人教A高中数学高三一轮第二章第8课时函数与方程共63

1、,第二章 函数概念与基本初等函数,2.8 函数与方程,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 函数yf(x)的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间 内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.,横坐标,x轴,

2、零点,(a，b),答案,2.二分法 对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,f(a)f(b)0,一分为二,零点,答案,3.二次函数yax2bxc (a0)的图像与零点的关系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,答案,0,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.() (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0. () (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似

3、值.() (4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.() (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.(),答案,1.(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3,f(x)在(1,0)内有零点， 又f(x)为增函数， 函数f(x)有且只有一个零点.,B,解析答案,1,2,3,4,5,2.若f(x)是奇函数，且x0是yf(x)ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点() A.yf(x)ex1 B.yf(x)ex1 C.yf(x)ex1 D.yf(x)ex1 解析可得f(x0)

4、， 则 f(x0)1， 即 f(x0)1， 则x0一定是yexf(x)1的零点.,C,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,因此f(1)f(2)0， 故由零点存在性定理知函数f(x)在区间(1,2)内有零点. 故选B.,B,解析答案,1,2,3,4,5,解析当x2时，g(x)x1，f(x)(x2)2； 当0 x2时，g(x)3x，f(x)2x； 当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，,当0 x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解； 当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，,所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.,答案A,A.f(x1

5、)0，f(x2)0 C.f(x1)0，f(x2)0,所以当x1(，x0)，x2(x0,0)时，有f(x1)0，f(x2)0，选C.,C,解析答案,返回,1,2,3,4,5,命题点1函数零点所在的区间,x0(2,3)，故选C.,C,函数零点的确定,题型一,解析答案,命题点2函数零点个数的判断,所以在(，0上有一个零点.,又因为f(2)2ln 20， 所以f(x)在(0，)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.,2,解析答案,(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是() A.多于4 B.4 C.3

6、D.2 解析由题意知，f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图像，如图： 观察图像可以发现它们有4个交点， 即函数yf(x)log3|x|有4个零点.,B,解析答案,命题点3求函数的零点 例3已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为() A.1,3 B.3，1,1,3,解析答案,思维升华,解析当x0时，f(x)x23x， 令g(x)x23xx30，得x13，x21. 当x0，f(x)(x)23(x)， f(x)x23x，f(x)x23x. 令g(x)x23xx30，,答案D,思维升华,(1

7、)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图像的交点个数.,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).,C,跟踪训练1,解析答案,(2)函数f(x) 的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3,解析答案,所以零点只有一个，故选B.,所以f(0)f(1)0， 故函数f(x)在(0,1)至少存在一个零点， 又f(x)显然为增函数， 所以f(x)零点个数为1. 答案B,例4若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.,函数零点的应用,题型二,解析答案,思维升华,

8、解方法一(换元法) 设t2x (t0)，则原方程可变为t2ata10，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根. 令f(t)t2ata1. 若方程(*)有两个正实根t1，t2，,解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)， 则f(0)a10，解得a1； 若方程(*)有一个正实根和一个零根，,方法二(分离变量法),思维升华,对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数可化为函数yf(x)的图像和直线ya交点的个数.,(1)函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的 取值范围是() A.(1

9、,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2),则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0. 所以0a3.,C,跟踪训练2,解析答案,解析画出函数f(x)的图像如图所示， 观察图像可知， 若方程f(x)a0有三个不同的实数根， 则函数yf(x)的图像与直线ya有3个不同的交点， 此时需满足0a1，故选D.,D,解析答案,例5已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围. 解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0， x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系，得(

10、a2)(a21)10， 即a2a20，2a1. 方法二函数图像大致如图，则有f(1)0， 即1(a21)a20，2a1. 故实数a的取值范围是(2,1).,二次函数的零点问题,题型三,解析答案,思维升华,解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图像列不等式组.,解析答案,返回,跟踪训练3,若关于x的方程x2ax40在区间2,4上有实数根， 则实数a的取值范围是() A.(3，) B.3,0 C.(0，) D.0,3 解析如果方程有实数根，注意到两个根之积为40， 可知两根必定一正一负，因此在2

11、,4上有且只有一个实数根， 设f(x)x2ax4，则必有f(2)f(4)0， 所以2a(124a)0， 即a3,0.故选B.,B,典例已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 016xlog2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为_. 易错分析得出当x0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x0时和x0时的情况.,易错警示系列,3.忽视定义域导致零点个数错误,解析答案,温馨提醒,易错分析,返回,解析当x0时，由f(x)2 016xlog2 016x0得2 016xlog2 016x . 作出函数y2 016x与函数 的图像， 可知它们只有一个交点，所以

12、当x0时函数只有一个零点. 由于函数为奇函数，所以当x0时，也有一个零点. 又当x0时y0，所以共有三个零点. 答案3,温馨提醒,返回,(1)讨论x0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定. (2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视.,1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理； (2)数形结合：函数yf(x)g(x)的零点，就是函数yf(x)和yg(x)图像交点的横坐标. (3)解方程. 2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图像列不等式(组). 3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.,

13、1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像. 2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(1,2)与(2,3),15,所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点.,B,解析答案,2.已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则() A.abc B.acb C.bac D.cab,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

14、11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,且f(x)为R上的递增函数. 故f(x)2xx的零点a(1,0). g(2)0，g(x)的零点b2；,且h(x)为(0，)上的增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,方法二由f(x)0得2xx； 由h(x)0得log2xx作出函数y2x， ylog2x和yx的图像(如图). 由图像易知a0,0c1，而b2， 故acb. 答案B,解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；,又因为x1，所以此时方程无解. 综上函数f(x)的零点只有0

15、，故选D.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 解析(数形结合法) a0，a211. 而y|x22x|的图像如图， y|x22x|的图像与ya21的图像总有两个交点.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,当x0时，f(x)exa， 此时函数f(x)exa在(，0

16、上有且仅有一个零点， 等价转化为方程exa在(，0上有且仅有一个实根， 而函数yex在(，0上的值域为(0,1， 所以0a1，解得1a0. 故选D. 答案D,6.已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_. 解析ax2x在(0,1)上有解，,函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)， 0a2，2a0.,(2,0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_. 解析f(x)x2axb的两个零点是2,3. 2,3是方程x2axb0的两根，,f

17、(x)x2x6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,不等式af(2x)0， 即(4x22x6)02x2x30，,解析答案,解析画出函数f(x)的图像，如图所示. 要使函数g(x)f(x)k有两个不同的零点， 只需yf(x)与yk的图像有两个不同的交点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)作出函数f(x)的图像； 解如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

18、,11,12,13,14,15,解析答案,(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围. 解由函数f(x)的图像可知， 当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根.,10.关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解方法一设f(x)x2(m1)x1，x0,2， 若f(x)0在区间0,2上有一解， f(0)10，则应有f(2)0， 又f(2)22(m1)21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由可知m的取值范围是(，1.,解析答案,方法二显然x0不是方程x2(m1)x10的解，,在1,2上单调递增，,1m2，m1， 故m的取值范围是(，1.,1,