人教A数学选修21同课异构教学课件32第3课时空间向量与空间角探究导学课型

1、3.2立体几何中的向量方法 第3课时空间向量与空间角,【阅读教材】 根据下面的知识结构图，阅读教材，掌握利用空间向量求空间角的方法并能应用,【知识链接】 1.异面直线的夹角：当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点 A作ABl2，把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.范 围：0 2.直线与平面的夹角：平面外一条直线与它在平面内的投影的夹角叫 作该直线与此平面的夹角.范围：0 3.二面角的平面角：从棱上一点出发的，与棱垂直且分别在两个平面 内的射线形成的角,主题：空间向量与空间角 【自主认知】 1.在立体几何中，我们所学过的空间角有哪些？ 提示：异面直线所成的角、直线

2、与平面所成的角、二面角. 2.非零向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2)的夹角公式是什么？ 提示：cosa,b=,3.观察下表，分析异面直线所成角的余弦值是否等于它们的方向向量所成角的余弦值. 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量.,提示：不一定，若方向向量所成角小于90则相等；若方向向量所成角大于90则互为相反数.,通过上述探究，试总结空间向量夹角的相关内容： 空间向量的夹角 (1)转化：立体几何中的夹角都可以转化为两个向量的夹角，向量 u,v的夹角满足关系式cos = . (2)坐标表示： 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)， 则cosa,b= =,【合作探究

3、】 1.若已知两异面直线所对应的方向向量为a，b，且向量a，b的夹角 的余弦值为负值，则如何用向量表示两异面直线所成角的余弦值？ 提示：可以利用向量的数量积，求出ab及|a|，|b|的值，再套用 公式求得向量a，b夹角的余弦值，但这一结果不一定为异面直线所 成角的余弦值，若求得余弦值为负值，则两异面直线所成角的余弦值 应为这两个向量所成角的余弦值的相反数.故cos=,2.如图，如何用向量法求出直线AB与平面所成的角的正弦值？ 提示：AB为过平面的一条斜线，n为平面的法向量，设AB与平面 所成的角为，则sin = (n方向与图中所示 方向相反时加绝对值号).,3.如图所示，如何用向量法确定二面角

4、-l -()的大小？ 提示：n1与n2分别为二面角-l -两个面的法向量，则与 二面角-l -互补，即cos=-cos=,【拓展延伸】处理与角有关问题的策略 处理与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”. 如两条异面直线所成角的向量公式：两条异面直线a，b的方向向量分 别为m和n.当m与n的夹角不大90时，异面直线a，b所成的角与 m和n的夹角相等；当m与n的夹角大于90时，直线a，b所成的角 与m和n的夹角互补，即异面直线所成的角的余弦值就是两条异面直线 的方向向量所成的角的余弦值的绝对值.所以异面直线a，b所成的角 满足：,【过关小练】 1.设直线l与平面相交，且直线l的方向向量为a，

5、平面的法向量 为n，若a,n= 则l与a所成的角为( ) 【解析】选B.如图所示，直线l与平面所成的角,2.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_ 【解析】cosm，n 即m，n45，其补角为135， 所以两平面所成的二面角为45或135. 答案：45或135,【归纳总结】 1.空间向量向空间角的转化 利用向量数量积求异面直线所成的角，直线与平面所成的角时，要注意各空间角的范围和向量的方向，依据图形把向量所成的角转化为空间角.,2.向量法求空间角的计算公式 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2则l1与l2所成的角满足cos=|

6、cos|. (2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m1，m2，则直线l与平面所成的角满足sin=|cos|.,(3)求二面角的大小： 如图，AB，CD是二面角-l -的两个面内与棱l垂直的直线，则二 面角的大小=,类型一：向量法求异面直线的夹角 【典例1】(1)(2014新课标全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中, BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为( ),(2)(2015大同高二检测)如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_.,【解题指

