人教A高中数学必修四课件15函数y=Asinωxφ的图象二2

1、1.5 函数y=Asin(x+)的图象(二),1.函数y=Asin(x+),A0,0中参数的物理意义,A,x+,2.函数y=Asin(x+),A0,0的有关性质,R,-A,A,奇,偶,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数 xR的值域为 () (2)函数 的初相为 () (3)函数 xR的一个对称中心为 (),【解析】(1)正确.根据函数y=Asin(x+)的性质可知此函数 的值域为 (2)错误.函数 的初相为 (3)正确.当x= 时, 答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y=Asin(x+)(其中A0,0)的最大值为5,则A=. (2)函

2、数 的周期为. (3)若函数 的周期为 ,则=. (4)函数 在区间(-,)内对称轴有条.,【解析】(1)根据函数y=Asin(x+)的性质可知,此函数的最 大值为5,所以A=5. 答案:5 (2)函数的周期为T= =6. 答案:6 (3)由于函数 的周期为 ,故 解得=4. 答案:4,(4)由 kZ,得 (kZ). 则当k=-3时,x= k=-2时,x= k=-1时,x= k=0时,x= k=1时,x= k=2时,x= 共有6条对称轴. 答案:6,【要点探究】 知 识 点 函数y=Asin(x+)(A0，0)中参数的物理意义 对振幅、周期、频率及相位的说明 (1)A：它表示做简谐运动的物体离

3、开平衡位置的最大距离，称 为振幅. (2)T： 它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的 时间，称为周期.,(3)f： 它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复 运动的次数，称为频率. (4)x+：称为相位；当x=0时的相位称为初相.,【知识拓展】简记图象变换步骤 (1)由y=sin x到y=sin(x+)的图象的变换称为相位变换. (2)由y=sin x到y=sinx的图象的变换称为周期变换. (3)由y=sin x到y=Asin x的图象的变换称为振幅变换. 因此函数y=sin x到y=Asin(x+)的图象的变换途径一般为: 相位变换周期变换振幅变换 周期变换相位变换振幅变换.,【微思考

4、】 (1)对于函数y=Asin(x+)中的初相是否必须大于零?函数 的初相为 对吗? 提示:初相可正、可负,也可为0,根据初相的定义,初相为 是正确的. (2)函数y=Asin(x+)的周期T与其频率f有何关系? 提示:两者之间存在互为倒数的关系,即,【即时练】 1.已知简谐运动 的图象经过点(0,1), 则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为() A.T=6,= B.T=6,= C.T=6,= D.T=6,= 2.指出函数 的振幅、频率和初相.,【解析】1.选A.将(0,1)点代入f(x)可得sin = ,因为| ,所以= ，T= =6. 2.分析函数解析式可知A= =2，= 依据各量的物理

5、 意义可知函数的振幅是 频率是 初相是,【题型示范】 类型一 求三角函数的解析式 【典例1】 (1)一正弦曲线的一个最高点为 从相邻的最低点到这个 最高点的图象交x轴于点 最低点的纵坐标为-3,则这一 正弦曲线的解析式为_.,(2)函数f(x)=Asin(x+)中A0，0，| ，且图象 如图： 求其解析式.,【解题探究】1.题(1)中由点 与点 的横坐标的关 系能确定出哪个量？ 2.题(2)中函数的周期应如何确定？,【探究提示】1.由 此为四分之一个周期，可以确 定出周期T，即 2.由图象可知， 确定出函数的周期.,【自主解答】(1)由题知A=3,由 求得=, 再利用当x= 时,x+= ,求出

6、= .故函数解析式为 答案：,(2)方法一：由图象知，振幅A=3， 所以= 2，又由点 根据五点作图原理(可判其为“五点对应法” 中的第一点) 得= ， 所以f(x)=,方法二：由图象知，振幅A=3， 所以=2. 又图象过点 有 所以 又 ，所以k=0，= ，所以f(x)= 方法三：由图象知，振幅A=3， 所以=2，且 f(x)=Asin(x+)是由y=3sin 2x向左平移 个单位而得到 的，解析式为f(x)=,【方法技巧】确定函数y=Asin(x+)解析式的策略与步骤 若设所求解析式为y=Asin(x+),则在观察函数图象的基础 上,可按以下规律来确定A，. (1)由函数图象上的最大值、最

7、小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T,由 确定.,(3)确定函数y=Asin(x+)的初相的值的两种方法 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A,已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上),五点对应法：确定值时,往往以寻找“五点法”中的第一 个零点 作为突破口.“五点”的x+的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=0; “第二点”(即图象的“峰点”)为x+= ； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x+=； “第四点”(即图象的“谷点”)为x+= ； “第五点”为x+=2.,【变式训练】(2014通化高一检测)

