圆中的最值问题

1、.圆中的最值问题【考题展示】题 1 (2012 年武汉中考 ) 在坐标系中，点A 的坐标为 (3 ， 0) ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2设 tan BOC=m，则 m的取值范围是_题 2 (2013 年武汉元调 ) 如图，在边长为1 的等边 OAB中，以边 AB 为直径作 D，以 O为圆心 OA长为半径作 O，C 为半圆弧 ?、 两点重合），射线交于点，b ，求 a bAB 上的一个动点 （不与ACOA BE BC=aAC=的最大值 . （有修改）题 3 (2013 年武汉四调 ) 如图， BAC=60，半径长为 1 的圆 O与 BAC的两边相切， P

2、 为圆 O上一动点，以 P 为圆心，PA长为半径的圆 P 交射线 AB、AC于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE长度的最大值为 _题 4(2013 年武汉五模 ) 在 ABC 中，A 120 ， BC6 若 ABC 的内切圆半径为r ，则 r 的最大值为_（有修改）题 5 (2013 年武汉中考 ) 如图， E， F 是正方形 ABCD的边 AD上两个动点，满足 AE=DF连接 CF交 BD于点 G，连接 BE交 AG于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH长度的最小值是 _ 题 1 图题 2 图题 3 图题 4 图题 5 图;.【典题讲练】类型 1（相关题：题5）1.1如图，边长为a

3、 的等边 ABC 的顶点 A ， B 分别在 x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动，则动点C 到原点 O的距离的最大值是_1.2 在直角坐标系中， ABC 开始在正 x 轴上运动时，点 B 时图形应满足什么条件满足， C=90 ， AC=8 ， BC=6 ，点 A ， B 分别在 x 轴、 y 轴上，当 A 点从原点随着在正 y 轴上运动（下图） ，求原点 O 到点 C 的距离 OC 的最大值，并确定此1.3如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC ， C=90 ，AC=BC=2 ，点 A 、 C 分别在 x 轴、 y轴上，当点A 从原点开始在x 轴的正半轴上运动时，点C 在 y 轴正半

4、轴上运动（ 1）当 A 在原点时，求点 B 的坐标；（ 2）当 OA=OC 时，求原点 O 到点 B 的距离 OB；（ 3）在运动的过程中，求原点 O 到点 B 的距离 OB 的最大值，并说明理由;.1.4边长为 2 的等边 ABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上移动，顶点B 在射线 OD 上移动， AOD=45 ，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为 _1.5 如图， O的直径为4，C为 O上一个定点， ABC=30，动点 P 从 A 点出发沿半圆弧?AB 向 B 点运动（点P 与点 C 在直径 AB的异侧 ) ，当 P 点到达 B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作 CP的垂线 CD

5、交 PB 的延长线于 D 点（ 1）在点 P 的运动过程中，线段 CD长度的取值范围为 _；（ 2）在点 P 的运动过程中，线段 AD长度的最大值为 _DCAOBP1.6如图，定长弦CD在以 AB为直径的 O上滑动（点C、D 与点 A、B 不重合），M是 CD的中点，过点C 作 CP AB于点 P，若 CD=3， AB=8，则 PM长度的最大值是 _1.7如图，在Rt ABC中， ACB=90， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2， M为 BD的中点，在 D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_ADMCB;.类型 2（相关题：题4）2.1如图，已知AB是 O的弦，

6、 C是 O上的一个动点，连接AC、 BC， C=60， O的半径为2，则 ABC面积的最大值是_2.2如图，已知直线MN经过 O上的点 A，点 B 在 MN上，连 OB交 O于 C 点，且点 C 是 OB的中点， AC= OB，若点 P 是 O上的一个动点，当AB=时， APC的面积的最大值为_2.3如图，半圆O的半径为1，ACAB，BD AB，且 AC=1，BD=3，P 是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是_2.4已知 Rt ABC 中，斜边AB=5 ，则斜边上的高的最大值为_;.2.5如图，若Rt ABC 的斜边 AB=2 ，内切圆的半径为r，则 r 的最大值为 _2.6

7、如图，在 ABC 中， AB=10 ，AC=8 ， BC=6 ，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB， CA 分别相交于点E， F，则线段 EF 长度的最小值是 _2.7如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 AB 经过点 A（ 4，0）、B（ 0，4），O的半径为1（O为坐标原点） ，点 P 在直线 AB上，过点P 作 O的一条切线PQ， Q为切点，则切线长PQ的最小值为 _2.8 如图所示，在直角坐标系中， A 点坐标为（ 3， 2）， A 的半径为 1， P 为 x 轴上一动点， PQ切 A 于点 Q，则当 PQ最小时， P点的坐标为 _;.类型 3（相关题：题3）3.1如图，

8、ABC中， BAC=60， ABC=45， AB=2， D是线段 BC上的一个动点，以AD为直径画 O分别交 AB， AC于 E， F，连接 EF（ 1）探究线段 EF 长度为最小值时，点 D的位置，请画出图形；（ 2）求出该最小值3.2 如图，在 ABC中，已知 AB=5， BC=8， AC=7，动点 P、 Q分别在边 AB、 AC上，使 APQ的外接圆与 BC相切，则线段 PQ的最小值等于 _类型 4（相关题 :题 2）4.1如图，点C 在以 AB 为直径的 O 上， CD AB 于 P，设 AP=a， PB=b（ 1）求弦 CD 的长；（ 2）如果 a+b=10，求 ab 的最大值，并求

