第6章--保形映射.ppt

1、第6章 保形映射,对于解析函数而言，它所构成的映射，还必需作一些具体的研究，因为这种映射在实际问题中是很有用处的. 本章中先分析解析函数所构成的映射的特性，引出保形映射的概念；然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的保形映射的性质.,在第1章中已经讲过，函数 在几何上可以看做是把 平面上的一个点集 (定义集合)变到 平面上的一个点集 （函数值集合）的映射（或变换）.,1 保形映射的概念,如果规定：通过 上两点 与 的割线， 的正向对应于参数 增大的方向，那么这个方向与表示 的向量的方向相同. 这里， 与 分别为点 与 所对应的复数. 当点 沿 无限趋向于点 时，割线 的极限位置就是 上

2、 处的切线.,2）相交于一点的两条曲线 与 正向之间的夹角就是 与 在交点处的两条切线正向之间的夹角.,如果规定这个向量的方向作为 上点 处的切线的正向，那么有： 1） 就是在 上点 处切线的正向与 轴正向之间的夹角；,2解析函数的导数的几何意义,设函数 在区域 内解析， 为 内的一点，且 . 又设 为 平面内通过点 的一条有向光滑曲线，它的参数方程是： ，它的正向为参数 增大的方向，且,（1） 辐角 的几何意义,这样，映射 就将曲线 映射成 平面内通过点 的对应点 的一条有向光滑曲线 它的参数方程是 ， 方向为参数 增大的方向.,根据复合函数求导法，有 因此，由前面的论断1）得知，在 上点

3、处也有切线存在， 且切线的正向与 轴正向之间的夹角是,如果假定图6.2中 轴与 轴, 轴与 轴的正向相同，而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线 经过 映射后在 处的转动角，那么（1）式表明： 1）导数 的辐角 是曲线 经过 映射后在 处的转动角.,（1）,2）转动角的大小与方向跟曲线 的形状与方向无关.,现在假设曲线 与 相交于点 ，它们的参数方程分别是 与 ， ；并且 .,即 （2）,又设映射 将 与 分别映射为相交于点 的曲线 及 ，它们的参数方程分别是 与 ，由（1）式. 有,上式两端分别是 和 以及 与 之间的夹角，因此，（2）式表明： 相交于点 的任何两条

4、曲线 与 之间的夹角，在其大小和方向上都等同于经过 映射后跟 与 对应的曲线 与 之间的夹角. 所以这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质. 这种性质称为保角性.,设 ，且用 表示 上的点 与 之间的一段孤长， 表示 上的对应点 与 之间的孤长. 由,（2）函数 在 的点导数的模 的几何意义,得 . 注意： 这个极限值称为曲线 在 的伸缩率.,因此上式表明： 是经过映射 后通过点 的任何曲线 在 的伸缩率，它与曲线 的形状及方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.,3保形映射的概念 定义：凡是有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射，或者更确切地称为第一类保角映射.,定理：如

5、果函数 在 处解析，且 ,那么映射 在 点是保形映射，而且 表示这个映射在 的转动角， 表示伸缩率.,例：求 在 的转动角及伸缩率.,解：,2 分式线性映射 分式线性映射是保形映射中比较简单的但又很重要的一类映射，它是由 来定义的，其中 均为常数.,现在先来讨论几种特殊的情况. 为方便，暂且将 平面看成是与 平面重合的.,这是一个平移变换，因为复数相加可以化为向量相加，所以在映射 之下， 沿向量 （即复数 所表示的向量）的方向平行移动一段距离 后，就得到 .,这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 事实上, 设 , 那么 . 因此, 把 先转一个角度 , 再将 伸长(或缩短)到 倍后, 就得到

6、.,i） .,ii） .,iii） .,这个映射可以分解为 为了要用几何方法从 作出 ，我们来研究所谓关于一已知圆周的一对对称点的概念.,设 为以原点为中心， 为半径的圆周. 在以圆心为起点的一条半直线上，如果有两点 与 满足关系式 那么就称这两点为关于这圆周的对称点. 设 在 外，从 作圆周 的切线 .,事实上 ，因此 ，即 ，规定：无穷远点的对称点是圆心 .,由 作 的垂线 与 交于 ，那么 与 即互为对称点.,如果设 ，那么 ， ，从而 . 由此可知， 与 是关于单位圆周 的对称点， 与 是关于实轴的对称点. 因此，要从 作出 ，应先作 出关于圆周 与 的对称点 ，然 后再作出关于实轴与