8、函数f(x)=Asin(x+) 中A0，0，| ，且函数的最大值为2，其相邻的最高 点与最低点横坐标之差为3，又图象过点 求函数解 析式. 【解题指南】由最大值可确定A，根据其相邻的最高点与最低 点横坐标之差为3可确定半个周期，由此求得，将点 代入函数解析式中结合 ，求得值.,【解析】由题意，得A=2， =3，所以= 又因为函数 过点 可得sin = 又| ， 所以= ，所以函数解析式为f(x)= 【误区警示】解答本题易出现周期T=3的错误.,【补偿训练】函数y=Asin(x+)+b(A0,0,| )的 图象如图所示,求函数的解析式.,【解析】由图象最高点与最低点知， 所以T=， 又因为T 所

9、以2， 所以,将点 代入得， 所以 所以 所以2k ，又| ，所以k0， . 所以函数解析式为y,类型二 函数y=Asin(x+)性质的应用 【典例2】 (1)函数f(x)= sin(x+)(0)的图象上相邻两条对称 轴的距离是2，则的值是_.,(2)(2014渭南高一检测)已知函数f(x)= 求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间. 求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心. 求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合.,【解题探究】1.题(1)中两条相邻对称轴之间的距离与该函数的周期有何关系？ 2.题(2)中解决此类问题的关键点在哪？,【探究提示】1.两条相邻对称轴之间的距离应等于该函

10、数的半个周期. 2.解决此类问题的关键在于灵活运用y=Asin(x+)的图象、性质，注重数形结合的思想在学习中的渗透，切实把三角函数作为一种函数去认识和领会.,【自主解答】(1)f(x)= sin(x+)(0)的图象上相邻 两条对称轴的距离是2，所以周期T=4，= . 答案：,(2)函数f(x)的振幅为 ，最小正周期T= =， 由2k 2x+ 2k+ (kZ)得k xk+ (kZ)，f(x)的单调增区间为 令2x+ =k+ (kZ)，则x= (kZ)，所以对称轴 方程为x= (kZ)；令2x+ =k(kZ)，则x= (kZ)，所以对称中心为 (kZ).,当 即2x+ = +2k(kZ)，所以x

11、= +k(kZ)时，f(x)的最小值为 此时x的取值集合是,【延伸探究】本例(2)中，若增加条件 又如何求 f(x)的最大值呢？并求当取得最大值时,x的取值. 【解析】 则 所以当 时， f(x)的最大值为 此时x的取值为,【方法技巧】函数y=Asin(x+)性质的应用 (1)应用范围：主要围绕着函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查. (2)解决方法：有关函数y=Asin(x+)的性质的运用问题，充分利用正弦曲线的基本性质，要特别注意整体代换的思想的运用.,【变式训练】(2014遵义高一检测)设函数f(x)=Asin(x+ )(A0,0,| )的图象关于直线x= 对称，

12、它的周 期是，则( ) A.f(x)的图象过点 B.f(x)在 上是减函数 C.f(x)的一个对称中心是 D.f(x)的最大值是A,【解题指南】由周期是可确定；又图象关于直线x= 对 称，可求得，然后判断. 【解析】选C.周期是，则=2，图象关于直线x= 对称， 2 += +k,kZ,即=k- 由| 得 = ，所以f(x)= 过点 又x= 时，f(x)= =0，所以f(x)的一个对称中 心是,【补偿训练】若函数 (0)的一条对称轴 方程为x 求函数ysin(2x)(0 x)的单调增区 间 【解题指南】把 看作一个整体，根据余弦曲线与对称轴 方程求得值，把值代入y=sin(2x-)，同理借助正弦

13、曲线 写出单调增区间.,【解析】因为 的对称轴为x 所以 kZ，所以 又0，所以 ， 由 kZ， 得 因为0 x，所以0 x 或 x. 故所求单调增区间为,【规范解答】函数y=Asin(x+)解析式的求法 【典例】(12分)(2014茂名高一检测) 已知函数y=Asin(x+)(A0,0,0 2)在一个周期内的函数图象如图所 示,求此函数的解析式.,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：在处由图错误地认为T等于 ，从而错解值. 失分点2：忽视处关于参数的等式，而想当然认为 + =0，在考试中最多得6分. 失分点3：若忽视处的分类讨论，则解答不规范，在考试中 最多得8分.,【悟题】提措施，导方向 1.常用函数的性质的应用 对一些常用的性质要记准、记牢,学会适时应用，如本题中确定A的值以及求值的方法. 2.分类讨论意识 在解含有参数的问题时,切记分类讨论思想的应用,如本例中对k的取值的讨论.,3.数形结合思想 在解决函数解析式问题时,常结合图象得到一些重要信息,如本 例中图象过 点是求的关键.,【类题试解】(2014南阳高一检测)设y=As