第四章 轮廓加工的数学基础A

1、第四章 轮廓加工的数学基础,第一节 概述 一、插补的概念 轮廓的形状是由各种线形构成的，用户在零件加工程序中，一般只提供描述该线形所必须的相关参数。为了实现轨迹控制，在运动过程中要实时计算出满足线形和进给速度要求的若干中间点。 插补就是根据给定进给速度和轮廓线形的要求，在轮廓的起点和终点之间，确定一些中间的方法。 对于轮廓控制系统来说，最重要的功能就是插补功能。因为插补运算是在机床运动过程中实时进行的，即在有限的时间内，必须对各坐标轴实时地分配相应的位置控制信息和速度控制信息。 插补算法的优劣，将直接影响CNC系统的性能指标。,插补的实质,数控装置向各坐标提供相互协调的进给脉冲，伺服系统根据进

2、给脉冲驱动机床各坐标轴运动。 数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算（即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。 插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。 插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。,由于插补方法的重要性，不少学者都致力于插补算法的研究，使之不断有新的、更有效的插补方法应用于CNC系统。 目前，常用的插补算法大致可以分为两大类：脉冲增量插补和数据采样插补。,1、脉冲增量插补

3、脉冲增量插补是控制单个脉冲输出规律的插补方法。每输出一个脉冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离称为脉冲当量（0.01mm0.1um）。 通常用于步进电机控制系统。,2、数据采样插补 数据采样插补法是在规定的时间（插补时间）内，计算出各坐标方向的增量值（X、Y 、 Z）。 这些数据严格的限制在一个插补时间内（如4ms)计算完毕，送给伺服系统，再由伺服系统控制移动部件运动。 移动部件也必须在下一个插补时间内走完插补计算给出的行程，因此数据采样插补也称为时间标量插补， 插补时间采用12ms、8ms、4ms、2ms等，对于运行速度较快的计算机，有的选用的更小。插补时间越短，机床的进给速度越快。

4、现代数据机床的进给速度已超过15m/min30m/min，有些达到60m/min。它适用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。,第二节 脉冲增量插补,主要介绍： 逐点比较法 数字积分法,脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过得中不断向各坐标轴发出相互协调的进给脉冲，控制机床坐标作相应的移动。,一、逐点比较法插补原理,基本原理：数控装置在控制刀具按要求的轨迹移动过程中，不断比较刀具与给定轮廓误差，由此误差决定下一步刀具移动方向，使刀具向减少误差的方向移动，且只有一个方向移动。,一、逐点比较法插补原理逐点比较法插补过程可按以下4个步骤(节拍)进行：,第1节拍:偏差判别： 判别刀

5、具当前位置相对给定 轮廓的偏差情况, 以此确定进 给方向。 第2节拍:进给: 使刀具向给定轮廓进给一步, 即向减少误差方向移动。,第3节拍: 偏差计算： 由于进给, 刀具改变了位置, 计算新位置与给定轮廓之间的偏差，作为下一步判别依据。 第4节拍: 终点判别: 判断是否到达被加工轮廓终点,若到达，结束插补；否则，继续插补。,逐点比较法既可作为直线插补，又可作圆弧插补。这种算法的特点是：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便。因此，在两坐标联动的数控机床中应用较为广泛。,1.直线插补 (1)偏差计算 第一象限直线OE，起点O为坐标原点，直线的终点坐标

6、 E（Xe，Ye），直线方程为：,动点P与直线的位置关系有三种情况： 动点在直线上; 动点在直线上方; 动点在直线下方。,YXeXYe0,若P点在直线上，则有 YXeXYe0 若P1点在直线上方，则有 Y1XeX1Ye0 若P2点在直线下方，则有 Y2XeX2Ye0 因此，可以构造偏差函数为,F =0时，表示动点在OE上，如点P，可向X向进给. F 0时，表示刀具在OE上方，如点P1，应向X向进给. F 0的情况一同考虑. 下面将F 的运算采用递推算法予以简化，动点 Pi(Xi，Yi)的Fi值为,若Fi0,表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应沿X 向走一步,假设坐标值的单位为脉

