人教A高中数学必修四课件142正弦函数余弦函数的性质二4

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二),【知识提炼】 正弦函数、余弦函数的图象和性质,-1，1,-1，1,2k-，2k,2k，2k+,2k,2k+,【即时小测】 1.判断 (1)存在角，使得cos=1.1.() (2)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.() (3)在区间0，2上，函数y=cosx仅当x=0时取得最大值1.(),【解析】(1)错误.因为-1cos1，所以不存在角使cos=1.1. (2)错误.正弦函数、余弦函数在定义域内都不具有单调性. (3)错误.在区间0，2上，函数y=cosx当x=0与x=2时取得最大值1. 答案：(1)(2)(3),2.在下列区间中，使函数y=

2、sinx为增函数的是() A.0， B. C. D.，2 【解析】选C.由正弦曲线知y=sinx在 上是增函数.,3.函数y=3-2cosx的最大值为_，此时x=_. 【解析】因为-1cosx1， 所以当cosx=-1时ymax=3-2(-1)=5. 此时x=2k+，kZ. 答案：52k+，kZ,4.函数 的值域为_. 【解析】画出函数 的图象，如图： 由图象可知，当x= 时ymax=1，当x= 时，ymin= 所以函数 的值域为 答案：,5.函数y=cosx在区间-，a上为增函数，则a的范围是_. 【解析】y=cosx在区间-，0上为增函数，故由题意知-，a-，0，所以-a0. 答案：(-，

3、0,【知识探究】 知识点1 正弦函数、余弦函数的单调性 观察图形，回答下列问题： 问题1：正弦函数、余弦函数的单调递增(减)区间是唯一的吗？ 问题2：正弦函数、余弦函数单调区间之间有什么关系？,【总结提升】 对正弦函数、余弦函数单调性的四点说明 (1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间. (2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k，(kZ)后，仍是单调区间，且单调性相同.,(3)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步. (4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时

4、，要注意使用复合函数的判断方法来判断.,知识点2 正弦函数、余弦函数的最值 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：对于xR，sinx和cosx的取值是否也是任意实数？ 问题2：函数y=sinx，xD的最大值必为1吗？,【总结提升】 对正弦函数、余弦函数最值的三点说明 (1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|1，|cosx|1. (2)函数y=sinx，xD，(y=cosx，xD)的最值不一定是1或-1，要依赖函数定义域D来决定. (3)形如y=Asin(x+)(A0，0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令x+=Z，将函数转化为y=AsinZ的形式求最值.,【题型探究】 类型一 正

5、弦函数、余弦函数的单调性 【典例】(2015淮安高一检测)已知函数f(x)= sin( +2x)+1，求函数f(x)的单调递增区间. 【解题探究】本例中函数与以下三个函数有什么关系？ u= +2x；t=sinu；y= t+1 提示：代入，代入可得本题中函数.,【解析】令= +2x，函数y=sin 的单调递增区间为- +2k， +2k，kZ， 由 得 所以函数f(x)= 的单调递增区间是- +k， +k，kZ.,【延伸探究】 1.(变换条件)将本例函数改为“f(x)= ”，结果又如何？,【解析】f(x)= 令t=2x- ，函数y=cos t的单调递增区间为-+2k，2k，kZ. 由-+2k2x-

6、 2k， 得 所以函数f(x)= 的单调递增区间为 +k， +k，kZ.,2.(增加条件)本例函数后增加x0，其他条件不变，结果又如何？ 【解析】设A=0， 画数轴可知 AB= 所以函数f(x)= (x0，)的单调递增区间为 0， 和 ，.,3.(变换条件、改变问法)本例函数改为“y=log3sin(2x+ )”，求其单调递减区间. 【解析】为使函数解析式有意义，须有sin(2x+ )0. 因为函数y=log3x在(0，+)为增函数， 所以原函数的单调递减区间就是y=sin(2x+ )的递减区间，且要满足sin(2x+ )0. 由 +2k2x+ +2k，kZ，,得 +kx +k，kZ， 所以函

7、数y=log3sin(2x+ )的单调递减区间为 +k， +k)，kZ.,【方法技巧】 1.单调区间的求法 求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的函数的单调区间，要先把化为正数， (1)当A0时，把x+整体放入y=sin x或y=cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；放入y=sin x或y=cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间.,(2)当A0时，把x+整体放入y=sin x或y=cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的减区间；放入y=sin x或y=cos x的单调减区间内，可求得函数的增区间. 2.复合函数单调区间的求法 (1)先求定义域. (2

8、)分析内层、外层函数的单调性 (3)根据“同增异减”的法则写出单调区间.,【补偿训练】求函数y=3cos(2x+ )的单调递减区间. 【解析】令t=2x+ ，函数y=cos t的单调递减区间为2k，2k+，kZ. 由2k2x+ 2k+得 k- xk+ ，kZ. 所以函数y=3cos(2x+ )的单调递减区间为k- ，k+ ，kZ.,【延伸探究】 1.(变换条件)本例函数改为“y=-3cos(2x+ )”，结果如何？ 【解析】要求函数y=-3cos(2x+ )的单调递减区间，只要求函数y=cos(2x+ )的单调递增区间. 由2k-2x+ 2k，得 k- xk- ，kZ. 所以函数y=-3cos

