2020年人教版八年级数学上册教案： 15.3　分式方程.doc

1、15.3分式方程第1课时 解分式方程【教学目标】1.通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，增强“用数学”的意识.2.理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程.3.通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.4.了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.【重点难点】重点：正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.难点：产生增根的原因.教学过程设计教学过程设计意图一、创设情境，导入新课问题1：课件出示本

2、章引言中的问题.让学生独立思考，回忆以往所学知识，顺势复习分式以及方程的相关知识.问题2：为了帮助遭受地震的灾区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？有了问题1，估计问题2学生能轻松拿下，得到答案.至此得到两个方程：，.议一议：上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？以前我们学过什么方程？试举例说明.明确：不是，以前学过一元一次方程和二元一次方程，如x13，xy7等.比一比：以前学过的方程与上面刚得到的两个方程有什么不同？以前学

3、过的都是整式方程，里面没有分式，而刚才的两个方程都含分式，且有未知数处在分母的位置上.说一说：你能尝试给它一个名字吗？说一说命名的原因.估计学生能答出分式方程，因为里面含有分式.想一想：方程x(x1)是不是分式方程？为什么？你能归纳出分式方程的概念吗？不是，因为它不含分式，分母中没有未知数.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.师总结：分式方程和我们以前研究的一(二)元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型，但它从形式上又与它们不同：分母中含有未知数.要使上述2个问题得到真正的解决，则必须想方设法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我们就一起来学习“分式方程的解法”.

4、问题1是本章章前的引例，以此实际问题复习分式及方程的有关知识，避开了生拖硬拽，顺乎学生的心理需求；考虑到一个方程不足以引起学生的心理指向，于是设置了问题2，二者合起来，为分式方程的现身提供了“物质”载体.二、师生互动，探究新知问题1：试解分式方程：(1)；(2).为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：(1)回顾一下一元一次方程是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？可师生共解方程2.(2)能不能效仿有分母的一元一次方程的解法，想办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？在学生回答的基础上，基本形成求解的思路，抓住时机让学生尝试练习，两中等生板演.由于长时间解整式方程的惯性，检验环节已经

5、淡化，估计学生会忘记检验.师：在学生完成后，概括出：解分式方程的过程实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.至此，虽然不完善，但已经通过模仿解决了怎样化“整”的问题，应肯定学生所为，并通过巡视、交流发现问题，尤其要抓住去分母的关键确定最简公分母.着重提炼出求解的基本思想以及与含分母的整式方程的差异.接着为了突出检验的必要性，完善解分式方程的步骤，特出示以下练习：试一试：解方程.学生易得：方程两边同乘以(x1)(x1)，约去分母，得x12.解这个整式方程，得x1.反问：x1真是原分式方程的解吗？督促学生进行检验、

6、反思.学生通过代回发现：x1时，原方程的分母为0，分式根本没有意义，产生困惑：问题出在哪里？组织学生讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这一步，其他步骤一点问题都没有.师捕住时机，提出问题2.问题2：同样是分式方程，前面解的两个方程为什么没有碰到这样的麻烦？解一元一次方程为什么也没有这些麻烦？具体一些，就是为什么去分母后所得整式方程90(30v)60(30v)的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程x12的解却不是原分式方程的解呢？真理愈辩愈明，通过学生们思想的交流、思维的碰撞，在相互补遗和老师的参与下明朗起来：因为在去分母时，两边乘了一个含未知数的整式，是否为零是事先不知道的，我们

7、实际上是假定不为零来操作的，而第一个方程化整后的解不能使“(30v)(30v)”等于零，避开了麻烦，而去分母后所得整式方程的解恰好使得两边乘的整式“(x1)(x1)”等于零，这样就扩大了未知数的范围，以致出现分母为零的现象，因此x1只是化整后整式方程的解，而不是原分式方程的解，所以原方程无解.整式方程在去分母时，两边乘以的数是否为零一目了然，自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论，解分式方程必须检验.问题3：解分式方程，如何检验？组织学生讨论，由于有了前面解方程的基本经验和刚才的辩论，估计学生能作答.方法一：和整式方程的检验一样，将去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端，看它们是否相等.

8、方法二：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.设置问题1，蕴藏矛盾，通过尝试练习挑起矛盾，设置问题2，3深化矛盾，引导学生刨根问底化解矛盾，在反思中形成解分式方程的方法、步骤.三、运用新知，解决问题1.解方程：.分析：题小能量大，注意挖掘，鼓励学生算法的多样性.思路一：方程两边同乘最简公分母x(x3)；思路二：利用比例的性质“内项之积等于外项之积”；思路三：利用“分式的基本性质”，左右通分，得再求解.2.解方程：1.完成后，提出思考题：1.由以上两个例子及前面的解题经历，请同学们归纳解分式方程的基本思想、基本方法

9、和基本步骤.2.你推测一下，可化为一元一次方程的分式方程的解的情况.明确：1.(1)基本思想：分式方程整式方程.(2)基本方法：方程两边乘以最简公分母.(3)基本步骤：在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程(一元一次方程)；解这个整式方程；检验.2.此类分式方程要么有一解，要么无解，两种可能.四、课堂小结，提炼观点在探索中遇到困难，你是怎么办的？对自己在本节课的学习情况进行反思、评价.本节课你能提出什么问题？五、布置作业，巩固提升必做题：教材第154页复习巩固1选做题：解方程：(1)；(2).【板书设计】解分式方程一般步骤：去分母；求解；检验.【教学反思】本设计首先创设出生活情境