7、冲当量，进给后新的坐标值为（Xi+1，Yi+1）,且Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi , 新点偏差为:,即,Fi+1=Fi-Ye,若Fi0，表明Pi（Xi，Yi）点在OE 的下方，应向Y 方向进给一步，新点坐标值为(Xi+1，Yi+1)，且Xi+1=Xi ,Yi+1Yi1，新点的偏差为:,即,Fi+1=Fi+Xe,(2)进 给 第一象限直线偏差与进给方向的关系如下: F0时, 沿+X方向走一步, FF-Ye F0时, 沿+Y方向走一步, FF+Xe (3)终点判断 判别方法: 设置一个长度计数器, 刀具沿X轴应走的步数为X e ,沿Y轴走的步数为Ye ,计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和=

8、XeYe,当X或Y坐标进给时,计数器做减1运算,当计数器减到零时,即0时,到达终点,停止插补 .,（4）直线插补软件流程图,第一象限直线插补结论： (1) 开始时,刀具位于直线起点上,偏差为零F0, (2) 每一新加工点的偏差都可由前一点偏差和终点坐标相加或相减得到。 (3) 终点判别 计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和=XeYe, 进给时,计数器做减1运算,当计数器减到零时,即0时,到达终点,停止插补 。,例4-1 加工第一象限直线OE，起点为坐标原点，终点坐标为E（4，3）。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。,解： (1)直线插补运算 总步数n=3+4=7,(2)画插补轨

9、迹：,直线插补的象限处理与坐标变换 （1）象限处理 对于第二象限的直线，X的进给方向与第一象限不同，在偏差计算中只要将Xe、Ye取绝对值，代入第一象限的插补公式即可插补运算。第三、第四象限也是一样。 不同象限的直线插补共用一套公式，所不同的是进给方向不同。,四个象限各轴插补进给方向如下图所示：,2. 圆弧插补 (1)偏差计算 设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点S(Xs，Ys),终点E（Xe，Ye）。,设圆上任意一点为（xi，yi），则下式成立：,取偏差函数F为：,若F0，则动点位于圆弧外侧。 若F=0，则动点在圆弧上。 若F0,则动点在圆弧内侧。 设第一象限动点 的F值为 ,则有,若动点沿-X

10、方向走一步后，则：,若动点沿+y方向走一步后，则：,(2) 进 给 第一象限逆圆偏差判别函数F与进给方向的关系如下： F0，沿-x方向走一步： FF-2X+1 F0 沿+Y方向走一步： FF+2Y+1,(3) 终点判别 与直线插补相同, 将沿X、Y轴走的总步数存入一个计数器， =Xe-Xs+ Ye-Ys 每走一步减1，当0时发出停止信号。,(4) 第 一 象 限 圆 弧 插 补 软 件 流 程 图,N,Y,N,Y,F0,+y向进给,- x向进给,FF+2y+1 yy+1,开始,FF- 2x+1 xx-1,-1=0？,结束,xxs , Y Ys , F=0,=Xe-Xs+ Ye-Ys ,第一象限

11、圆弧插补结论 (1) 开始时,刀具位于圆弧起点上,偏差为F0, (2) 每一新加工点的偏差都可由前一点偏差和2倍动点坐标相加(正向进给)或相减(负向进给), 再加1得到。 (3)终点判别: 计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和,进给时,计数器做减1运算,当计数器减到零时,即0时,到达终点,停止插补。,例4-2 现欲加工第一象限逆圆弧AB,如图所示,起点A（5，0）,终点 B（0，5）,试用逐点比较法进行插补。,解:(1)圆弧插补运算过程:,圆弧插补过程:,(2)画插补轨迹：,圆弧插补的象限处理,圆弧所在象限不同, 逆顺不同,则插补公式和进给方向均不同. 无论哪个象限,都用坐标的代数值运算。,四

