2017届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、2016-2017学年河北省唐山市高三年级第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1已知集合， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由， ，得， 则，故选D.2设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，得，即，则，故选B.3如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ）A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为64.5【答案】D【解析】由茎叶图可知：该组数据为，平均数为，众数为，极差为，中位数为，故选D.4“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】

2、B【解析】由得， ，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.5一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体是以2为边长正方体从右下前方挖去个球，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为，故选A.6已知双曲线过点，渐进线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线渐进线方程为，故可设双曲线方程为，双曲线过点，则，即，故双曲线的标准方程是，故选C.7函数， 的最小值为0，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为在上单调递减，且，所以；故选D.8执行如图所示的

3、程序框图，若输入的，则输出的结果为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】由程序框图，得 结束循环，输出值，即；故选B.9已知， 均为锐角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，即，故选A.10已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，将其图象向右平移个单位后得： ，由其关于轴对称，则，由得，即，则在区间上的最小值为，故选C.11正方体棱长为6， 点在棱上，且，过点的直线与直线， 分别交于， 两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意作图，由图可知： ， ，

4、， 故，故选D. 点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，空间想象能力以及线面平行的判定及性质定理，准确画出图形是解决本题的关键，难度一般；由三角形相似可得，由勾股定理可得，再次利用三角形相似，从而可得结果.12已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）A. B. C. 为减函数 D. 为增函数【答案】A【解析】令， ，当时， ，函数单调递增，当时， ，函数单调递减；故即，故选A.点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数是解题的关键，本题是一道中档题；构造函数，结合题意可得函数在递增，在内单调递减，可得结果.二、填空题13展开式中，含项的系数是_【答案】49【解析】设

5、的通项公式为，令， ，令， ，展开式中，含项的系数是： ，故答案为.14平行四边形中， 为的中点，若，则_【答案】【解析】由图形可得： ，得： ，即，故答案为.15已知椭圆： 的右焦点为，上、下顶点分别为， ，直线交于另一点，若直线交轴于点，则的离心率是_【答案】【解析】由题意，得，则直线的方程分别为，联立两直线方程，得，则，解得，则该椭圆的离心率为.点睛：本题的关键点在于理解是两条直线和椭圆的公共点，若先联立直线与椭圆方程，计算量较大，而本题中采用先联立两直线方程得到点的坐标，再代入椭圆方程进行求解，有效地避免了繁琐的计算量.16在中， ， ， 是的一个三等分点，则的最大值是_【答案】【解析

6、】如图所示，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则， ， 取点，使得，则点坐标为，四点共圆，可得圆的方程为，故可设点坐标为， ，故，故的最大值是，故答案为.点睛：本题考查了解析法的应用、圆的参数方程及其应用、三角函数求值、辅助角公式，考查了推理能力与计算能力，解题的关键在于求出点所在的圆的方程，属于难题题；此题利用解析法，根据圆内接四边形所具有的特征，构造出点所在的圆的方程，根据参数法的思想可设出点的坐标，根据两点间距离公式将表示成关于的三角函数，将题意转化为常见的三角函数求最值问题.三、解答题17数列的前项和为， ，且（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和【答案】（）;

7、（）【解析】试题分析：（）对已知等式利用化简整理得，进而可推断出数列是一个以1为首项， 为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案；（）利用错位相减法求结果.试题解析：（）由，可得（），两式相减，得，即，故是一个以1为首项， 为公比的等比数列，所以（）， ，得，所以点睛：本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列， 为等比数列等.18某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再

8、次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）10001002003000（）求每台仪器能出厂的概率；（）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润出厂价生产成本检验费调试费）；（）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生产两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望【答案】（）;（）;（）见解析.【解析】试题分析：（）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概率可得结果；（）由表可知生产一台仪器所获得的利润为元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（）由题意可得可取， ，

9、， ， ， ，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望.试题解析：（）记每台仪器不能出厂为事件，则，所以每台仪器能出厂的概率（）生产一台仪器利润为1600的概率（）可取， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为：38003500320050020019在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， 点在底面内的射影在线段上，且， ， 为的中点， 在线段上，且 （）当时，证明：平面平面；（）当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积【答案】（）见解析;（）. 【解析】试题分析：（）接，作交于点，则四边形为平行四边形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中， ， 分

10、别是， 的中点，结合中位线及平行的传递性可得，故可得平面，由线面平行判定定理可得结论；（）以为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得： ，由棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，在中， ， ， ，由余弦定理得所以，从而有.在中， ， 分别是， 的中点，则， ，因为，所以.由平面， 平面，得，又， ，得平面，又平面，所以平面平面.（）以为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， .平面的一个法向量为.设平面的法向量为，

11、由， ，得令，得.由题意可得， ，解得，所以四棱锥的体积. 20已知的顶点，点在轴上移动， ，且的中点在轴上.（）求点的轨迹的方程；（）已知轨迹上的不同两点， 与的连线的斜率之和为2，求证：直线过定点【答案】（）（）;（）见解析.【解析】试题分析：（）设（），将题意与两点间距离公式相结合可得结论；（）设直线的方程为， ， ，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得，由两点间斜率计算公式及斜率之和为2可得，故可得的值，即可得结果.试题解析：（）设（），因为在轴上且中点在轴上，所以，由，得，化简得，所以点的轨迹的方程为（）（）设直线的方程为， ， ，由得，所以，同理，所以，化简得，又因为，所以，所以

12、直线过定点. 点睛：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用；在该题中利用直译法求的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，联立直线与抛物线的方程构成方程组，结合韦达定理及整体代换思想代入，可得，即的值.21已知函数的图象与轴相切， （）求证： ；（）若，求证： 【答案】（）见解析;（）见解析.【解析】试题分析：（）对函数求导，设的图象与轴相交于点，由题意可得在该点处导数值为0，函数值为0，构造方程组可得的值，将题意转化为，设，利用导数判断其单调性求出最大值即可；（）构造函数，对其求导结合（）可得的单调性，从而有，化简整理可得，运用换

13、底公式及（）中的不等式可得 ，再次运用可得结论.试题解析：（） ， 设的图象与轴相交于点，则即解得所以，等价于设，则，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，所以，即，（），所以（）设，则，由（）可知，当时， ，从而有，所以单调递增，又，所以，从而有，即，所以，即， ，又，所以，又，所以综上可知， 22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）写出的普通方程和的直角坐标方程；（）直线与曲线相交于， 两点，点，求【答案】（）,;（）. 【解析】试题分析：（）通过消参和极坐标与普通方程的互化公式进行求解；（）将直线的参数方程代入的直角坐标方程整理得到关于的一元二次方程，再利用参数的几何意义进行求解试题解析：（）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（）将直线的参数方程代入的直角