matr01大数据的矩阵计算基础matr01matr01_W

1、大数据的矩阵计算基础第1周DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪法律声明【声明】本视频和幻灯片为炼数成金网络课程的教学资料，所有资料只能在课程内使用，不得在课程以外范围散播，违者将可能被追究法律和经济责任。课程详情访问炼数成金培训网站DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪关注炼数成金企业微信提供全面的数据价值资讯，涵盖商业智能与数据分析、大数据、企业信息化、数字化技术等，各种高性价比课程信息，赶 出您的手机关注吧！DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪内容u 矩阵的概念

2、u 矩阵的线性运算加法、减法与数乘u 矩阵的乘法u 矩阵的转置u 矩阵的逆u 矩阵的行列式DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪运动会成绩记录问题u 运动会成绩记录问题u 学院运动会有数学、物理、化学、生物、地理、环境六个系参赛。每项赛事限报1 人。每项赛事取前五名记分并发奖金。前五名分别记7、5、3、2、1分，分别发奖金100、70、50 、20、10 元。接力赛项目得分加倍，奖金增加4 倍。请列出各项比赛成绩明细表。100 米（男女）成绩表名次12345数学10010物理01000化学00200生物10001地理01010环境00001DATAGURU专业数据分

3、析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪200 米（男女）成绩表名次12345数学01100物理10001化学01010生物00101地理10010环境00000名次积分奖金171002570335042205110什么是矩阵u 由m*n个元素( = 1,2, ； = 1,2, )排成的m行n列的有序列表DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪 a11a12 aaa1n a a11a12 aaa1n 2122a am1m 22n amn 2122am1m 2a2n aamn u 称为m行n列矩阵，简称m*n矩阵，常用大写字母A，B，C等表示。u 上表可以记为 = =

4、()= ()u 100是一个6*5的矩阵u 23 =15267是一个2行3列的矩阵矩阵与向量u 当m=1或是n=1时 a11 DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪A = aa a21 = aA11121n u 称A为行向量或是列向量u 元素是实数的矩阵称为实矩阵u 元素是复数的矩阵称为复矩阵am1 矩阵相等u 对于两个矩阵A和B，当它们的行数相同，列数相同，并且对应位置上的元素都相等时， 称矩阵A与B相等，记住A=B。u 即 = ，对所有i=1，2，,m;j=1,2，n都成立u 若两个矩阵行数与列数分别相等, 则为同型矩阵u 例如下面两个是同型矩阵 12143 5

5、6与 84 37 39DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪方阵u 当m=n时，我们称矩阵A为n阶方阵.DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪a11a12a1n aA = 21a22a2n an1an2ann u 从左上到右下的对角线称为主对角线u 从右上到左下的对角线称为次对角线单位矩阵u 主对角线上全是1，其余位置上全是0的方阵称为单位矩阵，记为I或E；或， 100 010E= DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪n001全为1负矩阵、上三角阵、下三角阵u 对于矩阵 = ()，各个元素取相反数得到的矩阵称

6、为A的负矩阵，记为-A12341234u 对于矩阵 =的负矩阵为 =u 上三角阵下三角阵DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪a11a12a1n a1100L = aaO 0U = 0a22a2n 2122O 00ann aaan1n2nn 对角方阵u 既是上三角阵，又是下三角阵的矩阵称为对角方阵或对角矩阵。记为DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪D = diaga11a 22a1100ann .D = 0a22OO0不全为0 00ann u 所有对角元都相等的对角方阵称为数量矩阵。=1u 对角元的和称为方阵A的迹，记为trA零矩阵u

7、所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 0或 00000 000000000000000u 注意：不同阶数的零矩阵并不相等00例如3阶零方阵3 4阶零矩阵DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪矩阵加法u 综合考虑各个系100米与200米的各个名次人数10010010000020001100100010101011110110010121010001+00101=10102010101001011020000010000000001u 100 + 200 =DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪矩阵加法，减法与数乘u 记 =; = ()

8、u 加法： + = ( + )DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪u 125634 + 78=1 + 52 + 6=3 + 74 + 8681012u 减法： = ( )u 68561012 78=68+101256=127834u 数乘： = ()u 3 1234=3 13 2=3 33 436912u 加法运算律：u 交换律：A+B=B+Au 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)u 零矩阵相关：A+0=A；A-A=0u 数乘运算律：u 1A=A ;0A=0u 结合律：(kl)A=k(lA)u 分配律：(k+l)A=kA+lAu k(A+B)=kA+kB运动会

9、积分与奖金计算u 计算院运会中各队的积分与奖金u 例：数学系的100米赛跑的积分与奖金DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪矩阵乘法DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪u 记 =; = ()u 定义矩阵A与矩阵B的乘积为一个m*p的矩阵 =其中，= scij = ai1b1j + ai 2b2 j +A的列数一定要和B的行数相等。+ aisbsj= aik bkjk =1 a11a12a1s b11bbb aaab211n A = i1 i 21 j is B = b2 j2n aabs1bbm1m 2ams sjsn u 设A是一个1

10、*n矩阵，B是一个n*1矩阵，则 nAB = aii =1 bi 11b ab ab a 11121nBA = b2a1b2a2b2anb ab ab a n1n2nn nnu 矩阵乘法一般不满 换律u 当AB=0并不能推出A、B中有一个为零矩阵u 如：A = 11 B = 1-1-1-1-1100AB = 00 ,但A,B 都不是零矩阵.u 设A = 24 -3-6,B = -14 10,C =112-1u 求AB，ACu 解：计算得AB = 64 -9-6AC = 64 -9-6u AB=AC，但BC。u 矩阵乘法不满足消去率u 矩阵乘法运算运算规律u 1. (AB)C=A(BC)u 2.

