投资的收益和风险问题线性规划分析

1、.投资的收益和风险问题线性规划分析1 问题的提出市 上有 n 种 （如股票、 券、 ）Si（ i 1，n）供投 者 ，某公司有数 M 的一笔相当大的 金可用作一个 期的投 . 公司 分析人 n 种 行了 估，估算出在 一 期内 S i 的平均收益率 r i ，并 出 S i 的 失率 q i .考 到投 越分散、 的 越小，公司确定，当用 笔 金 若干种 ， 体 可用所投 的S i 中最大的一个 来度量 .购买 S i要付交易 ， 率 p i ，并且当 不超 定 u i ，交易 按 ui 算（不 当然无 付 ） . 另外，假定同期 行存款利率是r ，0且既无交易 又无 .（r 05）已知 n

2、4 的相关数据如下：n的相关数据Sr( )q ( )p ( )u ( 元)iiiiiS1282.51.0103S2211.52.0198S235.54.5523S4252.66.540 公司 一种投 合方案，即用 定的 金M，有 地 若干种 或存 行生息，使 收益尽可能大，而 体 尽可能小.2 模型的建立模型 1. 体 用所投 Si 中的最大一个 来衡量，假 投 的 水平是k，即要求 体 Q(x) 限制在 k以内： Q(x) k 模型可 化 ：maxR xs.t.?Q xk ,Fx M ,x0模型 2.假 投 的盈利水平是h ，即要求 收益 R（ x）不少于 h ：R（ x）;.h，则模型可转

3、化为：min Q xs.t.R x hF x Mx 0模型 3. 要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重.因此，假定投资者对风险收益的相对偏好参数为（ 0），则模型可转化为：minQ x ?（1 ?） R xs.t.Fx Mx03. 模型的化简与求解由于交易费 c i (x i ) 是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题， 难于求解 . 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i ) 可简化为线性函数cix

4、ipi xi . 从而，资金约束简化为nnF ( x)fi ( xi )(1pi )xiMi0i0净收益总额简化为nnnR( x )Ri ( xi ) ri xi ci ( xi )( ri pi ) xii 0i0i 0在实际进行计算时，可设M=1，此时yi（1pi）（xi i0，1， ， n）可视作投资 S i 的比例 .以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1）模型 1的求解模型 1 的约束条件 Q(x) k 即Q( x )max Qi (xi )max( qi xi )k ，0 in0 in所以此约束条件可转化为;.qi xik（ i0，1， ， n） 模型 1 可化 如下

5、的 性 划 ：nmax(ripi )xii0s.t. qixi k,i =1, 2,L , nn(1pi ) xi1, x0i 0具体到 n=4 的情形，按投 的收益和 中表3-1 定的数据，模型 ：Max0.05x 0+0.27x 1 +0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4s.t. 0.025x1k，0.015x 2 k，0.055x 3k，0.026x 4 k，x0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3 +1.065x 4=1，xi 0（i 0，1， 4）利用 MATLAB7.0求解模型 1，以 k=0.005 例： 出 果是0.177638, x0 0.1581

6、92, x1 0.2,x2 0.333333, x3 0.0909091,x 4 0.192308 明投 方案 （ 0.158192 ，0.2 ，0.333333 ， 0.0909091 ，0.192308 ） ，可以 得 体 不超 0.005的最大收益是 0.177638M.当 k取不同的 （ 00.03 ）， 与收益的关系 下 ：0.30.250.2益收0.150.10.0500.0050.010.0150.020.025风 险 a模型 1 与收益的关系 ;.输出结果列表如下：模型 1的结果风险 k净收益 Rx0x1x2x3x400.051.00000.0020.1010550.66327

7、70.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.07272730.1538460.0060.20190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.251

8、76500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.0298039000.0260.26732700.9900990000.0280.26732700.9900990000.0300.26732700.990099000从表 3.2 中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S 2，然后是 S 1 和 S 4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r i pi ）较大的 S 1 和 S 2 这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果2）模型 2的求解模型 2本来

9、是极小极大规划：min max( qi xi )0 ins.t.nhnx 0(ri pi )xi(1 pi ) xi 1i0i0;.但是，可以引 量x n+1= max( qi xi ) ，将它改写 如下的 性 划：0 inmin( xn 1 )s.t.qi xixn 1， i0,1,2, n,nn(ri pi ) xi,h(1 pi )xi1 ,x 0i 0i 0具体到 n=4的情形，按投 的收益和 中表3.1 定的数据，模型 ：Min x 5s.t. 0.025x1 x5，0.015x 2 x5，0.055x 3 x5， 0.026x 4 x5，0.05x 0+0.27x 1+0.19x

10、2+0.185x 3 +0.185x 4 h，x0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1，xi 0（i 0，1， 5）利用 MATLAB7.0求解模型 2，当 h 取不同的 （ 0.04 0.26 ），我 算最小 和最 决策， 果如表 3 所示， 和收益的关系 2 所示0.250.2益收0.150.10.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020.002风险图 2 模型 2 中 与收益的关系 表 3 模型 2 的 果 收益风险 Qx0x1x2x3x4水平 h;.0.060.0003917330.9340470.0156

11、6930.02611550.007122410.01506660.080.00117520.8021420.04700790.07834650.02136720.04519990.100.001958660.6702360.07834650.1305780.03561210.07533320.120.002742130.5383310.1096850.1828090.04985690.1054660.140.003525590.4064260.1410240.235040.06410170.13560.160.004309060.274520.1723620.2872710.07834650.

12、1657330.180.005092530.1426150.2037010.3395020.09259140.1958660.200.005875990.01070920.235040.3917330.1068360.2260.220.010299400.4119760.572455000.240.016407200.6562870.330539000.260.02251500.9005990.088622800从表 3.3中我 可以推出和模型 1 似的 果 .3）模型 3的求解 似模型 2的求解，我 同 引 量x n+1=max( qi xi ) ，将它改写 如下0 i n的 性 划：min

13、- （1nxn1 ）(ripi ) xii0s.t.nx 0qi xi， ，n(1 pi ) xi1xn 1i 01 2i 0具体到 n=4的情形，按投 的收益和 表3.1 定的数据，模型 ：min x（ 1）（0.05x0+0.27x +0.19x2+0.185x +0.185x4）513s.t. 0.025x1 x5 ，0.015x 2 x5 ，0.055x 3 x5 ，0.026x 4x5，x0+1.01x 1 +1.02x 2+1.045x 3 +1.065x 4=1，xi 0（i 0，1， 5）利用 MATLAB7.0求解模型 3，当 取不同的 （ 0.7 0.98 ），我 算最小

14、和最 决策， 和收益的关系 3 出 果列表如下：表 4模型 3的 果;.偏好系风险 Qx0x1x2x3x4数 0.700.024752500.9900990000.740.024752500.9900990000.780.0092250900.3690040.615006000.820.0078492900.3139720.5232860.14271400.860.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.900.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.940.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.9801.0000结论：从表 4