人教高中数学必修五同课异构课件111正弦定理探究导学课型

1、第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理,1.了解正弦定理的推导过程. 2.理解并掌握正弦定理，能运用正弦定理解决两类解三角形的问题. 3.通过正弦定理的学习，体会“数形结合”和“转化与化归”的数学思想.,1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等，即 _. 2.解三角形 (1)三角形的元素：三角形的三个内角A，B，C和它们的对边_. (2)解三角形：已知三角形的某些元素求_的过程.,正弦,a，b，c,其他元素,1.在ABC中，a=10，A=120，b= ，则B=() A.30B.60C.150D.90 【解析】选A.由正弦定理 得sinB= 又0BA=120

2、.故B=30.,2.在ABC中，A=60，a= ，b=2，那么满足条件的ABC() A.有一个解B.有两个解 C.无解D.不能确定 【解析】选A.因为b=2，a= ，所以ba，而A是锐角.故B是 锐角，因此ABC只有一解.,3.在ABC中，已知B=60，C=45，则 =. 【解析】因为 所以 答案：,一、正弦定理 根据正弦定理 探究以下问题： 探究1：在直角三角形与锐角三角形中很容易 证明正弦定理，那么在钝角三角形中正弦定 理是如何证明的呢？,提示：在钝角ABC中(不妨设A为钝角)，如图所示，过C作CDBA交BA的延长线于点D，根据任意角的三角函数的定义有CD=asinB=bsinA， 于是

3、同理可得 从而,探究2：由正弦定理知 是一个与三角形有关的定值， 你知道这个定值是什么吗？,提示：在ABC中，已知BC=a，AC=b， AB=c，作ABC的外接圆，O为圆心， 连接BO并延长交圆于B，设BB=2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及 同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB=90，C=B，所以sinC=sinB= 所以 =2R.同理，可得 所以 故 是该三角形外接圆直径的长.,【拓展延伸】用向量法证明正弦定理 如图(1)，ABC为锐角三角形时，过A作单位 向量j垂直于 则j与 的夹角为90，j与 的夹角为 -B，j与 的夹角为 +A， 设AB=c，BC=a，AC=b. 因为 所以,

4、即 所以asinB=bsinA，即 同理可得： 即 当ABC为钝角三角形如图(2)或直角三 角形时，利用同样的方法可以证得结论， 请同学们自己证明.,【探究总结】 1.对正弦定理的两点说明 (1)正弦定理 反映了三角形中三条边和对 应角的正弦的关系，它的主要功能是实现三角形中边角关系 的转化. (2)正弦定理分式的结构特点：分式连等形式，各边与其所 对的角的正弦相比.,2.正弦定理的常用变形 (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. (2)sinA= sinB= sinC= (3)abc=sinAsinBsinC. (4),二、正弦定理的应用 探究1：根据正弦定理的形式，可

5、以解决哪几类三角形问题？ 提示：利用正弦定理，可以解决以下两类问题： (1)已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一. (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.此类问题变化较多，在解题时要分清题目所给的条件.,探究2：已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理可能有两解、一解或无解的情况，请根据下表完成填空：,bsinA,ab,absinA,ab,ab,一解,【探究总结】正弦定理的三个应用技巧 (1)求边： 类似地，还可以 写出求a，b，c的其他几个公式. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即 等类似的公式. (3)

6、相同的元素归到等号的一边：,类型一已知两角和一边解三角形 1.在ABC中，A=120，B=30，a=8，则c=. 2.已知在ABC中，c=10，A=45，C=30，求a，b和B. 【解题指南】1.先由三角形内角和定理求出角C，再根据正弦定理求c. 2.先根据三角形的内角和定理求得角B，由正弦定理求得a，b.,【自主解答】1.因为A+B+C=180，所以C=30. 又由正弦定理 得c= 答案： 2.因为c=10，A=45，C=30. 所以B=180-(A+C)=105， 由 得 由 得 =20sin75=,【规律总结】已知两角和一边解三角形的步骤,【变式训练】 若ABC中，a=4，A=45，B=

7、60，则边b的值为() 【解析】选C.由正弦定理得， 故b=,类型二已知两边及其中一边的对角解三角形 1.(2014湖北高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知A= ,a=1，b= 则B=. 2.在ABC中，c= A=45，a=2，求b和B，C.,【解题指南】1.根据正弦定理即可求出角B. 2.根据正弦定理求得sinC，根据大边对大角，比较csinA与a，c的大小关系，确定解的情况.,【自主解答】1.依题意，由正弦定理知 得出sinB= .由于0B，所以B= 或 答案： 或,2.因为 所以sinC= 因为csinAac，所以C=60或120. 当C=60时，B=75， 当

8、C=120时，B=15， 所以b= +1，B=75，C=60或b= -1，B=15，C=120.,【规律总结】已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 (1)由正弦定理求另一边的对角. (2)利用三角形内角和定理求第三个角. (3)再由正弦定理求第三边.,【变式训练】 已知ABC中，a=4，b= A=30，则B等于() A.30B.30或150C.60D.60或120 【解析】选D.因为 所以sinB= 又因为ba，所以BA.所以B=60或120.,类型三判断三角形的形状 1.已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，ABC一定是() A.等腰三角形B.直角三

9、角形 C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形 2.在ABC中，已知bsinB=csinC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断三角形的形状.,【解题指南】1.先利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，然后借助三角公式即可判断. 2.将题设中角之间的关系式转化为边之间的关系，进而判断三角形的形状.,【自主解答】1.选D.由正弦定理得 又因为acosA=bcosB，即 即 所以sinAcosA=sinBcosB， 所以sin2A=sin2B. 所以2A=2B或2A+2B=， 所以A=B或A+B= . 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.,2.设 =2R(R0)， 所以 又因为bsinB=csinC且sin2A=sin2B+sin2C. 所以 且 即b2=c2且a2=b2+c2. 所以ABC是等腰直角三角形.,【规律总结】判断三角形形状的常用方法 判断三角形形状的常用方法是化边为角或化角为边.分以下两步： 第一步，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角或化角为边， 第二步，根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系