人教A数学选修21同课异构教学课件32第2课时空间向量与垂直关系探究导学课型

1、3.2立体几何中的向量方法 第2课时空间向量与垂直关系,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，掌握直线的方向向量和平面的法向量并能利用其判断线、面的垂直关系,【知识链接】 1.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面 2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,主题：空间向量的垂直关系 【自主认知】 设直线l1，l2的方向向量分别为v1=(a1，b1，c1)，v2=(a2，b2，c2)，平面，的法向量分别为u1=(x1，y1，z1)，u2=(x2，y2，z2)，据此回答下列问题,(1)若直线

2、l1l2，则向量v1，v2满足怎样的关系？其坐标表示如何？ 提示：由直线方向向量的定义知，若直线l1l2，则直线l1，l2的方向向量垂直，即l1l2v1v2v1v2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.,(2)若l1，则向量v1，u1满足怎样的关系？其坐标表示如何？ 提示：当直线l1的方向向量与平面的法向量共线时，直线与平面垂直，即满足v1=ku1，kR(a1，b1，c1)=k(x1，y1，z1)，kR. (3)用向量的坐标法表示两平面，垂直的关系？ 提示：要使两平面，垂直，需使它们的法向量垂直，即u1u2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.,根据以上探究，试总结用向量描述空间垂直关系的

3、内容： 设空间两条直线l，m的方向向量分别为a，b，两个平面，的法向量分别为u，v，则有如下结论,ab,ab=0,au,uv,uv=0,【合作探究】 用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？ 提示：需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.,【过关小练】 1.若直线的方向向量为u1= 平面的法向量为u2=(3,2,z),则当 直线与平面垂直时z=_. 【解析】因为直线与平面垂直,所以u1= 与u2=(3,2,z)共线， 易得 答案：,2.已知平面，的法向量分别为u1=(1，0，1)，u2=(0，2，0)，则平面，的位置关系为_. 【解析】因为u1

4、u2=(1，0，1)(0，2，0)=0，所以两平面的法向量垂直，即两平面垂直. 答案：垂直,【归纳总结】 1.空间中垂直问题的确定 (1)直线与直线垂直：关键看两直线的方向向量是否垂直. (2)直线与平面垂直：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否共线；或者看直线的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量是否垂直. (3)平面与平面垂直：关键看两平面的法向量是否垂直.,2.用向量法证明垂直问题的三个关键点 (1)建立恰当的坐标系，空间直角坐标系是把图形与数字建立联系的桥梁，选择好合适的坐标系可以有效地减化运算； (2)转化，通过向量运算研究空间中线线、线面、面面间的垂直关系. (3)“翻译”，把

5、向量的运算结果翻译成空间元素的位置关系.,类型一：线线垂直的证明 【典例1】(1)(2015天津高二检测)已知空间三点A(0，0，1)， B(-1，1，1)，C(1，2，-3)，若直线AB上一点M，满足CMAB， 则点M的坐标为_. (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2， 证明：ABA1C.,【解题指南】(1)先设出M的坐标，然后结合A，B，M共线及CMAB求解. (2)先利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，再找出目标直线写出对应直线的方向向量，最后利用向量法证明线线垂直.,【解析】(1)设M(x，y，z)，又 (x1，y2，z3)， 由点M在直线AB上得 共线即x=，y

6、=，z1=0， 又因为CMAB，向量 与向量 的数量积为0， 即 =0，-(x1)+(y2)=0， 联立得 解得 点M的坐标为 答案：,(2)在ABC中，由正弦定理可求得 所以ABAC.以A为原点，分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴，建立空间直 角坐标系，则A(0,0,0)， B(2,0,0)， 即ABA1C.,【延伸探究】 1.(改变问法)对于本例题(2)若把结论改为“证明：ACA1B”,则如何处理？,【解析】在ABC中，由正弦定理可求得 所以ABAC，以A为原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴，建立空 间直角坐标系，则A(0,0,0)， B(2,0,0)， 即ACA1B.,2.

7、(改变问法)对于本例题(2)把结论改为“证明ABAC1”，如何 处理？ 【解析】由例题可知 所以 所以 所以ABAC1.,【规律总结】 1.利用空间向量证明线线垂直的两种方法 (1)坐标法：建立直角坐标系，设点的坐标；利用向量表示出对应直线的方向向量，进而利用向量的坐标运算表示来判断直线与直线的位置关系. (2)基向量法：选取一组向量为基向量，把对应直线的方向向量用基向量来表示，再利用向量运算判断两向量的关系，进而判断直线与直线的位置关系.,2.应用线线垂直求点的坐标的策略 (1)设出点的坐标. (2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程. (3)通过解方程的方法求出点的坐标.,【补偿训练】1

