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1、第十四章勾股定理,14.1勾股定理史话,新安县外国语初级中学 党青霞,勾股定理，是几何学中一颗灿烂而夺目的明珠，是第一个把几何与代数联系起来的定理，被称为几何学的基石，亦是大家争相研究证明的的宠儿，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明。它被誉为改变世界面貌的十大数学公式之一,学习目标： 1、理解并掌握勾股定理的内容及其证明方法. 2、能运用勾股定理解决实际问题。 3、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维 4、通过对勾股定理历史的了解，增强学生爱国情操，激发学生学习兴趣。,两千多年前，古希腊有个哥拉,斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此,在国外人们通常称勾股定

2、理为毕达哥拉斯,年希腊曾经发行了一枚纪念票。,定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955,勾 股 世 界,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前,两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。,我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等

3、于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。,相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系,探究一,1.你能找出图中正方形A,B,C面积之间的关系吗？,数学家毕达哥拉斯的故事,2.图中正方形A,B,C三边所围等腰直角三角形的三边a,b,c有什么特殊关系？,A,B,C,a,b,c,4,4,4,4,8,8,A的面积+ B的面积= C的面积,图甲,C,图乙,2.观察图乙，小方格 的边长为1. 正方形A、B、C的 面积各为多少？,9,16,25,正方形A、B、C的 面积？,4,4

4、,8,SA+SB=SC,3.猜想a、b、c 之间的关系？,a2 +b2 =c2,即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。,a,b,c,你能证明这个命题是真命题吗？,如图：已知四个全等的直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c。利用这些直角三角形拼成一个大的正方形，来说明：,(合作探究),探究二,c,c,c,(a-b)2,“赵爽弦图”表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国数学的骄傲。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的

5、，是三国时期吴国的数学家赵爽。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会会徽。,(a+b)2,=,a2 + b2 + 2ab = c2+2ab,可得: a2 + b2 = c2,在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男

6、孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。,“总统” 证法,(a + b)(b + a)=c2 + 2(ab) a2 + ab + b2=c2 + ab a2 + b2=c2,a,a,b,b,c,c,伽菲尔德经过反复的思考与

7、演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。,定理：,经过证明被确认是真命题的命题叫做定理。,勾,股,弦,结论变形,c2 = a2 + b2,例、求出下列直角三角形中未知边的长度,解：由勾股定理得：,x2 =36+64,x2 =100,x2=62+82, x=10, x2+52=132, x2=132-52,x2 =169-25,x2 =144, x=12, x 0, x 0,1.在

8、RtABC中，=90. 已知：c=5，b=3，求a；,练习：,(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.,方法小结,变式.在Rt中，两边长分别为3，5则第三边的长是多少？,实际应用,1.如图,为了测得湖两岸点A和点C间的距离,一个观测者在点B设立了一根标杆,使ACB=90.测得AB=200m,BC=160m,根据测量结果求点A,C间的距离.,A,C,B,120m,200m,160m,谈收获,1.本节课我们学到了什么？ 2.学了本节课后我们有什么感想？,教师寄语,亲爱的同学： 牛 顿 - 从苹果落地最终确立了万有引力定律。 毕达哥拉斯-从朋友家地砖图案中发现了勾股定理。 虽然两者尚不可同日而语，但探索和发现终有其价值； 也许就在身边，也许就在眼前;