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文档简介
1、专题讲座,集合与简易逻辑,(5)(1-|x|)(1+x)0,二、恒成立问题: 利用相应函数图象特征, 根据图像找出条件然后求出范围。,例1 a为何值时,不等式(a2-3a+2)x2+(a- 1)x+20对一切实数x恒成立?,分析:若为二次函数大与0恒成立,图像都在X轴上方.如下图,1. 当a2-3a+20时,,2. 当a2-3a+2=0时,要使不等式恒成立。则有:,由1、2知a取值范围 :,例2 k为何值时,关于x的不等式,的解集为一切实数。,解:4x2+6x+30 原不等式化为 2x2+2kx+k0,七 等价命题的应用,(1)求一个命题的等价命题 (2)当已知命题的真假很难判定时,可转化成判
2、定其逆否命题的真假。,例1 (1)设A,B是两个命题 若A是B的充分条件,则A是B的 条件 若A B 则A是B的 条件 (2)已知真命题 ab cd 和 ab ef 则 cd是ef 的 条件,必要不充分,必要不充分,充分不必要,(3)若x2=y2,则 x=y 或 x=-y的逆否命题 是: 若 x2+y2=0则 x=0 且 y=0逆否命题 是:,若x 0 或 y 0 则x2+y2 0,若, xy 且 x-y 则 x2y2,五 反证法:,例1 求证:一元二次方程 至多有两个根。,分析探求:“最多有两个”就是“不可能有三个”,“最多有两个不相等的实根”的反面是至少有三个不相等的实根。,证明:假设方程
3、有三个不相等的实根 x1、 x2、x3,则,由,得 ,由,得 ,由,得,因为a0, 所以x2-x3=0即x2=x3 这与假设x1x2x3矛盾。 所以原方程最多只有两个不相等的根,证明:反证法,假设A600或A=00 显然 ,当A600,A+B+C1800 与A+B+C=1800矛盾; 当A=0,不能构成三角形 所以,00A600,反证法小结: (1)一般情况下,命题的结论显然正确但没有更多公理、概念等依据可供证明时,往往采用反证法。 (2)在证明题的结论中,若出现“至少。” 、“至多。”等字样时,(结论有多种形式,而反面情况较少)往往采用反证法。,六 有关充要条件命题的证法: 有关充要条件的命题在证明时,常常要从两个方面来证 证明充分性。 证明必要性 或使用等价推出符号“ ” 但是必须确保前后互推,例2 已知a、b R. 求证:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充要条件,由充分条件、必要条件知:,a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充要条件,例2 已知a、b R. 求证:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充要条件,证明:充分性:若a+b+c=0则c=-(a+b) ax2+bx+c=a(x2-1)+b(x-1)=0 (x-1)=0 x=1 必要性:若x=1是方程的根 则ax2+bx+c=a
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