9、出此时a， b 的值 (参考 2.4 、 2.5 ）4.2 如图，半径为 2 的 O 有两条互相垂直的弦AB 和 CD ，其交点 E 到圆心 O 的距离为1，则AB 2+CD 2=_;.4.3如图， O 的半径为2，点 P 是 O 内一点，且OP=，过 P 作互相垂直的两条弦AC 、BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为_4.4如图，以O 为圆心， 1 为半径的圆内有一定点A ，过 A 引互相垂直的弦PQ， RS求 PQ+RS 取值范围4.5如图，线段 AB=4，C 为线段 AB 上的一个动点， 以 AC、BC为边作等边 ACD和等边 BCE， O外接于 CDE，则 O半径的最小值为.EDO

10、ACB4.6在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心， 2 为半径画 O，P 是 O上一动点，且P 在第一象限内，过点 P 作 O的切线与x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点B，线段 AB 长度的最小值是.;.类型 5（相关题：题1）5.1如图，已知A、 B 两点的坐标分别为(-2 ，0) 、 (0 ， 1) ， C的圆心坐标为 (0 ，-1) ，半径为1， D是 C 上的一个动点，射线AD与 y 轴交于点E，则 ABE面积的最大值是_5.2如图， Rt ABC中， C=90， A=30， AB=4，以 AC上的一点O为圆心OA为半径作 O，若 O 与边BC始终有交点（包括B、C 两点），则线段

11、AO的取值范围是.AOCB5.3如图，在Rt ABC中， C=90， AC=6，BC=8， D 为 AB 边上一点，过点D 作 CD的垂线交直线BC于点 E，则线段 CE长度的最小值是.ADCOE B5.4 在坐标系中，点A 的坐标为（ 3，0），点 B 是 y 轴右侧一点，且AB=2，点 C 上直线 y=x+1 上一动点，且 CB AB于点 B，则 tanACB m ，则 m 的取值范围是.ByPOAx;.5.5 如图， A 点的坐标为（ -2 ， 1），以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B，P(a， b) 为 A 上的一个动点，请分别探索： b a 的最大值； b a 的最小值； b

12、a 的最大值； b a 的最大值；yyyPPPAAABOxBOxBOx【拓展延伸】： b2a 的范围； b2a 的范围；类型 66.1如图， CD 是 O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧 AD 的中点， P 点为直线CD 上的一个动点，当 CD=4 时，求：（ 1） AP+BP 的最小值（ 2） AP BP 的最大值6.2如图，已知圆O 的面积为3， AB 为直径，弧AC 的度数为80，弧 BD 的度数为20，点 P 为直径 AB上任一点，则PC+PD 的最小值为 _ 6.3 如图， AB 、CD 是半径为 5 点 F， P 为 EF 上的任意一点，则的 O 的两条弦， AB=8

13、，CD=6 ，MN 是直径， AB MN 于点 E，CD MN 于 PA+PC 的最小值为 _;.6.4如图， AB 是 O 的直径，弦BC=2cm ， F 是弦 BC 的中点， ABC=60 若动点E 以 2cm/s 的速度从A点出发沿着A B 方向运动，设运动时间为t（ s），连接 EF、CE ，当 t 为 _秒时， CE+EF 最小，其最小值是 _6.5四边形 ABCD 内接于圆，已知 ADC=90 ， CD=4 ， AC=8 ，AB=BC 设 O 是 AC 的中点（ 1）设 P 是 AB 上的动点，求 OP+PC 的最小值；（ 2）设 Q， R 分别是 AB ， AD 上的动点，求 C

14、QR 的周长的最小值补充练习 （与例题类型不完全对应）1. 如图，已知直线 l 与 O相离， OA l长线交直线 l 于点 C，若在 O上存在点围为 _于点 A， OA=5， OA与 O相交于点P， AB 与 O相切于点B， BP的延Q，使 QAC是以 AC为底边的等腰三角形，则O的半径 r 的取值范2已知：如图，RtABC中， B=90o， A=30o， BC=6cm，点 O从 A 点出发，沿AB以每秒3 cm 的速度向B点方向运动，当点 O运动了 t 秒(t 0) 时，以 O点为圆心的圆与边 AC相切于点 D，与边 AB 相交于 E、F 两点，过 E 作 EG DE交射线 BC于 G.（

15、1）若点 G在线段 BC上，则 t 的取值范围是 _ （ 2）若点 G在线段 BC的延长线上，则 t 的取值范围是 _;.CCGDB EOF ABA3如图， M， N的半径分别为2cm，4cm，圆心距 MN=10cmP 为 M上的任意一点， Q为 N 上的任意一点，直线 PQ与连心线 l 所夹的锐角度数为，当 P、 Q在两圆上任意运动时， tan的最大值为 _ QPMNl4如图，在矩形 ABCD中， AB=3，BC=4， O 为矩形 ABCD的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 D，P 为 D上的一个动点，连接 AP、 OP，则 AOP面积的最大值为 _PADOBC5如图，在 Rt ABC中，

16、 C=90， AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB相切 的动圆与 CA、 CB分别相交于点 P、Q，则线段 PQ长度的最小值是 _CPQADB6如图， 在等腰 Rt ABC中， C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点， 点 E在 AB边上运动 （点 E 不与点 A 重合），过 A、D、E 三点作 O，O交 AC于另一点 F，在此运动变化的过程中， 线段 EF长度的最小值为 _AFEOBDC7如图， A、 B两点的坐标分别为(2 ， 0) 、(0 ， 2) ， C 的圆心的坐标为(-1 ， 0) ，半径为1，若 D 是 C 上的;.一个动点，线段DA与 y 轴交于点E，则 ABE面积的最小值是_8如图，等腰 Rt ABC中， ACB=90， AC=BC=4， C 的半径为 1，点 P 在斜边 AB上， PQ切 O于点 Q，则切线长 PQ长度的最小值为 _APQCB9在直角坐标系中，点A 的坐