9、(2x+ )的单调递减区间为k- ，k- ，kZ.,2.(增加条件、改变问法)求函数y= ，x0，的单调递增区间. 【解析】因为函数y= 在R上为减函数. 所以要求函数y= ，x0，的单调递增区间， 只要求y=cos(2x+ )，x0，的单调递减区间， 由2k2x+ 2k+， 得k- xk+ ，kZ.,设A=0， 则AB= 所以函数y= ，x0，的单调递增区间是0， 和 ，.,类型二 利用正弦函数、余弦函数单调性比较大小 【典例】1.已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是() A.sincos 2.(2015天津高一检测)比较大小： _ .(填“”或“”),【解题探究】1.典例1中，

10、由，为锐角三角形的两个内角，可知+与 有什么关系？ 提示：+ . 2典例2中为比较两个数的大小，首先要将这两个数变为什么形式？用什么公式变形？ 提示：用诱导公式变形为都是正弦或都是余弦的形式.,【解析】1.选B. ，为锐角三角形的两个内角，+ ， -，(0， ) ， -(0， ) ， 所以cos ,【方法技巧】比较两个三角函数值的大小的步骤 (1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数. (2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间. (3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论,【变式训练】比较大小：cos(-508)_cos(-144).(填“”“cos 36，所以-cos 32-

11、cos 36， 即cos(-508)cos(-144). 答案：,【补偿训练】用“”“”或“=”填空： 【解析】(1)因为y=sin x在0， 上是增函数， 所以,(2) 因为y=sin x在0， 上是增函数， 所以 即 (3)由诱导公式可得， 答案：(1) (2) (3)=,类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题 【典例】1.(2015延吉高一检测)函数y=cos2x+3cos x+2的最小值 为( ) A.2 B.0 C.1 D.6 2.(2015宿迁高一检测)已知函数y=a-bcos(2x+ )(b0)的最大值为 ，最小值为 (1)求a，b的值.(2)求函数g(x)=-4asin(bx-

12、)的最小值并求出对应x的集合.,【解题探究】1.典例1中的函数是由哪两个函数复合而成的？ 提示：由t=cos x和y=t2+3t+2复合而成的. 2.典例2中，cos(2x+ )的最大值、最小值与y=a-bcos(2x+ )的最 大值、最小值有什么关系？ 提示：由于-b0，当cos(2x+ )取得最大(小)值时，y=a-bcos(2x+ ) 取得最小(大)值.,【解析】1.选B.令cos x=t，则t-1，1， y=t2+3t+2，对称轴为直线 所以y=t2+3t+2在-1，1上为增函数， 所以当t=-1时，ymin=0. 2.(1)cos(2x+ )-1，1， 因为b0， 所以-b0， 所以

13、a= ，b=1.,(2)由(1)知：g(x)=-2sin(x- )， 因为sin(x- )-1，1， 所以g(x)-2，2，所以g(x)的最小值为-2， 对应x的集合为x|x=2k+ ，kZ.,【延伸探究】将本例1中的函数改为f(x)=-cos2x-2asin x，(x0，aR)，求其最小值. 【解析】f(x)=-(1-sin2x)-2asin x =sin2x-2asin x-1 =(sin x-a)2-a2-1 由x0，知sin x0，1. 若a1，则当sin x=1时，f(x)min=1-2a-1=-2a； 若0a1，则当sin x=a时，f(x)min=-a2-1； 若a0，则当sin

14、 x=0时，f(x)min=-1.,【方法技巧】求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k，其最大值为|A|+k，最小值为-|A|+k(其中A，k，为常数，A0，0). (2)可化为y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C(A0)，最大、最小值可利用二次函数在区间-1，1上的最大值、最小值的求法来求.(换元法),【变式训练】函数y=sin x在区间0，t上至少取得2个最大值，则正整数t的最小值是( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】选C.因为函数y=sin x的最小正周期为 ，所以 要使函数y

15、=sin x在区间0，t上至少取得2个最大值，则 t =7.5，故正整数t的最小值是8.,【补偿训练】已知函数f(x)= 的定义域是0， ， 值域是-5，1，求a，b的值. 【解析】因为0 x ，所以 所以 当a0时， 解得 当a0时， 解得 因此a=2，b=-5或a=-2，b=1.,规范解答 y=Asin(x+)+b型函数的最大(小)值问题 【典例】(12分)(2015北京高一检测)函数f(x)=2sin(2x- )的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值. (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,【审题指导】(1)要求f(x)的最小正周期可直接利用公式

16、： 要求x0，y0，关键是确定函数f(x)何时取得最大值及最大值是多少. (2)要求f(x)在区间 上的最大(小)值，先要求出2x- 的取值范围，再结合正弦函数的图象，求f(x)的最大(小)值.,【规范解答】(1)f(x)的最小正周期T= =，2分 当2x- =2k+ ，kZ时，sin(2x- )=1. f(x)取得最大值2. 此时x=k+ ，kZ. 4分 结合图象可知， 6分,(2)由x 得2x- - ，0，7分 所以当 sin(2x- )=-1， f(x)取得最小值-2.9分 当2x- =0，即x= 时， sin(2x- )=0，f(x)取得最大值0.11分 综上可知，f(x)在区间 上的最大值为0，最小值为-2.12分,【题后悟道】 1.