高中数学人教A选修22课件133函数的最大小值与导数

1、1.3.3函数的最大(小)值与导数,1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系. 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).,1.如何理解函数的极值和最值? 剖析:(1)极值反映的是函数在某一点附近的局部性质:如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值;最值反映的是函数在整个定义域内的性质:如果x0是函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在定义域内的所有函数值. (2)函数在一个闭区间上若存在最值,则最大(小)值只能有一个;而极大(小)值可能不止一个,也可能没

2、有.如常数函数没有极值. (3)函数的极值点不可能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点. (4)在区间I上,函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若函数f(x)在区间I上只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.,2.函数y=f(x)在区间(a,b)内的最值情况如何? 剖析:在区间(a,b)内,当函数f(x)的图象是一条连续的曲线时,f(x)在(a,b)内不一定有最值.常见的有以下几种情况: 如图,图中的函数y=f(x)在(a,b)内有最大值而无最小值; 图中的函数y=f(x)在(a,b)内有最小值而无最大值; 图中的函数y=f(x)在(a

3、,b)内既无最大值也无最小值; 图中的函数y=f(x)在(a,b)内既有最大值也有最小值.,题型一,题型二,题型三,题型四,求函数的最值 【例1】 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x-1,3; 分析:求f(x)令f(x)=0得到相应的x的值划分区间列表观察在相应区间内的单调性确定极值点求极值与端点值并比较大小确定最值,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求解函数在固定区间上的最值,在熟练掌握求解步骤的基础上,还需注意以下几点: (1)对函数进行准确求导; (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值; (3

4、)在比较极值与端点函数值的大小时,有时需要利用作差或作商,甚至需要分类讨论.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,由函数的最值求参数的值 【例2】 已知f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在-1,2上取最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 分析:解答本题可先求f(x),然后确定f(x)在-1,2上的单调性及最值,最后建立方程组求a,b.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:存在. 显然a0,f(x)=3ax2-12ax. 令f(x)=0,得x=0或x=4(舍去). 当a0,且x变化时,f(x),f(x)的

5、变化情况如下表:,所以当x=0时,f(x)取极大值,f(0)=b. 又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,由于a0, 所以f(0)f(-1)f(2), 所以当x=0时,f(x)取最大值,即b=3; 当x=2时,f(x)取最小值, 即f(2)=3-16a=-29,所以a=2.,题型一,题型二,题型三,题型四,当a0,且x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以当x=0时,f(x)取极小值,f(0)=b. 又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,由于af(-1)f(0). 所以当x=0时,f(x)取最小值,即b=-29; 当x=2时,f(x)取最大值, 即-16a-29=3

6、,所以a=-2. 综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似,当给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比较,并且要注意极值点是否在区间内. 2.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可考虑用导数的方法求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x0,不等式f(x)-2c2恒成立,求c的取值范围. 解:由题意知f(1)=-3-c. 所以b-c=-3-c,即b=-3.

7、=x3(4aln x+a+4b). 由题意知f(1)=0,所以a+4b=0,解得a=12. 所以f(x)=48x3ln x(x0). 令f(x)=0,解得x=1. 当01时,f(x)0,此时f(x)为增函数. 所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,并且此极小值也是最小值.,题型一,题型二,题型三,题型四,所以要使f(x)-2c2(x0)恒成立, 只需-3-c-2c2即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,与函数最值有关的综合题,分析: (1)利用导数求h(x)的最小值,注意对参数a进行分类讨论;(2)转化为求(a)的最大值即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在本例第(2)小题中,将证明不等式成立问题转化为研究一个函数的最大值问题,可以使问题变得容易.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:错解中出错的