组合数学-13.1.2 克鲁斯卡尔定理的证明.ppt

1、13.1.2 定理13.1的证明,如何证明,假设:这个算法终止于T有n-1条边 那么根据定理3.20： 假设G是一个有n个顶点和e条边的图。那么G是树当且仅当G没有回路且n=e+1. 证明T是一棵树，是G的一棵支撑树。 因此，G是连通的图 若算法将终止于没有找到有n-1条边的集合T。 则G是非连通的图,分为两部分证明 1.当G为连通图时 2.当G为非连通图时,定理13.1 ： 如果G是n个顶点的联通网络，Kruskal算法将终止于一个有n-1条边的最小支撑树T。 如果G是非连通网络，那么算法在检查所有边之后，T中仍没有n-1条边，这时它将停止并输出G是非连通的信息。 证明思想： 1.若G是连通

2、的： (1)证明这个算法的确给出的是支撑树 (2)证明这个支撑树是最小的。 2.若G是非连通的 证明算法终止时没有给出有n-1条边的T,证明： 1.当G为连通的 (1)若算法给出有n-1条边的T 那么根据定理3.16： 假设G是一个有n个顶点和e条边的图。那么G是树当且仅当G是连通的且n=e+1. 则能证明算法给出的T是支撑树,(2)想要证明Kruskal生成的支撑树T是最小支撑树,1,2,5,4,6,3,5,6,9,19,11,26,21,1,2,3,4,5,6,5,6,11,14,14,14,18,16,16,要证明支撑树T是最小的。 反证法: 假设T不是最小支撑树 假设S是G的一棵最小支

3、撑树 ST,e1(x,y):为第一条在T中而不在S中的边,这时会出现两种情况 情况1：e1的权值e2的权值 情况2：e1的权值e2的权值,Kruskal生成的支撑树T,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,11,e1,假设的最小支撑树S,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,e2,x,y,X,Y,S中存在一条简单链C(x,y),与e1(x,y)构成回路,在链C(x,y)中存在一条在S中但不在T中的边e2,情况1：e2的权值e1的权值,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,11,e1,Kruskal生成的支撑树T,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,假设的最小支撑树S,

4、9,e2,因为e1是第一条在T中但不在S中的边,所以T中在e1之前被找到的边也一定在S中出现,既然e2e1，为什么T选择了e1却没选择e2,因为e2与e1之前出现的边形成了回路，所以T选择了边e1,因为S是支撑树，S中不能有回路 所以与假设矛盾 那么情况1不成立,情况2：e1的权值e2的权值,S:是从S中去除边e2，加上边e1的边的集合 S=S-e2+e1(权值),假设的最小支撑树S,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,e2,支撑树S,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,e2,e1,情况2：e1的权值 e2的权值,S=S-e2+e1(权值),假设的最小支撑树S,1,2,5,4,

5、6,3,14,16,5,6,e2,支撑树S,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,又因为S是最小支撑树 所以S权值和=S权值和 所以S就是最小支撑树,因为S为最小支撑树 所以e2的权值至少与e1的权值一样大,e1,情况2：e1的权值 e2的权值,因为e2 e1(权值) 所以 S的权值和=S的权值和,情况2：e1的权值e2的权值,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,e1,支撑树S,Kruskal生成的支撑树T,11,e1,图中，支撑树S与Kruskal生成的支撑树T相同 就可以证明T是最小支撑树。,这是当T=S的情况，证明完毕。,11,当

6、 TS时，再继续找 第一条在T中但不在S中的边e1 不在T中但在S中的边e2 S”=S-e2+e1 按照以上的方式重复做，直到找到T=S”为止,1,2,5,4,6,3,6,1,2,5,4,6,3,14,16,5,6,e1,支撑树S,Kruskal生成的支撑树T,11,e1,情况2：e1的权值e2的权值,11,2.若G是非连通的： 若这个算法终止时没有给出有n-1条边的T 反证法： 假设G是连通的 T中的边数少于n-1条 T至少有两个分支 又G是连通的 G中存在一条连接T的两个不同分支中的顶点的边x,y 现在x,y不与T中的边形成回路 当这一算法开始检查这条边时，它应该包含于T =假设不成立，只有当G是非连通的时候才会出现这种情况,1,2,5,4,6,3