11、 A(B+C)=AB+ACu 3. (A+B)C=AC+BCu 4. k(AB)=(kA)B=A(kB)u 5. AI=IA=Au 6. A0=0A=0u 若A 是n阶方阵, 则Am 是A 的m次幂, 即m个A相乘,对矩阵的乘幂，有:Ap Aq = Ap+ q ,( Ap )q = Apqu 当AB=BA时，有矩阵转置DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪u =12 ，的转置为 =133424u = ()，则 = = ()u 转置的运算性质:(1)( AT )T = A(2)( A + B)T = AT +BT(3)(l A)T = l AT(4)(AB)T = B

12、T AT; ( ABC )T = C T BT AT对于多个矩阵, 有:( AAA )T = ATAT AT12mm21u 求()A = 13-2 ,B = 1-17 0-14 430 212 解法1：113-2-17 = 96394AB = 解法2：-14 4300 212418( AB)T61= 38BT = 142-131,AT = 10 3-1 702-24 142 1094( AB)T= BT AT=-1313-1=61 702 -24 38对称矩阵u 若A=，则称A为对称矩阵。u 若A=-，则称A为斜对称矩阵。u 如A是对称矩阵，和都是斜对称矩阵 43-14 371-5A = -1

13、1294-593DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪 01203-14 B = -103-301-5C = 1-109 -4590-2-30与对角阵的乘法300123 13 2u04034=4 34 4005565 55 6DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪可逆矩阵u 对于n*n矩阵，若存在n*n矩阵B使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵，B为A的逆，记 = 11234211.50.52 + 2 1.51 + 2(0.5)3 2+ 4 1.53 4 0.51001u 如：=u 若A是可逆矩阵，则A的逆是唯一的。u 证：AB=BA=I

14、=AC=CA , B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=Cu 若A，B可逆，则1，AB ，也可逆DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪u 如何求解矩阵的逆？u 方法：待定系数2110u 例：求矩阵 =u 解：设A的逆为，求A的逆。，则 21 ab 10 2a + c2b + d = 10AB = -1 = d01- a-0 cb 012a + c = 1, 2b + d = 0, - a = 0,- b = 1, a = 0, b = -1, c =1, d = 2.2AB 0BA 10-1 0- 11 0- 1- 1 21 = ,A= . - 10 12 12

15、- 10 01 12 u A为可逆矩阵，等价于下列的任一条件：u 1. 存在矩阵B使得AB=Iu 2. A的行向量组线性无关u 3. 存在矩阵B使得BA=Iu 4. A的列向量组线性无关分块方法u 将一个矩阵A的行分成若干组，列也分成若干组，从而A被分为若干小块，将A看作是 由这些小块组成的矩阵，称为矩阵分块。10501723 48001001234857002348u=+=u 一般将矩阵分成四块1112212211122122u =， =11122122111221221111 + 12211112 + 12222111 + 22212112 + 2222u =DATAGURU专业数据分析社

16、区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪分块矩阵DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪u 分块矩阵的乘法 AO 2- 2 BB 1 3-1242010= 1121 B = 34 =1112 A1A =21-1-100 A11O21 B11B12 A11B11-O21A11B12+ O21A1-1210 = A B-1A B+ 021 1121 12A B= 12 2 8 12- 2 6 1111 = A11B12 = 34 4 = 34 3218-10221 11A B-1 = (-12) -1 = 3A21B12 = (-12) 43 =10 AO BB12 = 86

17、 18101121 11 A211 -10 310u 分块矩阵的转置 1A =4230=A11560(A12 )7891471 ATA21TA22AT = 25811A21 36= TT 9 AA1222 010分块方法1, , 11, , u = =; = 1 + 1, , + + = = (11, , ) = (1, , )1 = (11, , 1)DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪二阶行列式u 对于二元一次方程组 a11 x1+ a12 x2= b1 的解为a21 x1+ a22 x2= b2DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠

18、仪x 1 a22b1 - a b a a- a a=12 211 2212 21 b1a21 a11b2x=a11b2 - a21b1 2a a- a a11 2212 21 u 为了简化记忆，我们将式子a11a22 - a12a21 1112u 2122= 11 22 12 21二阶行列式u 记D =a11 a12 D=b1a12 = ab- a b2 a21 D=a11 aa22 b1 b=1 b2 a b- a b11 221 1 a22 22 112 2 212 u 则 x= D1 D 1Dx=2 2 D三阶行列式u 定义三阶行列式DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础

19、讲师 何翠仪111213u 212223313233112332= 112233 + 122331 + 132132 132231 122133 u 对角线法则n阶行列式u 设n阶方阵 =的行向量组为1，2， , ，则DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪1，2， , det=(1)(1 ) 11 称为矩阵A的行列式，记为detA或|A|。特殊矩阵的行列式u 对角矩阵DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪110=1u 0 =u 下三角矩阵 与上三角矩阵a11a21a22a31 a41a32 a42a33 a43a44=a11a12a22L

20、a1nLa2nOMann= aaaa11223344行列式的性质u 1. 单位矩阵的行列式等于1u 2.如果将行列式的任意两行(或列)互换，那么行列式的值改变符号，即a11ai1a12ai 2a1naina11aj1a12aj 2a1najn= -DATAGURU专业数据分析社区大数据的矩阵计算基础 讲师 何翠仪aj1aj 2ajnan1an2annai1ai 2ainan1an2annu 3.行列式一行(或列)的公因子可以提到行列式记号的外面，即a11a12a1na11a12a1nkai1kai 2kain =kai1ai 2ainan1an2annan1an2annu 4. 若某行为零，或两行相同或成比例，则行列式为零u 5.若行列式的某一行(或列)的元素都是两数之和212212212212u345=123+222= 2111123123123123u 6. detA=detu 7. det(AB)=detAdet