七数培优竞赛讲座第15讲 倾斜的天平――由相等到不等

1、第十五讲 倾斜的天平由相等到不等 现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系，许多现实问题是很难确定(有时也不需确定)具体的数值，但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围或趋势，从而对所研究问题的全貌有一个比较清晰的认识 不等式(组)是探求不等关系的基本工具，不等式(组)与方程(组)在相关概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在： 等式、不等式两者都乘以(或除以)同一个数时，等式仅需考虑这个数是否为零，而不等式不但要考虑这个数是否为零，而且还需注意这个数的正负性；解方程组时，我们可以“统一思想”，即可以对几个方程进行“代人”或“加减”式的加工，解不等式组时，我们只能“分而治之”

2、，即只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集例题【例1】 已知关于x的不等式组无解，则x的取值范围是 ； (2)已知不等式3xao的正整数解恰是l，2，3，则a的取值范围是 (重庆市中考题) 思路点拨 (1)从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分；(2)由题意知不等式的解在x0的解集是一3x一2，那么a等于( ) A B C3 D一3 (湖北省宜昌市中考题)(2)已知一1a0，则x的取值范围是( )A一lx0 B0x1 C一2x0 D0x0时，；(2)当a0，则解集为所有数；若b0，则这个不等式无解了解含绝对值符号的不等式，常用到绝对值概念与性质： (

3、1)若，则；(2)若，则；(3)若，则；(4)若，则相等与不等是矛盾的两个方面，既对立，又统一，具体体现在：(1)运用不等式(组)讨论方程(组)的解的正负性；(2)运用不等式(组)，用逼近的方法求特殊方程(组)的解；(3)对于含有等式、不等式的混合型问题，综合运用方程(组)(消元思想)、不等式(组)(逼近思想)求解确定不等式(组)中参数的取值范围常用的方法有： (1)逆用不等式(组)解集确定， (2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定【例6】 若关于x的不等式组的解集为x4，则m的取值范围是 思路点拨 由得 x4 由得xm其解集为x4， rn4，m4 【例7】 若不等式(2ab)x+3a4b1.

4、7，由（2）xc(1)只有一个整数解，则整数解为1， 1c0； (2)若无整数解，则c1 【例9】 在满足x+2y3，z0，y0的条件下，2x+y能达到的最大值是 思路点拨 x+2y3，x3-2y，2x十y2(3-2y)+y=3y+6y0， 2x+y6故2x+y的最大值为6 【例10】设x1，x2，x7为自然数，且x1 x2 x3 x6 x7，又x1+ x2+ +x7=159，则x1+ x2+x3的最大值为 思路点拨 x1，x2，x7为自然数，且x1 x2 x3 x6 x7， 159= x1+ x2+ +x7x1+（x1+1）+（x1+2）+（x1+6）=7x1 +21， x119，x1的最大

5、值为19； 又19+x2+x3+x7=159， 140x2+(x2+1)+( x2+2)+(x2+5)=6x2+15， x2，x2的最大值为20 当x1，x2都取最大值时，有120=x3+x4+x7x3+( x3+1)+(x3+4)=5x3+10 x322，x3最大值为22x1+ x2+x3的最大值为19+20+22=61 学力训练1若关于x的不等式组的解集为x4，则m的取值范围是 2若不等式组的解集为一l xl，则(a+1)(b-1)的值等于 (重庆市中考题)3已知a0，且，则的最小值为 ( “希望杯”邀请赛试题)4当k= 时，方程组有正整数解5已知a为整数，关于x的方程的根是质数，且满足，

6、则a等于( ) A2 B2或5 C土2 D一2 (江苏省竞赛题) 6若方程组的解满足条件，则k的取值范围是( ) A一4k1 D一4k0 C0k一4 (河南省竞赛题)7要使不等式成立，有理数a的取值范围 是( ) A0a1 Ba一1 C一1a1 (河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)8已知为常数，若ax+bo的解集是，则的解集是( ) Ax一3 Bx3 Dx0的解集为，那么关于x的不等式mxn(rn0)的解集为 (哈尔滨市竞赛题)14已知关于x，y的方程组的解满足xy0，化简 (2003年呼和浩特市中考题)15不等式的解集是 16关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ） A B C D (泰安市中考题)17一共有( )个整数小x适合不等式IA10000 B20000 C9999 D80000( “五羊杯”邀请赛试题)18已知m、n是整数，3m2=5n+3，且3m+230，5n+340，则mn的值是( ) A70， B72 C 77 D8419若正数满足不等式组，则大小关系是( )Aabc Bbc