7、南】(1)建立坐标系,利用空间向量法求解. (2)采用基向量法，以 为基向量，分别求出,【解析】(1)选C.如图，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立坐标系. 令AC=BC=C1C=2， 则B(0，2，2)，A(2，0，2)，M(1，1，0)，N(1，0，0).,所以 (2)不妨设棱长为2，选择基向量 则 故 即其夹角为90，所以异面直线AB1和BM所成的角是90 答案：90,【规律总结】向量法求异面直线夹角的注意事项 (1)范围：两异面直线夹角范围为 时刻注意两异面直线夹角的 范围是解题的关键. (2)向量法：利用向量求解异面直线夹角时，只需找到两异面直线的 方向向量

8、，借助方向向量所成角求解.但需注意二者范围的区别. (3)转化：设两条异面直线a，b的方向向量分别为a,b，其夹角为 ，则cos =|cos |= (其中为异面直线a，b的夹角).,【巩固训练】长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为( ),【解析】选B.如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.则B(1,2,0)，C1(0，2，2)，A(1，0，0)，E(0，2，1)， 所以 则 故异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为,【补偿训练】(2015太原高二模拟)如图，在正方体AC1中，M是棱DD1的中点，O是平面ABCD的

9、中心，P是A1B1上的任意一点，则直线AM与OP所成的角是(),【解析】选D.设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间坐标系，则有A(2a，0，0)，M(0，0，a)，O(a，a，0).,因为P是A1B1上任意一点， 所以不妨设P(2a，m,2a)(0m2a) 所以 (0,0，a)(2a,0,0)(2a,0，a)， (2a，m,2a)(a，a,0)(a，ma,2a) 所以 2aa0(ma)a2a0. 所以异面直线AM与OP所成的角为,类型二：向量法求直线与平面所成的角 【典例2】如图，四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD=1， AB=2a(a0)，E，F分别

10、是CD,PB的中点. (1)求证：EF平面PAB. (2)当 时，求AC与平面PAB所成角的正弦值.,【解题指南】求出平面PAB的法向量，然后求出直线AC的方向向量与平面PAB的法向量的夹角的余弦值，进而求出AC与平面PAB所成角的正弦值.,【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 由AD=1，PD=1，AB=2a(a0)， 得E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),得 由 得 即EFAB，同理EFPB， 又ABPB=B，所以EF平面PAB.,(2)由 得 有 由(1)知平面PAB的一个法向量为 设AC与平面PAB所成的角为， 的夹角为

11、 则sin = 所以，AC与平面PAB所成角的正弦值为,【延伸探究】 1.(改变问法)本例(2)条件不变，求直线AE与平面PAB所成角的正弦值，结果如何？,【解析】由 得 有 由原题知平面PAB的一个法向量为 设AE与平面PAB所成的角为， 的夹角为 则sin = 所以，AE与平面PAB所成角的正弦值为,2.(改变问法)本例(2)条件不变，求直线AC与平面AEF所成角的正弦值.,【解析】由题意知 设平面AEF的法向n=(x,y,z) 由题意知 所以 令 可得y=1，z=-1，所以n= 所以 所以直线AC与平面AEF所成角的正弦值为,【规律总结】向量法求线面角的两个注意点 (1)范围：直线与平面

12、所成角的范围为 (2)转化：用向量法求线面角的基本求法为先求出直线方向向量与平面法向量的夹角，进而求出线面角.,【巩固训练】(2014福建高考)在平行四边形ABCD中， AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起， 使得平面ABD平面BCD，如图. (1)求证：ABCD. (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的 正弦值.,【解题指南】(1)由面面垂直的性质定理先推得线面垂直，即AB平面BCD，再进而推得线线垂直.(2)建立坐标系，由线面角公式求解即可.,【解析】(1)因为平面ABD平面BCD，且两平面的交线为BD，AB平面ABD，ABBD， 所以AB平面BCD，

