人教高中数学选修45课件模块复习课第一课不等式和绝对值不等式共43

1、第一课 不等式和绝对值不等式,【网络体系】,【核心速填】 1.不等式的基本性质 (1)对称性:ab_. (2)传递性:ab,bc_. (3)加(减):ab_. (4)乘(除):ab,c0_;ab,c0_.,ba,ac,a+cb+c,acbc,acbc,(5)乘方:ab0_,nN*,且n2. (6)开方:ab0_,nN*,且n2.,anbn,2.基本不等式 (1)定理1:如果a,bR,那么a2+b2_(当且仅当a=b 时,等号成立). (2)定理2:如果a,b0,那么 _(当且仅当a=b 时,等号成立).,2ab,(3)引理:如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3_(当且 仅当a=b=c时,等

2、号成立). (4)定理3:如果a,b,cR+,那么 _(当且 仅当a=b=c时,等号成立). (5)推论:如果a1,a2anR+,那么 _(当且仅当a1=a2=an时,等号成立).,3abc,3.绝对值三角不等式 (1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的_, |a-b|的几何意义表示数轴上两点间的_. (2)|a+b|_(a,bR,ab0时等号成立). (3)_|a-b|+|b-c|(a,b,cR,(a-b)(b-c)0 时等号成立).,距离,距离,|a|+|b|,|a-c|,(4)|a|-|b|a+b|_(a,bR,左边“=” 成立的条件是ab0,右边“=”成立的条件是ab0). (5)

3、_|a-b|a|+|b|(a,bR,左边“=” 成立的条件是ab0,右边“=”成立的条件是ab0).,|a|+|b|,|a|-|b|,【易错警示】 1.关注不等式性质的条件 (1)要注意不等式的等价性. (2)应用不等式时,要注意不等式成立的条件.,2.基本不等式求最值时的关注点 要注意考虑所给式子是否满足“一正,二定,三相等”的要求. 3.解绝对值不等式的关注点 由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时,要注意转化的等价性,特别是平方时,两边应均为非负数.,类型一不等式的基本性质的应用 【典例1】已知:ab0,cb0,c0,ab0, 所以 0,所以,【方法技巧】不等式的基本性质应用的注意点 (

4、1)注意不等式成立的条件,若弱化或强化了条件都可能得出错误的结论. (2)注意明确各步推理的依据,以防出现解题失误.,【变式训练】1.若a,b是任意实数,且ab,则() A.a2b2B. 0D. 【解析】选D.因为y= 是减函数, 所以ab,2.“x0”是“x+ 2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选C.当x0时, =2,因为x, 同号,所以当x+ 2时,则x0, 0,所以x0.,3.已知:xy0,mn0求证: 【证明】因为mn0,所以 0, 因为xy0, 所以 0, 所以,类型二基本不等式的应用 【典例2】(1)x,y,zR+,

5、x-2y+3z=0,求 的最小值. (2)若a,b,cR+,且a+b+c=1,求证:,【解析】(1)由x-2y+3z=0,得y= , 则 当且仅当x=3z时,等号成立.,(2)因为a,b,cR+且a+b+c=1, 所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a) 所以(a+b)+(b+c)+(c+a) 所以,【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型 (1)和为定值时,积有最大值. (2)积为定值时,和有最小值. 在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.,【变式训练】1.已知xR+,则函数y=x2(1-x)的 最大值为_. 【解析】y=x2(1-x)=xx(1

6、-x) =xx(2-2x),当且仅当x=2-2x,即x= 时取等号. 此时,ymax= . 答案:,2.求函数y= 的最小值. 【解析】y= +2+2tan2 =3+ +2tan23+2 =3+2 . 当且仅当2tan2= 即tan= 时,等号成立.所以ymin=3+2 .,类型三绝对值不等式的解法 【典例3】解关于x的不等式|2x-1|0,又x0,故x不存在. 当0 x 时,原不等式可化为,得 所以0x 当x 时,原不等式可化为 得 x2. 综上,原不等式的解集为x|0x2.,【方法技巧】绝对值不等式的常见类型及解法 (1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)2g(

7、x)2.,(4)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型: 零点分段讨论法; 利用|x-a|的几何意义法; 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象.,【变式训练】1.解不等式|x+1|x-3|. 【解析】方法一:由|x+1|x-3|两边平方得(x+1)2(x-3)2,所以8x8,所以x1,所以原不等式的解集为x|x1.,方法二:当x-1时,有-x-1-x+3,此时x无解; 当-1-x+3,即x1, 所以此时13时,有x+1x-3成立,所以x3. 所以原不等式解集为x|x1.,2.已知函数f(x)=|2x+1|-|x|-2. (1)解不等式f(x)0. (

8、2)若存在实数x,使得f(x)|x|+a,求实数a的取值范围.,【解析】(1)函数f(x)=|2x+1|-|x|-2,当x- 时,由-x-30,可得x-3, 当- x0时,由3x-10,求得x, 当x0时,由x-10,求得x1. 综上可得,不等式的解集为x|x-3或x1.,(2)f(x)|x|+a,即 , 由题意可得,不等式有解, 由于 -|x|表示数轴上的x点到- 点的距离减 去它到原点的距离,故 故有 解得a-3.,类型四绝对值不等式的恒成立问题 【典例4】(2016衡阳高二检测)设函数f(x)= |2x-a|+|2x+1|(a0),g(x)=x+2. (1)当a=1时,求不等式f(x)g

9、(x)的解集. (2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.,【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)g(x), 即|2x-1|+|2x+1|x+2,解求得x无解,解求得0 x 解求得 综上,不等式的解集为,(2)由题意可得|2x-a|+|2x+1|x+2恒成立, 转化为|2x-a|+|2x+1|-x-20恒成立, 令h(x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2=,易得h(x)的最小值为 -1,令 -10,解得a2.,【方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题

10、.,(2)更换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法. (3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.,【变式训练】1.若不等式|x-a|+|x-2|1对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】设y=|x-a|+|x-2|,则ymin=|a-2| 因为不等式|x-a|+|x-2|1对任意x恒成立, 所以|a-2|1,解得a3或a1.,2.(2016南昌高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a. (1)当a=0时,解不等式f(x)g(x). (2)若存在xR,使得f(x)g(x)成立,求实