数学建模-聚类分析.ppt

1、第二节 聚类分析,聚类分析（Cluster Analysis）是研究“物以类聚”的一种多元统计方法。国内有人称它为群分析、点群分析、簇群分析等。,一、聚类分析的基本概念,研究对样品或指标进行分类的一种多元统计方法,是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。 聚类分析把分类对象按一定规则分成若干类，这些类非事先给定的，而是根据数据特征确定的。在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋向于不相似。 职能是建立一种能按照样品或变量的相似程度进行分类的方法。,聚类分析的基本思想是认为我们所研究的样本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。于是根据一批样本的多个观测指标，

2、具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。最后把整个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表示出来。这种方法是最常用的、最基本的一种，称为系统聚类分析。,除此以外，还有动态聚类法、图论聚类法、模糊聚类法、有序聚类法等。 聚类分析有两种：一种是对样本的分类，称为Q型，另一种是对变量（指标）的分类，称为R型。,R型聚类分析的主要作用： 不但可

3、以了解个别变量之间的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。 根据变量的分类结果以及它们之间的关系，可以选择主要变量进行Q型聚类分析或回归分析。（R2为选择标准） Q型聚类分析的主要作用： 可以综合利用多个变量的信息对样本进行分析。 分类结果直观，聚类谱系图清楚地表现数值分类结果。 聚类分析所得到的结果比传统分类方法更细致、全面、合理。 在课堂上主要讨论Q型聚类分析, Q型聚类常用的统计量是距离.,那么Q型系统聚类法则可以表述为： 把样本看成n维空间的点，而把变量看成n维空间的坐标轴，m个样本开始时自成一类，然后规定各类之间的距离，将距离最小的一对并成一类，然后再计算距离，直到所有单

4、位全部合并为止。,二、距离和相似系数,在进行聚类分析时，样本间的相似系数和距离有多种不同的定义，通常按特性来划分。变量特征的测度尺度有三种类型： 间隔尺度（由连续的实值变量表示） 有序尺度（没有明确的数量表示，只有次序关系，如产品等级） 名义尺度（具有某种特性，如性别）,从一组复杂数据产生一个相当简单的类结构，必然要求进行“相关性”或“相似性”的度量。在相似性度量的选择中，常常包含许多主观上的考虑，但最重要的考虑是指标的性质或观测的尺度（名义、次序、间隔）以及相关知识。 课堂上主要讨论的指标测量为间隔尺度的情况。,距离,每个样本有p个指标，因此每个样本可以看成p维空间中的一个点，n个样本就组成

5、p维空间中的n个点，这时很自然想到用距离来度量n个样本间的接近程度。 用 表示第i个样本与第j个样本之间的距离。一切距离应满足以下条件：,常见的距离有：,block distance 绝对值距离： euclidean distance 欧式距离 squared euclidean distance 平方欧式距离 chebychev distance 切比雪夫距离 minkowski distance 明考斯基距离 （明氏距离） 当q=1,2时，为绝对值、欧式距离； 若趋近无穷时，则为切比雪夫距离,明氏距离在实际的运用很多，但有一些缺点。例如观测值的单位问题；指标间的相关问题，因此改进得到以下两

6、种距离：,Lanberra 兰氏距离 Mahalanobis 马氏距离 以上都是样本间距离的定义。,相似系数,夹角余弦 相关系数 变量间的距离 利用相似系数来定义距离 利用样本协差阵来定义距离 把变量Xi的n次观测值看成n维空间的点,在n维空间中定义m个变量间的距离。, 夹角余弦 两变量的夹角余弦定义为：, 相关系数 两变量的相关系数定义为：,三、系统聚类法基本步骤,1. 选择样本间距离的定义及类间距离的定义； 2. 计算n个样本两两之间的距离，得到距离矩阵 3. 构造个类，每类只含有一个样本； 4. 合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类； 5. 计算新类与当前各类的距离。若类的个数为1，

7、则转到步骤6，否则回到步骤4; 6.画出聚类图； 7.决定类的个数和类。,系统聚类分析的方法,系统聚类法的聚类原则决定于样品间的距离以及类间距离的定义，类间距离的不同定义就产生了不同的系统聚类分析方法。 以下用dij表示样品X(i)和X(j)之间的距离，当样品间的亲疏关系采用相似系数Cij时，令 ； 以下用D(p,q)表示类Gp和Gq之间的距离。,1.最短距离法(SINgle method),2.最长距离法(COMplete method),最长距离,最短距离,A,B,C,D,E,F,例,为了研究辽宁等5省1991年城镇居民生活消费情况的分布规律，根据调查资料做类型分类，用最短距离做类间分类。

8、数据如下：,将每一个省区视为一个样本，先计算5个省区之间的欧式距离，用D0表示距离矩阵（对称阵，故给出下三角阵） 因此将3.4合并为一类，为类6，替代了3、4两类 类6与剩余的1、2、5之间的距离分别为： d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13.12)=13.12 d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24.06)=24.06 d(3,4)5=min(d35,d45)=min(3.51,2.21)=2.21,得到新矩阵 合并类6和类5，得到新类7 类7与剩余的1、2之间的距离分别为： d(5,6)1=min(d51,d61)=min(12.8

9、0,13.12)=12.80 d(5,6)2=min(d52,d62)=min(23.54,24.06)=23.54,得到新矩阵 合并类1和类2，得到新类8 此时，我们有两个不同的类：类7和类8。 它们的最近距离 d(7,8) =min(d71,d72)=min(12.80,23.54)=12.80,得到矩阵 最后合并为一个大类。这就是按最短距离定义类间距离的系统聚类方法。最长距离法类似！,3.重心法(CENtroid method),4.类平均法(AVErage method),中间距离,5.离差平方和法(WARD),基本思想来源于方差分析。它认为：如果分类正确，同类间的类差平方和应较小，类

10、与类之间的离差平方和应较大. 具体做法是，先将n个样本分成一类,然后每次缩小一类,每缩小一类离差平方和就要增大.,离差平方和法(WARD),系统聚类方法的统一,系统聚类法参数表,类的个数的确定,由适当的阈值确定； 根据数据点的散布直观地确定类的个数； 根据统计量确定分类个数；,类的个数的确定,根据谱系图确定分类个数的准则： 各类重心间的距离必须很大； 类中保包含的元素不要太多； 类的个数必须符合实际应用； 如果采用几种不同的聚类方法处理，则在各种聚类图中应该发现相同的类。,四、系统聚类的参数选择 聚类类别： 统计 图：树型谱系图 冰柱谱系图 聚类方法 1.Between-groups linkage 类间平均法 两类距离为两类元素两两之间平均平方距离 2.Within-groups linkage 类内平均法 两类距离为合并后类中可能元素两两之间平均平方距离 3.Nearest neighbor 最短距离法 4. Furthest neighbor 最长距离法 5.Centroid clustering 重心法 (欧式距离) 6.Median clustering 中间距离法 (欧式距离) 7.Ward Method 离差平方法 (欧式距离),SPSS界面指南,五、系统聚类法之例：地区按经济效益分类 某年全国28个省区经济效益指标表，演