阅读材料杨辉三角与两数和的乘方.ppt

1、杨辉三角和两数和的乘方 _综合实践活动课,绍兴市袍江中学 吴爱华,（a+b）2 = 并写出以下两个式子的结果： （a+b）3 = （a+b）4 = ,请同学们观察，并运用面积之间的关系，验证完全平方式.,复习旧知，感受新知,（a+b)1= （a+b)2= （a+b)3= （a+b)4=,1a+1b,1a2+2ab+1b2,1a3+3a2b+3ab2+1b3,1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1,与展开式中各系数的关系,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6

2、 1 ,我国南宋时期杰出的数学家杨辉在其著作详解九章算法中已有记载，并说明此图源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，因此，我们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角.,什么是杨辉三角 ？,杨辉三角,介绍杨辉古代数学家的杰出代表,杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这

3、个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9

4、1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 ,1.三角形的两侧的边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字之和 2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等 3.每一行的第二个数就是这行的行数 4.第n行的数字有n+1个 5.第n行数字之和为2n .,观察图像，寻找规律,杨辉三角的实际应用,1.若今天是星期一，再过82天后是星期几？怎么算？,2.若今天是星期一，再过8

5、10天后是星期几？怎么算？,3.“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？,A,图1,B,我们们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系?,A,B,1,1,1,1,1,2,3,3,6,A,B,问：纵横各有五条路呢？,结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案6一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数,杨辉三角的实际应用,杨辉三角的实际应用,纵横各有五条路时,A,B,由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,1，1，2，3，5，8，13，21，34，,-斐波那契数列,兔子繁殖问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,杨辉三角的实际应用,如图,将1,2,3,4这四个数字分别填入第一行的圆圈中(不论顺序,每个圆圈一个数),以后每个圆圈里的数,等于它上一行肩上的两个数的和,则最下面一个圆圈里的数的