通信原理随机过程.ppt

1、第三章 随机过程,信控学院 通信教研室 林 霏 ,目标要求（1）,掌握随机过程、平稳随机过程、随机过程各态历经性的基本概念；掌握随机变量的数字特征； 掌握平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的性质、计算与分析； 掌握三种常见的平稳随机过程: 高斯过程 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯过程； 掌握随机信号通过线性系统所具有的特性。,目标要求（2）,重点是： 随机过程的概念，平稳随机过程及其数字特征的理解和掌握，维纳辛钦关系，高斯过程的性质，窄带随机过程分析，正弦波加窄带高斯过程。 难点是： 高斯过程、窄带随机过程、正弦波加窄带高斯过程的理解、分析和掌握。,目录（1）,3.1 随机过程的基本概念 3

2、.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征 3.2 平稳随机过程 3.2.1 定义 3.2.2 各态历经性 3.2.3 平稳过程的自相关函数和功率谱密度 3.2.1平稳过程的功率谱密度 3.3 高斯随机过程 3.3.1 定义 3.3.2 重要性质 3.3.2 高斯随机变量,目录（2）,3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.6 小结,3.1 随机过程的基本概念,为什么研究随机过程？ 在通信系统的研究中，输入信号、干扰、噪声等都不是确定信号，而是随机信号。但这些随机信号又具有一定的统计规律性。 随

3、机过程是随机信号的数学模型，研究它的理论就是研究随机信号的数学工具。,3.1 随机过程的基本概念,研究什么？ 随机过程的各种统计特性 随机过程通过线性系统,随机过程的第一种定义,第一种定义：设Ek，k=1,2.是一个随机试验，每次试验都有一条时间波形，称为样本函数或实现， 记做xi(t)，所有可能出现结果的总体 x1(t)，x2(t)，xi(t)，i为正整数，构成一个随机过程，记做(t) 。 随机过程就是所有样本函数的集合。,随机过程的一个例子,举例：n部接收机的输出噪声电压,随机过程的第二种定义（1）,第二种定义：,随机过程的第二种定义（2）,随机变量的特点：每次试验结果都是一个事先不可预知

4、的，但为确定的量； 随机过程则是随机变量概念的延伸，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量； 随机过程可看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。,例子,设随机相位余弦波X(t)=a cos(t+)，其中，a、为常数，随机变量在0, 2内服从均匀分布； 显然X(t)是一个随机过程； 若固定时刻t1，则X(t1)=a cos( t1 + )是一个随机变量； 若在0, 2内任选一个相位1，则有X1(t)=a cos(t+ 1)，它是随机过程X(t)的一个样本函数；,3.1.1 随机过程的分布函数,设(t)表示一个随机过程，它的统计性质可由其分布函数和概率密度描述。,一维分布函数与概率密度,随机

5、过程(t)的一维分布函数： 任一时刻t1，随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率，则 X(t)的一维概率密度函数： 如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，则,二维分布函数与概率密度,随机过程(t)的二维分布函数： 任意固定的t1和t2时刻，把(t1)小于等于x1和(t2)小于等于x2同时成立的概率 X(t)的二维概率密度函数：,n维分布函数与概率密度,(t)的n维分布函数： (t)的n维概率密度函数：,3.1.2 随机过程的数字特征,随机过程 (t)的数学期望或者均值：,表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。,随机过程的数字特征方差,随机过程的方差：,表示随机过程在时刻t相对于均值的

6、偏离程度,随机过程的数字特征自相关函数,自相关函数R(t1,t2)定义为：,其目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。,随机过程的数字特征协方差函数,协方差函数B(t1,t2)定义为：,自相关函数与协方差函数的关系：,随机过程的数字特征互相关函数,互相关函数R(t1,t2)定义为：,用来衡量两个随机过程之间的相关程度。,3.2 平稳随机过程,严平稳（狭义平稳）随机过程的定义,严平稳随机过程的数字特征,一维分布函数与时间t无关； 二维分布函数只与时间间隔t2-t1有关。,宽平稳（广义平稳）随机过程,宽平稳（广义平稳）随机过程 满足以下条件的随机过程即为宽平稳,严平稳与宽平稳的