10、，让学生经历从实际问题抽象出数学、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，以及分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性.第2课时 分式方程的实际应用【教学目标】1.会列分式方程解决比较简单的实际问题并能检验根的合理性.2.以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力.【重点难点】重点：实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.教学过程设计 教学过程设计意图一、创设情境，导入新课问题1：快速解方程.(1)8；(2).反思1：解分式方程的基

11、本思路和步骤是什么？反思2：解分式方程与解整式方程的根本区别是什么？问题2：你能解决如下实际问题吗？某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有即时到位，只好先用人工装运，6小时完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1小时完成了后一半任务.(如果设单独采用机械装运x小时可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？请找出此题中存在的数量关系)基本知识是应用能否顺利进行的资本.通过问题1的解决返扣上一节的所学，为应用的开展铺设好“路基”.然后通过问题2，把生活中常见的工程问题摆出来.二、师生互动，探究新知学生交流上述问题2，达成基本共识.等量关系：(人工装运的工作效率机械装运的工作效率)1.

12、由人工搬运6小时完成一半任务可知，完成整个搬运任务需要12小时，故人工单独搬运1小时完成整个任务的，亦即人工装运的工作效率；由单独采用机械装运x小时可以完成后一半任务可知，单独采用机械装运完成整个搬运任务需要2x小时，故单独采用机械装运1小时完成整个搬运任务的，也就是机械装运的工作效率.通过以上分析可得：1，即1.教师小结：客观世界中存在着大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题，这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词：“学以致用”.这一环节意在实现从解分式方程到列分式方程的过渡，通过答问，窥探学生的“学习现实”，为信息交流提供丰实的资源

13、，以此体现数学学习是不断生成问题和解决问题的过程，在这个过程中把工程问题的基本规律揭示出来.三、运用新知，解决问题教材第152页例3.分析：本题没有具体的工作量，常常把工作量虚拟为1，工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的.等量关系为：甲队单独做的工作量两队共同做的工作量总工程量1，则有1.四、课堂小结，提炼观点本节课学习了哪些知识？对本节课的学习情况进行反思、评价，你有哪些收获？五、布置作业，巩固提升必做题：教材第154页综合运用第4、5题选做题：1.请你根据所给方程1

14、联系生活实际，编写一道应用题.2.一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，1小时后找到救生圈.问：(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？(2)救生圈是何时掉入水中的？【板书设计】列分式方程解决实际问题工程问题： ()11【教学反思】本节课整堂精心铺垫，结合具体的数学内容采用“问题情境建立数学模型解释应用与拓展”的模式展开，选择生动有趣的、有现实意义的.对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，并用数学模型描述日常生活，从而

15、使数学学习过程成为数学方法的掌握和数学思想的建构的过程，让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识，能够自觉地用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.第3课时 含字母系数的分式方程【教学目标】 1.会解简单的字母系数的分式方程，能应用分式方程的解法进行简单的公式变形.2.以路程问题为依托，正确分析实际问题中的数量关系，找准等量关系，进而列出分式方程，加深对方程模型的认识.【重点难点】重点：通过建立数学模型，发展思维以及解含字母系数的分式方程.难点：通过建立数学模型，发展思维以及解含字母系数的分式方程.教学过程设计教学过程设计意图一、创设情境，导入新课问题：动物趣闻自从上次龟兔

16、赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书.乌龟先生：我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下，比赛枪声响后，先到者是冠军.蚂蚁比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍，提前1分钟跑到终点，请你算算它们各自的速度.本问题将分式方程的应用镶嵌于学生喜闻乐见的童话故事中，意在拨开学生的兴趣之门，激发学生的学习热情，知趣共融，双收双赢.二、师生互动，探究新知为了帮助学生形成对此类问题清晰的思路，学会使用列表等辅助手段，特出示以下表格，让学生填空.设蚂蚁的速度为x米/分.速度(米/分)路程(米)时间

17、(分)蚂蚁乌龟教师板书解题过程.教学说明：在解答过程中，有关路程问题的关系式路程速度时间得到强化，为后续学习打开局面.另外，本题的思路不唯一，可根据速度关系或时间关系列方程，要注意方法的多样化.解答完成后，要不失时机地进行德育教育，激励学生学习乌龟这种锲而不舍的精神，做学习中的常胜将军.有了情境带来的兴致，就容易激发学生高涨的热情，教师要善于利用图表帮助学生理清思路，展开充分的交流，把涉及路程问题的规律揭示出来，为后续解决问题打开局面.三、运用新知，解决问题1.第六次火车大提速后，从北京到上海的火车运行速度提高了25%，运行时间缩短了2h.已知北京到上海的铁路全长为1462km.设火车原来的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是()A.2B.2C.2 D.22.教材第153页例4.分析：本题是一个典型的行程问题，基本关系是速度.由于题中用字母表示已知数(量