13、又CD平面BCD，所以ABCD. (2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图，,由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD， 所以ABBE，ABBD. 以B为坐标原点，以 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立 空间直角坐标系， 依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)， 则, 设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0)，,则 即 取z0=1， 得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1)， 设直线AD与平面MBC所成角为， 则 即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为,【拓展延伸】与空间角有关的翻折问题及三视图问题的解法 (1)翻折问题：要找

14、准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解. (2)三视图问题：关于三视图问题，关键是通过三视图观察直观图中的对应线段的长度.,【补偿训练】(2014陕西高考)四面体 ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中 点E作平行于AD，BC的平面分别交四面 体的棱BD，DC，CA于点F，G，H. (1)证明：四边形EFGH是矩形. (2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.,【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形，再证得此平行四边形的邻边相互垂直.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系，求得平面EFGH的法向量，代入公式即可得解.,【解析】(1)因为BC平面EFGH，平面EF

15、GH平面BDC=FG，平面EFGH平面ABC=EH， 所以BCFG，BCEH，所以FGEH. 同理EFAD，HGAD，所以EFHG， 所以四边形EFGH是平行四边形. 又由三视图可知AD平面BDC，所以ADBC， 所以EFFG，所以四边形EFGH是矩形.,(2)如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),设平面EFGH的法向量n=(x,y,z), 因为EFAD,FGBC,所以 得 令x=1，则y=1，所以n=(1,1,0)， 所以,类型三：向量法求二面角 【典例3】(2014广东高考)四边形ABCD为正方形，PD平面ABC

16、D，DPC=30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E. (1)证明：CF平面ADF. (2)求二面角D-AF-E的余弦值.,【解题指南】(1)采用几何法较为方便，证AD平面PCDCFAD， 又CFAFCF平面ADF. (2)采用向量法较为方便，以D为原点建立空间直角坐标系，设DC=2， 计算出DE，EF的值，得到A，C，E，F的坐标，注意到 为平面ADF 的法向量，结合其求二面角.,【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形，所以ADDC. 又PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD，DCPD=D，所以AD平面PCD. 又CF平面PCD，所以CFAD，而AFPC，即AFCF， 又AD

17、AF=A，所以CF平面ADF.,(2)以D为原点，DP，DC，DA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.,设DC=2,由(1)知PCDF,即CDF=DPC=30,有 则D(0,0,0), A(0,0,2),C(0,2,0), 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 由 得,取x=4,有 则n= 又平面ADF的一个法向量为 所以 所以二面角D-AF-E的余弦值为,【规律总结】二面角的两种求法 (1)几何法：利用二面角的定义，找到二面角的平面角，通过解三角形得到二面角的大小，但二面角的确定是一难点. (2)向量法 基向量法：找两个起点在棱上，且与棱垂直的向量，这两个向量的夹角即为二面

18、角的大小. 坐标法：建立适当的空间直角坐标系，求得两个相关半平面的法向量，再借助平面的法向量求解.,【巩固训练】(2015山东高考)如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，点G，H分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD平面FGH. (2)若CF平面ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.,【解析】(1)因为DEF-ABC是三棱台，且AB=2DE，所以BC=2EF，AC=2DF. 因为点G，H分别是AC，BC的中点，所以GHAB，因为AB平面FGH，GH平面FGH，所以AB平面FGH； 因为EFBH且EF=BH，所以四边形BHFE是平行四边形，所以BEHF，BE平面FGH，HF平面FGH，所以BE平面FGH； 又因为ABBE=B， 所以平面ABE平面FGH，因为BD平面ABE，所以BD平面FGH.,(2)因为CF平面ABC，所以CFAB， 又BCAB，BCCF=C，所以AB平面BCFE， 以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立空间直角坐标系， 因为BAC=45，所以BC=AB，设DE=1，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，H(1，0，0)，G(1，1，0)，F(2，0，1)， 所以,设平面FGH的一个法向