7、关系,宽平稳随机过程不一定满足以下条件 严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程；但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程 对正态（高斯）随机过程而言，宽平稳和严平稳等价 若不加特别说明，平稳过程都是指宽平稳随机过程,3.2.2 各态历经性,各态历经性(遍历性)：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态,遍历过程必定是平稳过程，反之不然。,随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表,3.2.3 平稳过程的自相关函数和功率谱密度,实平稳随机过程的自相关函数,偶函数：,有界性：,周期性：,统计平均功率：,直流功率：,交流功率：,能量信号的能量谱密度（确知信号）,设一个能量信号

8、s(t)的能量为E，其傅里叶变换为s(f)（即频谱密度），则： |S(f)|2定义为能量谱密度，表示单位频带内的信号能量。,功率信号的功率谱密度（确知信号）,将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 t T/2，则信号能量为 功率谱密度定义为 信号功率为,3.2.4 平稳过程的功率谱密度,随机过程的一个样本函数为确知信号，平稳随机过程的功率谱密度为所有样本功率谱密度的数学期望，平稳随机过程的功率谱密度定义为：,问题：很难直接计算！,维纳辛钦定理（1）,平稳过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅立叶变换关系：,维纳辛钦定理（2）,结论：平稳过程的总功率为,意义： 指出用自相关函数表示功率谱密度的

9、方法； 从频域角度给出随机过程(t)平均功率的计算法。,例子（1）,例子（2）,上例(t)是否具有各态历经性？ 验证时间平均值等于统计平均值,例子（3）,例子（3）,求上例中的平均功率？,3.3.3 高斯随机变量,定义： 一维高斯过程的概率密度： 式中，a = EX(t) 为均值 2 = EX(t) - a2 为方差 为标准偏差 高斯过程是平稳过程，故 其概率密度f (x, t1)与t1无关， 即， f (x, t1) f (x) f (x)的曲线：,一维正态（高斯）分布的性质,一维正态（高斯）分布的性质,标准化正态分布,正态分布函数（概率分布函数）,误差函数,误差函数定义为： 自变量的递增函

10、数； erf(0)=0， erf()=0， erf(-x)=-erf(x).,互补误差函数,互补误差函数定义为： 自变量的递减函数； erfc(0)=1， erfc()=0， erfc(-x)=2-erfc(x); 当x较大时（实际应用只要x2），互补误差函数近似为：,Q函数,Q函数定义为： Q(-x)=1-Q(x), x0; Q(0)=1/2， Q()=0。,四种函数之间的关系（1）,概率积分函数与Q函数之间的关系：,四种函数之间的关系（2）,概率积分函数与误差函数之间的关系：,四种函数之间的关系（3）,概率积分函数与互补误差函数之间的关系：,四种函数之间的关系（4）,互补误差函数与Q函数之

11、间的关系：,高斯（正态）随机过程的定义,定义：其n维概率密度服从下式，称为高斯随机过程,高斯（正态）随机过程的性质,性质 （1）对正态（高斯）随机过程而言，宽平稳和严平稳等价 （2）对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的 （3）任意有限个高斯随机过程的任意线性和仍是高斯随机过程,3.4平稳随机过程通过线性系统,线性系统的特性 有一对输入端和一对输出端 无源 无记忆 非时变 有因果关系：先有输入、后有输出 有线性关系：满足叠加原理 若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为 时，输出为： 式中，a1和a2均为任意常数。,线性系统的示意图,线性系统,时域分析法 设h(t) 系统的

12、冲激响应 x(t) 输入信号波形 y(t) 输出信号波形 则有：,确知信号通过线性系统分析（1）,频域分析法 设：输入为能量信号，令 x( t ) 输入能量信号 H( f ) h( t )的傅里叶变换 X( f ) x( t )的傅里叶变换 y( t ) 输出信号 则此系统的输出信号y( t )的频谱密度Y( f )为： 由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出y( t )：,确知信号通过线性系统分析（2）,随机过程通过线性系统,线性系统的输入端加入一个随机过程：,输出随机过程的均值,输出随机过程的均值,输出随机过程的自相关函数,输出随机过程的自相关函数,若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程

