人教高中数学必修五同课异构课件21数列的概念与简单表示法211精讲优练课型

1、第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 第1课时数列的概念与简单表示法,【知识提炼】 1.数列的概念 (1)数列：按照一定_排列的一列数称为数列. (2)项：数列中的_叫做这个数列的项，第1项 通常也叫做_，排在第n位的数称作这个数列的_ _，记作_.,顺序,每一个数,首项,第,n项,an,(3)表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an.,2.数列的分类,有限,无限,2,大于,2,小于,各项相等,大于,小于,2,3.数列的通项公式 如果数列an的第n项与_n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式.,序号,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)所有

2、自然数能构成数列吗？ 提示：能.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. (2)同一个数在数列中能重复出现？ 提示：能.数列中的数可以重复出现.,2.把五个自然数：排成1，2，3，4，5；排成5，4，3，2，1；排成3，1，4，2，5；排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的个数为() A.1B.2C.3D.4 【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列.,3.已知数列 ，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是() A.(19，3) B.(19，-3) C.( ) D.( ),【解析】选C.由前三项可知，该数列的通项公式可能 为an= .所以 即,4.已知数列的通项公式为an=n2-

3、8n+15，则3() A.不是数列an中的项 B.只是数列an中的第2项 C.只是数列an中的第6项 D.是数列an中的第2项或第6项,【解析】选D.令an=3，即n2-8n+15=3，解得n=2或6，故3是数列an中的第2项或第6项.,5.若数列an的通项公式是an=3-2n，则 =_. 【解析】因为an=3-2n，所以 答案：,【知识探究】 知识点1 数列的概念 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：数列定义中的关键词是什么？ 问题2：数列中an和an是否相同？,【总结提升】对数列概念的三点说明 (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数

4、”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置.,(2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次. (3)an与an是不同概念：an表示数列a1，a2，a3，an，；而an表示数列an中的第n项.,知识点2 数列的通项公式观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：在上面的数列中，你能表示项an与项的序号n之间的关系吗？ 问题2：任何数列都有通项公式吗？,【总结提升】对数列的通项公式的四点说明 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集为定义域的函数表达式，即an=f(n). (2)已知数列的通项公式，依次用1，2

5、，3去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项.,(3)同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如精确到1，0.1，0.01，的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示. (4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如摆动数列：-1，1，-1，1，-1，1，通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成an=,【题型探究】 类型一 数列的概念及分类 【典例】1.下列说法正确的是() A.数列1，2，3，5，7可表示为1，2，3，5，7 B.数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列 C.数列 的第k项是1+

6、D.数列0，2，4，6，8，可记为2n,2.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 (),【解题探究】1.典例1中处理数列的概念应注意哪些问题？ 提示：数列不能用集合表示，数列中的项是有序的，数列中的nN*. 2.典例2中，递增、递减数列的概念是什么？ 提示：在数列an中，若anan+1，则数列an是递减数列.,【解析】1.选C.1，2，3，5，7是一个集合，所以A 错；由于数列的项是有顺序的，所以B错；数列 的第k项是 C正确；而D中数列应表示为 2(n-1). 2.选C.A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C.,【方法技巧】处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列.

7、 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.,(2)数列的单调性. 若满足anan+1，(nN*)则是递减数列；若满足an=an+1，(nN*)则是常数列；若an与an+1(nN*)的大小不确定时，则是摆动数列.,【变式训练】已知数列 ，那么这个数列是 () A.递增数列B.递减数列 C.摆动数列D.常数列,【解析】选A.因为an+1-an= 0,所以an+1an，故该数列是递增数列.,【补偿训练】下列说法正确的是() A.数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列 B.数列2，3，4，4可以记为2，3，4 C.数列1，

8、可以记为 D.数列2n+1的第5项是10,【解析】选C.A.数列是有序的，B.数列与数集是两个不同的概念，D.当n=5时，a5=25+1=11.,类型二 用观察法求数列的通项公式 【典例】1.(2015郑州高二检测)观察以下公式 an= an=(-1)n an= 可以作为数列 ，0， ，0， ，0，通项公式的是 _.,2.写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数. (1) (2)-1，3，-5，7，-9， (3)a，b，a，b，a，b， (4)9，99，999，9 999，,【解题探究】1.典例1中，如何判断一个公式是否可以作为一个数列的通项公式？ 提示：把n依次换为1，2，3，进

