人教A高中数学选修11同课异构课件321几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式精讲优练课型

1、3.2导数的计算 第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式,【自主预习】 1.几个常用函数的导数,0,1,2x,2.基本初等函数的导数公式,0,axlna,x-1,ex,cosx,-sinx,【即时小测】 1.y= 的导数是() 【解析】选D.,2.下列运算正确的是() A.(x5)=x5ln5 B.(lgx)= C.(5)=54 D.(log2x)=,【解析】选D.(x5)=5x4.故A错. (lgx)= .故B错. (5)=0.故C错. (log2x)= .故D正确.,3.若f(x)=ex,则f(x)在点(0,1)处的切线方程为. 【解析】f(x)=ex,则f(0)=e0=1,

2、则f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=x-0, 即x-y+1=0. 答案:x-y+1=0,【知识探究】 探究点几个常用函数的导数与导数公式 1.若函数f(x)=22,那么f(x)=22=4成立吗? 提示:不成立.因为f(x)=22=4是常数函数,所以f(x) =0.,2.若函数f(x)= ,那么f(x)= 成立吗? 提示:不成立.f(x)= .,【归纳总结】 1.几个常用函数的导数的几何意义和物理意义 (1)常数函数f(x)=c:导数值为0,几何意义为函数图象在任意点处的切线垂直于y轴,斜率为0; 当y=c表示路程关于时间的函数时,y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静

3、止状态.,(2)一次函数y=x:导数值为1,几何意义为函数图象在任意点处的切线的斜率为1, 当y=x表示路程与时间的函数时,则y=1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动;,一般地,一次函数y=kx:导数y=k的几何意义为函数图象在任意点处的切线斜率为k,|k|越大,函数的变化越快.,(3)二次函数f(x)=x2:导数y=2x,几何意义为函数 y=x2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x;当y=x2表示 路程关于时间的函数时,y=2x表示物体作变速运动, 在时刻x的瞬时速度为2x. (4)反比例函数f(x)= :导数y=- ,几何意义表示 函数y= 的图象上点(x,y)处切线的斜率为- .

4、,2.关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”. (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数,是的特例.,(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数,是的特例. 特别提醒:幂函数f(x)=x中的可以由Q*推广到任意实数.,类型一利用导数公式求函数的导数 【典例】1.(2016临沂高二检测)函数y=cos 的导数 是(),2.(2016青岛高二检测)函数f(x)=x2在x=6处的导数为. 3.求下列函数的导数,【解题探究】1.典例1中考查的是哪类函数的导数? 提示:常数函数的导数. 2.典例2中如何求函数在x=6处

5、的导数? 提示:先求导,再代值.,3.典例3中的函数是哪种基本函数?怎样求解? 提示:典例3中的函数是幂函数,需要化成幂的形式后求导数.,【解析】1.选D.因为y=cos 是常数,所以y=0. 2.因为f(x)=2x,所以f(6)=26=12. 答案:12 3.(1)y=(x-4)=-4x-4-1=-4x-5=- . (2)y=,【方法技巧】求基本初等函数的导数 (1)若给出的函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. (2)若给出的函数不符合导数公式,则通过恒等变换对函数进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.,【变式训练】(2016合肥高二检测)下列函数中,导函数是奇

6、函数的是() A.y=sinx B.y=ex C.y=lnx D.y=cosx,【解析】选D.A中y=cosx是偶函数,B中y=ex是非奇 非偶函数,C中y= (x0)是非奇非偶函数,D中y= -sinx是奇函数.,类型二导数公式的综合应用 【典例】已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.,【解题探究】与直线PQ平行的曲线y=x2的切线的斜率怎样求?切点怎样求? 提示:求出直线PQ的斜率即所求切线的斜率;设出切点后求导数,导数值等于斜率.,【解析】因为y=(x2)=2x,设切点为M(x0,y0) 则 =2x0, 又因为PQ的斜率为k=

7、 =1,而切线平行于PQ,所以 k=2x0=1,即x0= .所以切点为M . 所以所求切线方程为y- =x- ,即4x-4y-1=0.,【延伸探究】 1.是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程,若没有,说明理由. 【解析】假设存在与直线PQ垂直的切线, 因为PQ的斜率为k= =1, 所以与PQ垂直的切线斜率k=-1,设切点为(x1,y1),则y =2x1, 令2x1=-1,则x1=- ,y1= , 切线方程为y- =- ,即4x+4y+1=0.,2.若函数改为y=lnx,试求与直线PQ平行的切线方程. 【解析】设切点为(a,b),因为kPQ=1, 则由f(a)= =1,得a=1,故b

8、=ln1=0, 则与直线PQ平行的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.,【方法技巧】 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.,2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤,【补偿训练】函数y=- 在 处的切线方程是() A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4x+4 D.y=2x-4,【解析】选B.y= =x-2. 所以切线方程为y+2=4 , 即y=4x-4.,自我纠错求切点坐标 【典例】过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为 _.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的原因是未能利用条件表示出切点