13、也是平稳的。,输出随机过程的功率谱密度,输出随机过程的功率谱密度,输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。,输出过程的概率分布,如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型。 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。,例子,设X是a0，1的高斯随机变量，试确定随机变量Y=cX+d的概率密度函数f(y)，其中c, d为常数。,3.5 窄带平稳随机过程,3.5 窄带平稳随机过程,窄带平稳随机过程的样函数的波形图,如同一个包络和相位随机缓变的正弦波。,3.5 窄带平稳随机过程,两种表达式,3.5 窄带平稳随机过程,两种表达式的关系,数学期望,自相关函数,

14、若窄带过程是平稳的，则它的同相分量也是平稳的。,若窄带过程是平稳的，则它的正交分量也是平稳的。,结论,一个均值为零的窄带平稳高斯过程，他的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同； 在同一时刻上得到的同相和正交分量是互不相关或统计独立的。,3.5.3 a(t) 和(t) 统计特性分析,(4) 如果(t) 是高斯过程, c(t) 和 s(t) 是统计独立的 ，即： fcs(c, s)=fc(c) fs(s) = (5) c(t) 和s(t)具有相同的功率谱密度，都和(t)的PSD有关联。即：,3.5.3 a(t) 和(t) 统计特性分析,(t) = a(t) cos ct+

15、 (t) 其中：a(t)=c2(t) +s2 (t) 1/2 包络 (t)=tan-1s(t)/ c(t) 相位 我们从 fcs(c, s)=fc(c)fs(s) 和 c=acos 开始讨论 s=a sin,1.推导联合PDF,由前面讨论我们已经得到通向分量和正交分量的联合PDF： 由概率论知识, 我们可以得到 a 和 的联合PDF，如下:,其中 可以得出：,计算包络和相位的一维 PDF,所以：,结论,1、 平稳窄带高斯过程的包络 a(t) 的一维分布是瑞利（Rayleigh）分布； 2、平稳窄带高斯过程的相位 (t) 服从 （0，2）上的均匀分布； 3、 a(t) 和 (t) 是统计独立的。

16、statistically independent。,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,零阶贝塞尔函数,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,两种极限情况： 当信号很小，A趋于0，即小信噪比时，由莱斯分布退化为瑞利分布。 当大信噪比时，近似为高斯分布。,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,A ，f (z) 近似高斯分布,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,加性噪声独立于有用信号 噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声 噪声分类：确知噪声、随机噪声 随机噪声分类 单频噪声：并不总是存在； 脉冲噪声(

17、点火、闪电，幅度大、时间短，频带宽)：安静期长, 对模拟话音影响不大，但对数字通信易造成误码，可使用纠错编码； 起伏噪声(热、散弹、宇宙)：普遍存在不可避免，可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度。,白噪声（1）,白噪声定义：功率谱密度在整个频域内均为一常数，是一种理想宽带过程。,白噪声（2）,白噪声的自相关函数为：,白噪声仅在=0时才相关，而在任意两个时刻（0）的随机变量都是不相关的。,白噪声（3）,白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大。,如果白噪声的取值服从高斯分布，就称之为高斯白噪声。,带限白噪声,实际信道或滤波器的带宽存在一定限制，白噪声通过后，其结果是带限

18、噪声。若其谱密度在通带范围内仍具有白色特征，则称其为带限白噪声。 低通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声； 带通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则输出的噪声称为带通白噪声。,低通白噪声（1）,假设理想低通滤波器具有模为1，截止频率为ffH的传输特性，则低通白噪声的功率谱密度为：,低通白噪声（2）,自相关函数为：,低通白噪声（3）,只有以频率2 fH对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关。,带通白噪声（1）,理想带通滤波器的传输特性为：,输出噪声的功率谱密度为：,带通白噪声（2）,自相关函数为：,带通白噪声（3）,若带通滤波器