9、行验证，看是否与数列中对应的项相同即可.,2.典例2(1)是带分数如何处理？ (2)中一负一正怎样处理？ (3)中数列可看成是哪两个数列对应项的和？ (4)中每一项加1会得到什么结果？再观察有何特点？,提示：(1)把每一项分成整数和分数两部分. (2)一正一负可通过(-1)n来实现转换. (3)可看作是数列a，0，a，0，与数列0，b，0，b，对应项的和. (4)得到：10，100，1 000，可以写成10n的形式.,【解析】1.分别令n=1，2，3，可以看出公式可以作为已知数列的通项公式. 答案：,2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4， ，恰好是序号n；分数部分分别为 ，与序

10、号n的关系是 ，所以这个数列的一个通项公式是an= (2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，是连续的正奇数；考虑(-1)n具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an=(-1)n(2n-1).,(3)数列1，0，1，0，的通项公式为 ，数列 0，1，0，1的通项公式为 ，因此数列a，0， a，0的通项公式为 ，数列0，b，0，b， 的通项公式为 ，所以数列a，b，a，b，a，b， 的通项公式为an=,(4)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an=10n-1.,【方法技巧】根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先

11、统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.,(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.,【变式训练】写出下列数列的一个通项公式： (1) (2) (3) (4)5，55，555，5 555，,【解析】(1)分母依次是2，4，8，即2n，而分子比分母少1，所以通项公式为an= (2)将分母统一为2，分子恰为平方数，所以通项公式为an=,(3)此数列的每一项分为三部分：分子、分母、符号.

12、奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子都是3，分母依次是1，2，3，4，正负号可以用 (-1)n调整.,由于1=2-1，3=2+1，所以数列的通项公式可合写成 an= (4)将数列各项写为 所以数列的通项公式为an= (10n-1).,【补偿训练】数列1， 的一个通项公式为_. 【解析】奇数项为正，偶数项为负，可由(-1)n-1来实现，分子全为1，分母依次为20，21，22，23， 所以an= ，即an= 所以通项公式为an= 答案：an=,类型三 数列通项公式的简单应用 【典例】1.已知数列 则0.96是该数列的() A.第22项B.第24项 C.第26项D.第28项,2.已知数列

13、an的通项公式为an= (1)写出数列的第4项和第6项. (2)试问 是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.,【解题探究】1.典例1中如何判断给出的数值是该数列的项？ 提示：先假定它是数列中的第n项，列方程求n，根据nN*判断.,2.典例2中如何根据数列的通项公式求数列的项数或项？ 提示：已知数列的通项公式，只要将数列中的项或项数代入通项公式，就可以求出项数或项.,【解析】1.选B.因为通项公式为an= ，则有 解得n=24.,2.(1)因为an= ，所以a4= a6= (2)令 则n2+3n-40=0，解得n=5或n=-8，注意到nN*， 故将n=-8舍去，所以 是该数列的第5

14、项.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例2(2)中的“ ”变为“ ”，其他条件不变，结果如何？ 【解析】令 ，则4n2+12n-27=0， 解得n= 或n=- ， 注意到nN*，所以 不是此数列中的项.,2.(改变问法)若典例2条件不变，试判断数列an的增减性. 【解析】an+1-an= = 故an+1an，故数列an为递减数列.,【方法技巧】 1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.,2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数

15、，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.,【变式训练】已知数列an的通项公式是an= 其中nN*. (1)写出a10，an+1和 (2)79 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.,【解析】(1)a10= (2)令 则n2+n-240=0，解得n=15或n=-16. 注意到nN*，故将n=-16舍去， 所以 是这个数列中的项，是第15项.,【补偿训练】已知数列an的通项公式为an=n2-5n+4. (1)求数列an中有多少项是负数. (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值.,【解析】(1)令an=n2-5n+40，解得1n4，因为nN*，所以n=2，3，即数列有两项是负数. (2)an=n2-5n+4= 其对称轴为n= ，所以当n=2或3时，an取得最小值，最小值为-2.,易错案例 数列中的最值问题 【典例】(2015青岛高二检测)已知数列an的通项公式为an=-2n2+21n，则该数列中的数值最大的项是 ( ) A.第5项 B.第6项 C.第4项或第5项 D.第5项或第6项,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：没注意到n=5和n=6时，哪一个距离n= 更近，从而找出最大项.,【自我矫正】选A.an= 因为nN*，5 6，且a5=55，