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文档简介

1、,3.4基本不等式,青龙一中,孙丽娜,第24届国际数学家大会,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客,知识目标： 1.掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义; 2.能够利用基本不等式求最值; 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”. 重点：探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景; 难点：基本不等式的简单应用.,ICM2002会标,赵爽：弦图,ICM2002,问题1： 你能从会标中抽象出什么样的几何图形？,赵爽：弦图,变化的弦图,得,当正方形EFGH缩为一个点，即a=b时，这时有,观察发现,几何解

2、释,证明：（作差比较法）,形,数,几何解释,代数证明,问题5： 当 时，能用 、 分别代替 中的 、 吗？会得到什么结果？,那么a2+b22 a b,那么a + b 2,（当且仅当a=b时，取“=”号）,若aR,bR,若a0 b0,深入探究：,几何解释,代数证明,问题6：替换得到的不等式一定成立吗？能否利用不等式的性质进行证明？,求证：,代数证明,时等号成立,结论：,一般写作：,文字表述：两个正数的算术平均数 不小于几何平均数。,基本不等式,1、如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则OD=, CD=.,O,动态演示,几何解释

3、,时等号成立,解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,结论1 积为常数，和有最小值.,当xy的值是常数 时，当且仅当x=y时， x+y有最小值,【提升总结】,（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，菜园的面积最大？最大面积是多少?,解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym ,当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。,因此，这个矩形的长、宽为都9m时，菜园的面积最大，最大面积是81,结论2 和为常数，积有最大值.,当x+y的值是常数s时，当且仅当x=y时， xy有最大值,【提升总结】,基本不等式使用条件：一正二定三相等,解析：借助图像研究函数最低点的纵坐标即为基本不等式中的最小值,探究2：利用基本不等式求最值,方法指导：先对已知函数进行变形，再运用基本不等式

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