高中数学人教选修12同课异构教学课件222反证法精讲优练课型

1、2.2.2 反证法,【自主预习】 反证法的定义及证题关键,不成立,假设,错误,原命题成立,已知条件,假设,定义,定理,公理,事实,【即时小测】 1.命题“ABC中,若AB,则ab”的结论的否定应该是() A.abB.abC.a=bD.ab,【解析】选B.“ab”的对立面为“ab”.,2.实数a,b,c不全为0等价于() A.a,b,c均不为0 B.a,b,c中至多有一个为0 C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0,【解析】选D.“不全为0”的对立面为“全为0”,故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”.,3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,

2、反设正确的是() A.假设三内角都不大于60 B.假设三内角都大于60 C.假设三内角至多有一个大于60 D.假设三内角至多有两个大于60,【解析】选B.“三个内角至少有一个不大于60”的含义是有一个,两个或三个内角不大于60,所以否定是“都大于60”.,4.应用反证法推出矛盾的过程中,要把下列哪些作为条件使用_(填序号). 结论的否定即反设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原命题的结论.,【解析】根据反证法的定义知均可作为条件使用. 答案:,5.设a,b,c,dR,且ad-bc=1. 求证:a2+b2+d2+c2+ab+cd1.,【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1, 则a2

3、+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0, 所以a+b=0且c+d=0且a-d=0且b+c=0, 所以a=b=c=d=0与ad-bc=1矛盾. 所以假设不成立,原结论成立.,【知识探究】 探究点反证法 1.反证法的“反设”是否命题吗? 提示:不是,反证法的“反设”是对命题结论的否定.,2.反证法证题的核心是什么? 提示:核心是推出矛盾.,【归纳总结】 1.对反证法的三点说明 (1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.,(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨

4、体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.,(3)并非所有问题都可采用反证法证明,只有当问题从正面求解不好处理时或较繁琐时,才考虑反证法.,2.反证法证题的本质、常用的反证方法 (1)本质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面要一一否定,不能遗漏. (2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.,易错警示:用反证法证题时,“否定结论”在推理论证中

5、作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.,类型一用反证法证明否(肯)定性命题 【典例】1.(2016武汉高二检测)用反证法证明命题“如果ab,那么a3b3”时,假设的内容是() A.a3=b3B.a3b3 C.a3b3D.a3b3且a3=b3,2.(2016德州高二检测)用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:A+B+C=90+90 +C180,这与三角形的内角和为180矛盾,故假设错误;所以一个三角形不能有两个直角;假设ABC中有两个直角,不妨设A=B=90. 上述步骤的正确顺序为_.,【解题探究】1.典例1

6、中结论“a3b3”的反面是什么? 提示:a3b3.,2.典例2中,在反证法中各是什么? 提示:是推出矛盾;作出结论;是反设.,【解析】1.选C.假设的内容应为结论“a3b3”的否定“a3b3”,故选C. 2.根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论. 知正确的顺序应为. 答案:,【方法技巧】 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.,2.用反证法证明数学命题的步骤,特别提醒:(1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的思路步骤,其次注意反证法是在条件较少,直

7、接证明不易入手时常用的方法. (2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题,结论的反面比较具体,适于应用反证法. (3)注意否定结论时,要准确无误.,【变式训练】(2016沈阳高二检测)已知三个正数 a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证: 不成 等差数列.,【证明】假设 成等差数列,则 即a+c+2 =4b, 又a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b= 所以a+c+2 =4 ,即( )2=0,所以a=c, 从而a=b=c,这与已知a,b,c不成等差数列矛盾. 所以假设不正确.故 不成等差数列.,类型二反证法证明“至多”“至少”问题 【典例】(2016威海

8、高二检测)已知a,b,c(0,1),求 证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .,【解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么? 提示:“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.,【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 . 因为a,b,c(0,1), 所以1-a0,1-b0,1-c0. 所以 同理,三式相加得 即 ,矛盾. 所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .,【延伸探究】 1.已知实数a,b,c0,1,则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的 最大值为() A.B.1C.D.2,【解析】选B.用构造函

9、数法,选取a为变量, 令f(a)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)是关于a的一次函数, 令a=1,得f(1)=1-b+b-bc=1-bc1; 令a=0得f(0)=b-bc+c=b+c-bc-1+1 =-(1-b)(1-c)+11,由于一次函数最大值在端点0或1处取得,而f(0),f(1)均小于等于1,所以在0,1上,f(a)1,即a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)1. 则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为1.取得最大值的条件是a,b,c中一个为0,一个为1,另一个可以取0,1内的任意一个数.,2.已知a,b,c(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c

10、)a不能都大于1.,【证明】假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1. 因为a,b,c(0,2), 所以2-a0,2-b0,2-c0. 所以 同理,三式相加得 即33,矛盾. 所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.,【方法技巧】证明时常见的“结论词”与“反设词”,【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax- 4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a- 或 a-1时,至少有一个方程有实数根.,【证明】假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零得,解得- a-1, 与a- 或a-1矛盾,故原命题成立.,【延伸探究】若关于x的

11、方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a +12=0,x2+3x-a+ =0中至少有一个方程有实数根,则a 的取值范围是_.,【解析】因为三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0, x2+3x-a+ =0中至少有一个方程有实数根, 所以假设这三个方程都没有实数根,则三个方程的判别 式都是负数,所以 所以 a4, 所以三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,x2+3x-a + =0中至少有一个方程有实数根,则实数a的取值范 围是a 或a4. 答案:a 或a4,类型三用反证法证明存在性、唯一性问题 【典例】1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个

12、交点”时的反设应分为_和_. 2.证明方程2x=3有且只有一个根.,【解题探究】1.典例1中两直线的交点个数有几种情形? 提示:0、1、无数个.,2.典例2中“有且只有”的含义是什么? 提示:“有”表示存在,“只有”表示唯一.,【解析】1.两条直线的交点个数包括:没有交点,有且只有一个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为无交点和不只有一个交点. 答案:无交点不只有一个交点,2.因为2x=3,所以x=log23,这说明方程有一个根. 下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根为b1,b2(b1b2). 则 =3, =3,两式相除得 =1. 如果b1-b

13、20,则 1,这与 =1相矛盾; 如果b1-b20,则 1,这与 =1相矛盾;,如果b1-b2=0,则b1=b2,这与b1b2相矛盾. 如果方程2x=3的根多于两个,同样可以推出矛盾. 故2x=3有且只有一个根.,【方法技巧】证明“唯一性”问题的方法 “唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证明往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证明,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.,提醒:证明“有且只有”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.,【变式

14、训练】若函数f(x)在区间a,b上的图象连续,且f(a)0,f(x)在a,b上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点. 【解题指南】先用零点存在性定理证明存在性,再用反证法证明唯一性.,【证明】由于f(x)在a,b上的图象连续,且f(a)0,即f(a)f(b)0, 所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0. 假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n, 即f(n)=0,则nm.,若nm,则f(n)f(m),即00,矛盾; 若nm,则f(n)f(m),即00,矛盾. 因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.,【补偿训练】用反证法证明:过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行.,【证明】由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点A至少有一条直线与直线a平行.假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行,即bb=A,ba.因为ba,由平行公理知bb.这与假设bb=A矛盾,所以假设错误,原命题成立.,自我纠错用反证法证明问题 【典例】已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0.用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原