定值问题1.圆锥曲线中的最值问题(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值2圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线

13、中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决其证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作为：变量选择适当的量为变量；函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值如图31所示，过抛物线y22px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点图31(1)证明直线AB过定点；(2)求AOB面积的最小值【精彩点拨】(1)利用ABx轴发现定点再证明(2)设直线AB与x轴交点M，利用SAOBSAOMSBOM|OM|(|yA|yB|)求解【自主解答】(1)证明：当直线AB的斜率不存在时，ABx轴，又OAOB，AOB为等腰直角三角形，设A(x0，y0)，则y2px0

14、，x02p，直线AB过点(2p,0)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(xa)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程消去x得ky22py2pak0，则y1y22pa.又OAOB.y1y2x1x2.由方程组消去y，得k2x2(2k2a2p)xk2a20，则x1x2a2.因此，a22pa.a2p.故直线AB过定点(2p,0)(2)由(1)知：AB恒过定点M(2p,0)SAOBSAOMSBOM|OM|(|y1|y2|)p(2)又y2px1，y2px2，(y1y2)24p2x1x2.又y1y2x1x2，于是|y1y2|4p2.故SAOB的最小值为4p2.再练一题5已知椭圆1(ab0)

15、，B为椭圆短轴的一个顶点，过B点作椭圆的弦BM，求弦长的最大值【解】设M(x，y)，B(0，b)，则有|BM|2x2(yb)2，由1，得x2(b2y2)，代入上式得|BM|2y22bya2b22(byb)，由于ab0，0，0，所以当b，即a22b2时，|BM|；当b，即a22b2时，函数|BM|2f(y)在b，b上单调递增，当yb时，|BM|4b2.所以当ab时，弦长的最大值为|BM|max；当ab时，弦长的最大值为|BM|max2b.数形结合思想解析几何的本质是用方程来研究平面几何，故既要考虑曲线的形，又要考虑表示曲线的数，利用数来解形的同时，要关注用形来助数已知P(x0，y0)是椭圆1(a

16、b0)上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切【精彩点拨】根据椭圆的定义，结合图像中三角形中位线定理来解决问题【自主解答】设以PF2为直径的圆的圆心为A(如图所示)，半径为r.F1、F2为焦点，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2r，|PF1|2r2a，即|PF1|2(ar)连接OA，由三角形中位线定理，知|OA|PF1|2(ar)ar.故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切再练一题6曲线x2y24与曲线x21的交点个数为()A1B2C3D4【解析】画出图形，由图形知交点有4个【答案】D1已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上

17、的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A.BC.D【解析】由双曲线方程可求出F1，F2的坐标，再求出向量，然后利用向量的数量积公式求解由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.BC.D1【解析】如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则y2px0，即x0.设M(x，y)，由2，得化简可得直线OM的斜率为k(当且仅当y0p时取等号)【答案】C

18、3如图32，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.图32(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程【导学号：】【解】(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.4设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率