人教A数学选修21同课异构教学课件212求曲线的方程精讲优练课型

1、2.1.2 求曲线的方程,【自主预习】 1.坐标法和解析几何研究的主要问题 (1)坐标法：借助于_，通过研究方程的性质间 接地来研究曲线性质的方法.,坐标系,(2)解析几何研究的主要问题： 通过曲线研究方程：根据已知条件，求出_ _. 通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究_ _.,表示曲线,的方程,曲线的,性质,2.求曲线的方程的步骤,有序实数对(x,y),p=M|p(M),p(M),f(x,y)=0,方程f(x,y)=0,方程的解,【即时小测】 1.已知等腰三角形ABC底边两端点A(- ，0)，B( ，0)，顶点C的轨迹是() A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点,【

2、解析】选B.注意点C与A，B共线时，不符合题意，应去掉.,2.已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于() A.B.4C.8D.9,【解析】选B.设P(x，y)，由|PA|=2|PB|，得 整理得x2-4x+y2=0，即(x- 2)2+y2=4.所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半 径的圆，故S=4.,3.直角坐标平面xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y) 满足 =4，则点P的轨迹方程是. 【解析】由 =4知，x+2y=4x+2y-4=0， 所以P点的轨迹方程是x+2y-4=0. 答案：x+2y-4=0,4.

3、已知点O(0，0)，A(1，-2)，动点P满足|PA|= 3|PO|，则点P的轨迹方程是.,【解析】设P(x，y)，则|PA|=3|PO|可化为 化简得：8x2+2x+8y2-4y-5=0. 答案：8x2+2x+8y2-4y-5=0,【知识探究】 探究点1坐标法的思想 1.怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？ 提示：只有建立了平面直角坐标系才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题.,2.根据一个已知的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 提示：不唯一.一般以得到的曲线方程最简单为标准.,【归纳总结】 平面直角坐标系的选取方法 (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直

4、角坐标系. (2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系.,(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系. (4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线所在直线为x轴建立直角坐标系. 特别提醒：选取坐标系时，要因题而异，不要局限于这几种方法.,探究点2求曲线的方程 1.曲线(或轨迹)是轴对称图形或中心对称图形，如何选取坐标系？ 提示：若曲线(或轨迹)为轴对称图形，通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴)；若曲线(或轨迹)是中心对称图形，通常以对称中心为原点.,2.求轨迹方程和求轨迹一样吗？ 提示：求轨迹方程得出

5、方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.,【归纳总结】 求曲线方程时应注意的四个问题 (1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴.,(2)第二步要仔细分析曲线的特征，注意揭示其隐含的条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出等式，此步骤有时也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示. (3)在第三步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”.,(4)第四步的说明可以省略不写，若有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的

6、取值予以剔除. 特别提醒：求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y).,类型一直接法求曲线的方程 【典例】1.(2016济南高二检测)已知两点M(-2， 0)，N(2，0)，点P满足 =0，则点P的轨迹方 程为. 2.一个动点P到直线x=8的距离是它到点A(2，0)的距离 的2倍，求动点的轨迹方程.,【解题探究】 1.典例1条件 =0如何转化？ 提示：写出向量 的坐标和向量 的坐标，转化为 向量的坐标运算.,2.典例2中条件用式子如何表示？ 提示：设动点P到直线x=8的距离为d，则条件的几何表示为：d=2|PA|.,【解析】1.设P的坐标为P(x，y)，由 =(-2-x，-y)(2-x，

7、-y)=x2-4+y2=0， 得x2+y2=4，所以点P的轨迹方程为x2+y2=4. 答案：x2+y2=4,2.设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|，到点A的距离 由已知d=2|PA|得： |x-8|= 化简得： 3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.,【延伸探究】若典例2中的直线改为“y=8”，求动点的轨迹方程.,【解析】设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线y=8的距离d=|y-8|，到点A的距离 由已知d=2|PA|得： |y-8|= 化简得： 4x2+3y2-16x+16y-48=0， 故动点的轨迹方程为4x2+3y2-16x+

8、16y-48=0.,【方法技巧】直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：建立恰当的平面直角坐标系； 找出所求动点满足的几何条件.,(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.,【变式训练】如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a(a0)，|CD|=2b(b0)，动点P满足|PA|PB| =|PC|PD|，求动点P的轨迹方程.,【解析】以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(-a，0)，B

9、(a，0)，C(0， -b)，D(0，b)，设P(x，y)是曲线上的任意一点， 由题意知， |PA|PB|=|PC|PD|，,即 化简，得x2-y2=,类型二代入法求点的轨迹方程 【典例】动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.,【解题探究】典例中点P的坐标(x，y)与点M(x0，y0)及点B(3，0)的坐标间存在什么关系？ 提示：,【解析】设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为P为MB的中点，所以 又因为M在曲线x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1. 所以P点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.,【延伸探究】 1.典例中把条件

10、“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改 为“ ”，求P点的轨迹方程.,【解析】设P(x，y)，M(x0，y0). 由 可知(x-x0，y-y0)=2(3-x，-y)，即x0=3x-6，y0=3y， 又因为M在曲线x2+y2=1上， 所以(3x-6)2+9y2=1.,2.典例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程.,【解析】设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为M为PB的中点， 所以 又因为M在曲线x2+y2=1上，,所以 化简得(x+3)2+y2=4， 所以P点的轨迹方程为(x+3)2+y2=4.,【方法技巧】代

11、入法求解曲线方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程.,(4)化简、整理，得所求轨迹方程. 其步骤可总结为“一设二找三代四整理”. 特别提醒：代入法的应用条件： 已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动.,【拓展延伸】轨迹方程与轨迹的辨析,【补偿训练】(2016潍坊高二检测)已知ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6，0)，顶点C在曲线y=x2+3上运动，求ABC重心的轨迹方程. 【解题指南】利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上动点的关系，把所求动点坐标转换为已知动点坐标.,【解析】设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得,因为顶点C(x，y)在曲线y=x2+3上， 所以3y=(3x-6)2+3，整理得y=3(x-2)2+1. 故所求的轨迹方程为y=3(x-2)2+1.,自我纠错曲线的轨迹方程 【典例】已知ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，c，b成等差数列，acb，|AB|=2，求顶点C的轨迹方程.,【失误案例】,分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案. 提示：错误的根本原因是忽视了对x的范围限制，实际上本题除了限制条件ab外，点C不能在x轴上，否则构不成三角形. 正确解答过程如