12、个象限圆弧插补进给方向,圆弧插补的象限处理,圆弧自动过象限 圆弧过象限，指圆弧的起点和终点不在同一象限内。应先进行过象限判断. 当X0或Y0时过象限。需将圆弧分成两段圆弧进行处理，调用相应的插补程序。 过象限圆弧线型变化规律：逆时针圆弧过象限后的转换顺序是NR1，NR2，NR3，NR4，每过一次象限，象限顺序号加1；顺时针圆弧过象限的转换顺序是SR1，SN2，SR3，SR4，每过一次象限，象限顺序号减1。,二、 数字积分法 设有一函数Yf(t)，求此函数在totn区间的积分,就是求出此函数曲线与横坐标t在区间（to，tn）所围成的面积。,Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+

13、1 tn,如果将横坐标区间段划分为间隔为t的很多小区间，当t 取足够小时，此面积可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。有,Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn,在数学运算时，取t为基本单位“1”，则上式可简化为：,Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn,1. DDA直线插补 设有一直线OE,起点在原点,终点为(xe, ye).Vx，Vy分别表示动点在x、y轴方向的速度，在x、y轴方向的微小位移增量为：,对于直线函数来说，满足下式：,坐标的位移增量为,各坐标轴的位移增量为：,动点从原点走向终点的过程,可以看作是各坐标每经过一个单位时间间隔t,

14、分别以增量kxe , kye同时累加的过程。,平面直线插补原理图如下：,假设经过n次累加后（取t=1), x和y 分别或同时到达终点，有,因此有,结论: (1)n是累加次数，必须取整数，k取小数。 (2) k值的确定:要保证沿坐标轴每次进给脉冲不超过一个，保证插补精度，应使下式成立,如果存放Xe，Ye寄存器的位数是N，对应最大允许数字量为2N-1 , 故有:,所以,为使上式成立，可取,代入得,对于一个二进制数，使xe(ye)乘以1/2N (k),相当于xe(ye)数字不变, 只要把小数点左移N位即可。 一个N位寄存器存放xe (或kxe)和ye (或kye)的数字是一样的, 只是小数点位置不同

15、。, 直线的被积函数寄存器只需存放xe , ye即可. 直线加工需2N次累加运算. 终点判别：用一个与被积函数寄存器位数相同的终点计数器实现，初值为零，每累加一次，计数器加1，当累加 次后，产生溢出，完成插补.,DDA直线插补小节：,例4-3：设有一直线OA，起点在坐标系原点，终点的坐标为（4，6），试用DDA法直线插补此直线。,Y,A(4,6),X,Y,A(4,6),X,解： Jx=4、Jy=6 选择寄存器位数N=3，则累加次数 。,2. 数字积分法圆弧插补,第一象限圆弧AE ,半径为R,起点为A（xs，ys）,终点为E（xe，ye）.N(xi，yi)为圆弧上任意动点.动点,移动的速度为v,

16、则在两个坐标方向的分速度为vx,vy.圆弧的方程为：,动点N的分速度为,当V恒定时，设 k = v / R 在t时间内，x、y位移增量为,与直线插补相同，取累加器容量为2N ，则k=1/2N ，各坐标的位移量为,圆弧插补原理框图为,插补运算开始: JRx, JRy累加器清零; X寄存器JVx存放动点Y坐标; Y寄存器JVy存放动点X坐标; 插补运算中： X方向由溢出时，要在寄存器JVy中减1; Y方向由溢出时，要在寄存器JVx中加1。,DDA圆弧插补与直线插补的主要区别为： （1）圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与直线恰好相反。 （2）圆弧插补中被积函数是动点坐标,是变量，直线插补的被积函