8、.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB2， 点P为C1D1的中 点，点M为BC的中点则AM与PM的位置关系 为( ) A平行 B异面 C垂直 D以上都不对,【解析】选C.以D点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意，可得 所以 所以 即 所以AMPM.,2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线CC1上是否存在一点N，使得MNAB1？若存在，求出它的位置，若不存在，请说明理由.,【解析】假设在直线CC1上是存在一点N，使得MNAB1，如图，建立空间直角坐标系，设CN=h，,则A(0,0,0)， N(0,1,h)， 所以 因为M

9、NAB1， 所以 解得 即 时，MNAB1.,类型二：线面垂直的证明 【典例2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，点E是PC的中点.证明： (1)AECD. (2)PD平面ABE.,【解题指南】(1)建立空间直角坐标系，求出 判断 的值是否为0. (2)利用线面垂直的判定定理，即只需证PD垂直于平面ABE中的两条相交直线，也可以利用直线PD的方向向量与平面ABE的法向量平行证明.,【解析】因为AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1，则P(0，0，1).,(1)因为ABC60，所以A

10、BC为正三角形所以 设D(0，y,0)，由ACCD， 得 解得 所以 又因为 即 所以AECD.,(2)方法一：因为P(0,0,1)，所以 又因为 所以 即PDAE. 因为 (1,0,0)，所以 所以PDAB，又因为ABAEA，所以PD平面AEB.,方法二：设平面ABE的法向量为n(x，y，z)， 因为 (1,0,0)， 所以 令y2，则 所以 因为 显然 因为 n，所以 平面ABE， 即PD平面ABE.,【规律总结】用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)坐标法： 途径一：建立空间直角坐标系； 将直线的方向向量用坐标表示； 找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； 分别计算两组向

11、量的数量积，得到数量积为0.,途径二：建立空间直角坐标系； 直线的方向向量用坐标表示； 求出平面的法向量； 判断直线的方向向量与平面的法向量平行.,(2)基向量法： 确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量； 找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示； 分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论.,【巩固训练】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点. 求证：EF平面B1AC.,【解题指南】利用线面垂直的判定定理，只需证EF垂直于平面B1

12、AC中的两条相交直线，也可以利用直线EF的方向向量与平面B1AC的法向量平行证明.,【证明】方法一：设正方体的棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2).,所以 (1,1,2)(2,2,1)(1，1,1) (2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)， (0,2,0)(2,0,0)(2,2,0) 所以 (1，1,1)(0,2,2) (1)0(1)2120. (1，1,1)(2,2,0)2200， 所以 所以 又因为AB1ACA，所以EF平面B1AC.,方法二：同方法一得 (0,2,2)， (2

13、,2,0)， (1，1,1) 设平面B1AC的法向量为n(x，y，z)， 则 即 取x1，则y1，z1， 所以n(1,1，1)，所以 n，所以 n， 所以EF平面B1AC.,【补偿训练】如图所示的长方体ABCD- A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方 形，O为AC与BD的交点，BB1= M是线 段B1D1的中点.则直线BM与平面D1AC的位 置关系为_；直线D1O与平面AB1C的位置关系为_.,【解析】以D为坐标原点，以 分别为x轴,y轴,z轴的 正方向，建立空间直角坐标系， 则有 A(2,0,0),C(0,2,0),所以 所以 且OD1与BM不重合， 所以OD1BM.又D1O平面

14、D1AC， BM平面D1AC，所以BM平面D1AC.,因为 所以 即OD1OB1，OD1AC， 又OB1AC=O，所以D1O平面AB1C. 答案：平行 垂直,类型三：面面垂直的证明 【典例3】(2015武汉高二检测)三棱锥被平行于底面ABC的平面所 截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC=90，A1A平面 ABC.A1A= AB=AC=2A1C1=2，点D为BC中点. 证明：平面A1AD平面BCC1B1.,【解题指南】解答本题可证明 垂直于平面A1AD内的两个不共线向 量 或求两平面的法向量，再证明两个法向量互相垂直,【证明】方法一：建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0,0,0)

15、，B(2,0,0)，C(0,2,0)， 因为点D为BC的中点， 所以D点坐标为(1,1,0)，,所以 因为 2200， 0000， 所以 所以BCAD，BCAA1， 又因为ADAA1A，所以BC平面ADA1， 而BC平面BCC1B1， 所以平面A1AD平面BCC1B1.,方法二：同方法一，得 设平面A1AD的法向量为n1(x1，y1，z1)， 平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2) 由 得 令y11，得x11，z10， 所以n1(1，1,0),由 得 令y21，得x21， 所以n2 所以n1n21100， 所以n1n2， 所以平面A1AD平面BCC1B1.,【规律总结】向量法证明空

16、间几何问题的两种基本思路 思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断. 思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步： 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题. 通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系. 根据运算结果的几何意义来解释相关问题.,【巩固训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为CC1的中点，证明：平面B1ED平面B1BD.,【证明】以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直 角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)， 设平面B1DE的法向量为m(x，y，z)， 即 令z2， 所以m(1,1，