用射影面积法求二面角在高考中的妙用

1、用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面内一个多边形的面积为s，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.ab d c本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面内的abc

2、在平面的射影为，作于d，连结ad.于，在内的射影为.又，（三垂线定理的逆定理）.为二面角bc的平面角.设abc和的面积分别为s和，则.a bd1 c1d ca1 b1e典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图, 已知正方体abcda1b1c1d1中，e是a a1棱的中点，则面be c1与面ac所成的二面角的大小为( )a. b. c. d. 解：连结ac，则在面ac内的射影是abc，设它们的面积分别为s和，所成的二面角为 .a bd1 c1d ca1 b1e设正方体的棱长为2，则ab = bc = 2，a bd cs bm bd.故答案选d.例2（04北京）如图, 已

3、知四棱锥sabcd的底面是边长为1的正方形, sd面ac, sb = . (1) 求证:bcsc;(2) 求面asd与面bsc所成的二面角的大小;(3) 设棱sa的中点为m, 求异面直线dm与sb所成的角的大小.（1）证明： sd面ac， sc在面ac内的射影是sd. 又四边形abcd是正方形，面ac， bcsc（三垂线定理）.（2）解： sd面ac，面ac，.又四边形abcd是正方形，. 而，cd面asd. 又abcd，ba面asd.a bd cs bm bde sbc在面sad的射影是sad，设它们的面积分别为s和，所成的二面角为 . 故.所以面asd与面bsc所成的二面角的大小为.（3）

4、解：取ab的中点e，连结de、me.，mesb.异面直线dm与sb所成的角就是，设.a bd cs bm bd，. 故.所以异面直线dm与sb所成的角的大小为.解法二：面sad，sb在面sad 内的射影是sa.d amc bef又.而面sad，（三垂线定理）.所以异面直线dm与sb所成的角的大小为.例3 （04浙江）如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab = ，af = 1，m是线段ef的中点. (1) 求证：am平面bde；(2) 求证：面ae平面bdf；d amc befo(3) 求二面角adfb的大小.证明：（1）设，则，连结oe.四边形acef是矩形，emao.

5、四边形aoem是平行四边形，从而ameo.又平面bde， am平面bde.（2）四边形abcd是正方形，.又正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，面bd面ae= ac ，从而.而，.平面bdf，面ae平面bdf.（3）解：，.bdf在面adf上的射影是adf，设它们的面积分别为s和，所成的二面角为. ab = ，af = 1，.d amc befo连结fo，则.故.所以二面角adfb的大小为.例4 （08天津）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩pa db c形，已知ab = 3，ad = 2，pa = 2，.（1）证明：ad平面pab；（2）求异面直线pc与ad所成的角的大

6、小；（3）求二面角pbda的大小.（1）证明： . ，即. 又四边形abcd是正方形，.而，ab、pa面pab，ad平面pab.（2）adbc，异面直线pc与ad所成的角就是pc与bc所成的角，即.在pab中，ab = 3，pa = 2，pa db ce.由（1）得，ad平面pab.，即. 又bc = ad = 2，. .所以异面直线pc与ad所成的角的大小为.（3）作于e，连结de.由（1）知，而，面abcd.pbd在面abcd内的射影是ebd，设它们的面积分别为s和，所成的二面角为 .，.所以二面角pbda的大小为.点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱

7、二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！vd ca b金指点睛1.（05全国）如图，在四棱锥vabcd中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad底面abcd.（1）证明：ab平面vad；（2）求面vad与面vdb所成二面角的大小.c bade2.（06全国）如图，在直三棱柱abc中，ab = bc ，d、e分别为、的中点.（1）证明：ed为异面直线和的公垂线；（2）设，求二面角的大小.eb ca dp3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，pa平面

8、abcd，pa = 4，ad = 2，bc = 6.（1）求证：bd平面pac；（2）求二面角apcd的大小.sa bd ce4. （09湖北）如图，四棱柱sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd = ad = a ，点e是sd上的点，且（0）.（1）求证：对任意，都有acbe；（2）若二面角caed的大小为，求的值.金指点睛的参考答案1.（05全国）如图，在四棱锥vabcd中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad底面abcd.vd ca b（1）证明：ab平面vad；（2）求面vad与面vdb所成二面角的大小.（1）证明：取ad的中点e，连结ve. . 又平面vad

9、底面abcd，ve平面vad， ve底面abcd. va在底面abcd的射影是ad.abad，ab底面abcd， abva（三垂线定理）. 而va、ad平面vad，故ab平面vad.（2）由（1）可知，ab平面vad， vbd在平面vad的射影是vad，设它们的面积分别为s和，所成的二面角为. 设正方形的边长为1，则.c bade .，.所以面vad与面vdb所成二面角的大小为.2.（06全国）如图，在直三棱柱abc中，ab = bc ，d、e分别为、的中点.（1）证明：ed为异面直线和的公垂线；（2）设，求二面角的大小.（1）证明：取ac的中点f，连结ef、bf. .在直三棱柱abc中，面a

10、bc，c badefdb，ef= db，面abc.四边形bdef是矩形. 从而.在rtabd和rt中，. rtabdrt. 而 所以ed为异面直线和的公垂线.（2）解：连结. ，即面c bade在面内的射影是.在面内的射影是.设它们的面积分别为s和，所成的二面角为.设ab = bc = 1，则. 所以二面角的大小为.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，pa平面abcd，pa = 4，ad = 2，bc = 6.（1）求证：bd平面pac；eb ca dp（2）求二面角apcd的大小.（1）证明：在rtabd和rtabc中， ad = 2，bc = 6. . 而

11、，即. 又 pa平面abcd，平面abcd，.，pa、ac平面pac，故bd平面pac.（2）解：连结pe. 由（1）知，bd平面pac.pdc在平面pac内的射影是pec，设它们的面积分别为s和，所成的二面角为.pa平面abcd，（三垂线定理）.，从而. eb ca dp.所以二面角apcd的大小sa bd ceo4. （09湖北）如图，四棱柱sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd = ad = a ，点e是sd上的点，且（0）.（1）求证：对任意，都有acbe；（2）若二面角caed的大小为，求的值.（1）证明：连结bd. 四边形abcd是正方形，. 又 sd平面abcd，sd = a ，点e是sd上的点，且（0）， 点e在线段sd上，且不与点d重合，因而be