7、 对称的点. 即得 .,首先讨论映射iii） . 根据第1章，关于数 的 四则运算知, 这个映射将 映射成 , 也就是说 , 当 时， . 如果把 改写成 , 可知当 时， .由此可见，在扩充复平面上映射iii）是一一对应的. 又因为,以上讨论了如何从 作出映射i），ii），iii）的对应点 . 下面分别讨论这三种映射的性质.,所以除去 与 外, 映射 是保角的.,当 时， .,至于在 与 是否保角问题就关系到如何理解两条曲线在无穷远点处交角的涵义问题.,如果规定：两条伸向无穷远的曲线在无穷远处的交 角，等于它们在映射 下通过原点的两条像曲线的 交角，那么这映射在 处是保角的.,再由 知在 处

8、映射 是保角的，也就是说在 处映射 是保角的. 所以，映射 在扩充复平面上是处处保角的.,其次，再对i）与ii）进行讨论. 显然，这个映射在扩充复平面上是一一对应的. 又因为 , 所以当 时，映射是保角的. 还可以证明，当时 ，映射也是保角的. 因此，映射 在扩充复平面上是处处保角的.,还要指出，映射 与 都具有将圆周 映射成圆周的性质.,据上所论，映射 是将 平面内的一点经过平移、旋转和伸缩而得到像点 的 , 因此 , 平面内的一个圆周或一条直线经过映射 所 得到的像曲线显然仍是一个圆周或一条直线. 如果把直线看成是半径为无穷大的圆周，那么这个映射在扩充复平面上把圆周映射成圆周. 这个性质称

9、为保圆性.,下面来阐明映射 也具有保圆性. 为此，令 , 将 代入 , 得 或,当然, 在这种情况下, 可能是将圆周映射成圆周 (当 ); 圆周映射成直线(当 ); 直线映射成圆周(当 ), 以及直线映射成直线 (当 ). 这就是说, 映射 把圆周映射 成圆周. 或者说, 映射具有保圆性.,因此，映射 将方程 ( 圆心 , 半径) 变为方程,最后, 再回到分式线性映射的一般情况的讨论,如果 , 那么 就可以看成是由 与 复合而成; 如果 , 那么 就有 , 这里, .,因此, 映射可以看成是由上面已经讨论过的三个映射i), ii), iii)复合而成的.,定理1. 分式线性映射在扩充复平面上是

10、一一对应的，且具有保圆的保形映射.,根据保圆性，容易推知：在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射或无穷远点，那么它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，那么它就映射成直线.,分式线性映射，除了保圆性外，还有所谓保对称性，这就是下面的定理2. 定理2. 设点 是关于圆周 的一对对称点, 那么在分式线性映射下，它们像点 与 也是关于 的像曲线 的一对对称点.,那么连接 与 的直线作为 的特殊情况(半径为无穷大)必与 正交, 因而必过 , 又因 与 于交点 处正交, 因此 的半径 就是 的切线, 所以有 即 与 是关于圆周 的一对对称点.,下面利用上述对称点的特性来证明定

11、理2. 证：设经过 与 的任一圆周 是经过 与 的圆周 由分式线性映射映射过来的. 由于 与 正交,而分式线性映射具有保角性，所以 与 ( 的像)也必正交，因此， 与 是一对关于 的对称点.,定理. 在 平面上任意给定三个相异的点 , 在 平面上也任意给定三个相异的点 , 那么就存在唯一的分式线性映射，将 依次映射成 .,证：设 ，将 依 次映射成 ，即,因此得 ， 这就是所求的分式线性映射，同时，也证明了它的唯一性.,因而有 及,等式左、右两边称为交比. 因此，可以看出在分式线性函数所确定的映射下,交比不变.,4 几个重要的分式线性映射,1将上半平面 映射成单位圆 的分式线性映射.,设 因此

12、 ； 于是,当 时， ， 所以 （ 为一实数） 即 .,2将单位圆 映射为 的分式线性映射.,设 是这个分式线性变换,于是,3将圆盘 映射成圆盘 .,例1. 求出上半平面 到圆盘 的分式线性映射 ，使得 求出 的值.,解：设 ，则复合函数 将 映射成 ，且,再由条件 ，得,从而 ，于是,例2. 设分式线性映射 将圆 映射成 右半平面 ，并满足 ，试求该映射 .,解：考虑 的逆映射 ，它也是一个分式线性映射, 而 与 关于 对称， 与 关于 对称. 由保对称性，有 ，于是,令 , 注意到 将 映射成 , 则当 时, 有 即 或,从而由 得 ，故,为所求.,5 几个初等函数所构成的映射,1幂函数 （ 自然数）,在原点不保角. 特点是：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的倍 .,例1. 将圆 和圆 的公共中分保形地映射为单位圆盘.,图 6.6,故 为所求.,2指数函数,由于在 平面内 ,所以, 由 所构成的映射是处处保角的.,一般地，它把水平的带形域 映 射成角形域 . 因此，如果要把带形域映射成角形域，常常利用指数函数.,例1. 求把带形域 映射成上半平面 的一个保形映射.,例2. 作一双方单值保形映射，把中心在 和 半径为1的两个圆弧 所围成的域 变为上半平面.,解：这两