17、数是终点坐标，是常数。 （3）圆弧插补终点判别需要采用两个终点计数器。对于直线插补，如果寄存器位数为N，无论直线长短都需迭代2N次到达终点.圆弧插补则不一定，这是因为被积函数是变量。,例4-4：设有第一象限逆圆弧AB，起点为A（5，0）,终点为B（0，5）,设寄存器位数为3.试用DDA法插补此圆弧.,解: JVx中存0；JVy中存5； 寄存器容量为23=8。,由运算过程可看出: JVy中存的 XS数值大JVx存的数0,在Y方向先 溢出3个脉冲； 随着Y方向溢出脉冲, JVx存的Y数值不断增大, XY两方向同时溢出2个脉冲, Y向累加器停止累 加。 JVx存的数达到最大值,X方向很快溢出3个脉冲

18、。,3. 数字积分法插补的象限处理 圆弧插补时被积函数是动点坐标的绝对值，在插补过程中要进行修正。 坐标值的修改要看动点运动是使该坐标绝对值增加还是减少，来确定是加1还是减1。,四个象限直线进给方向和圆弧插补的坐标修改及进给方向如下表所示。,5.3 数字采样插补原理,随着直流伺服技术和交流伺服技术的发展，现代数控机床都采用半闭环或闭环系统。在这些系统中，通常都采用数据采样法。这种方法得出的不是进给脉冲，而是用二进制表示的进给量。是根据计算机运算速度，确定一个时间间隔，称为插补周期（小于20ms），在一个插补周期内完成一次插补运算，为各坐标方向提供一组数据，使机床在各坐标方向上同时完成一次微小的

19、运动。 在一个插补时间内，也要对机床各坐标方向上的实际运动增量值进行采样，提供给计算机进行比较。 数字增量插补法在现代CNC系统中得到广泛的应用，在采用这类插补算法的CNC系统中，插补周期是一个重要参数。下面先就插补周期进行讨论，然后再以时间分割法为例，说明直线和圆弧插补原理。,一、插补周期的选择 1、插补周期与精度、速度的关系 在直线插补时，这类插补算法是用小直线段逼近直线,它不会产生逼近误差。在曲线插补中，当用内接弦线逼近曲线时，其逼近误差为 、插补周期为T、进给速度为F以及与该曲线在该处的曲率半径 的关系为：,因为： 所以：,在实际CNC系统中，T是固定的，而F、 是用户给定的，因而 就

20、可能超差，这是不允许的。在实际的系统中，通过对F进行限制来保证 在允许范围内。,2、插补周期与插补运算时间的关系 一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么该系统插补运算的最长时间就确定了。显然，插补周期必须大于该时间。插补周期一般应为最长插补运算时间的两倍以上，这是因为系统除进行插补运算外，CPU还要执行诸如位置控制、显示等其他任务。 3、插补周期与位置控制周期的关系 由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此，插补周期要么与位置控制周期相等，要么是位置控制周期的整数倍，只有这样才能使整个系统协调工作。 例如：FANUC 7M系统的插补周期是8ms，而位置控制周期是4ms；华中1型数控系统的插补

21、周期是8ms，而位置控制周期是2ms。,二、直线插补算法,在设计直线插补程序时，通常将插补计算坐标系的原点选在被插补直线的起点，如图所示，设有一直线OPe， O(0,0)为起点，Pe (Xe,Ye)为终点，要求以速度F(mm/min)，沿OPe 进给。,设插补周期为T(ms)，则在T内的合成进给量L为： 式中：,上述算法是先计算Xi后计算Yi，同样还可以先计算Yi后计算Xi，即：,上述算法是先计算Xi后计算Yi，同样还可以先计算Yi后计算Xi，即：,上述两个式子究竟哪个较优？ 由算式（1）、（2）分别可得：,对上两式分别求微分并取绝对值得：,对式（3）有： 该算法对误差有收敛作用。 对式（4）有： 该算法对误差有放大作用。,（3） （4）,由此可知：,通过上面得分析可以得出插补公式的选用原则为： 这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大的坐标增量，后计算小的坐标增量。,公式的归一化处理,若考虑不同的象限，插补公式将有8组，为程序设计的方便，引入引导坐标的概念，即将进给增量值较大的坐标定义为引导坐标G，进给增量值较小的定义为非引导坐标N。这样便可将八组插补公式归结为一组：,在程序设计时，可将上公式设计成子程序，