2016中考复习四边形综合题

1、四边形综合题1在ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当BAC=DCF=时，直接写出AG与DG的数量关系2如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MPAB交边CD于点P，连接NM，NP（1）若B=60，这时点P与点C重合，则NMP=度；（2）求证：NM=NP；（3）当NPC为等腰三角形时，求B的度数3菱形ABCD中，两

2、条对角线AC，BD相交于点O，MON+BCD=180，MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF（1）如图1，当ABC=90时，OEF的形状是；（2）如图2，当ABC=60时，请判断OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将MON的顶点移到AO的中点O处，MON绕点O旋转，仍满足MON+BCD=180，射线OM交直线BC于点E，射线ON交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段CE的长4如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行

3、四边形；（2）若AEP是等边三角形，连结BP，求证：APBEPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求CPF的面积5如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQAP交CD于点Q，将BQC沿BQ所在的直线对折得到BQC，延长QC交BA的延长线于点M（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长6如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，BCD=60，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点（1）求证：ADPECP；（2）若BP=n

4、PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明MON是等腰三角形，并直接写出MON的度数7在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P

5、在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系8在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH（1）若点P在线段CD上，如图1依题意补全图1；判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且AHQ=152，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）9如图，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QP

6、N绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图，将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明10如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90，得到线段CQ，连接BP，DQ（1）如图a，

7、求证：BCPDCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E如图b，求证：BEDQ；如图c，若BCP为等边三角形，判断DEP的形状，并说明理由11已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EFBD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动连接PF，设运动时间为t（s）（0t8）解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数

8、关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由12已知菱形ABCD的边长为1，ADC=60，等边AEF两边分别交DC、CB于点E、F（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为P 猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G

9、，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值13已知：在四边形ABCD中，ADBC，BAC=D，点E、F分别在BC、CD上，且AEF=ACD（1）如图1，若AB=BC=AC，求证：AE=EF；（2）如图2，若AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）如图3，若AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并证明14正方形ABCD的边长为4cm，点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转（090）得线段EF，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH；（1）如图，分别连接线段AF、FH、AH，AH交EF于点I；求证FAH的度数是一个常

10、数；求证：2AE2=AHIH（2）如图，若=60，点E为AB的中点，在直线AG上是否存在一点J，使EBJ的周长最小？若存在，求出EBJ的最小周长；若不存在，说明理由（3）如图，若=45，点E从A出发，按1cm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运动，设点E的运动时间为t（t0），正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请用含t的代数式表示S15请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DECF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为EDA和FCD都是EDC的余角，就会由ASA判定得出ADE

11、DCF（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DECF于点P，她发现，请你替她完成证明；（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论16如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且DMF=ABF（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM；（3）若矩形ABCD改为ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由17在菱形ABCD和正三角形BGF中，

12、ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明（提示：延长GP交CD于点E）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你猜想18问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE变式探究：分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题

13、，请回答：（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB的延长线于点G，垂足为点F求证：OG=OE（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且ABC=60，其余条件不变，试求的值拓展延伸：（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“ABC=60”改为“ABC=”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“”的式子表示的值19已知矩形ABCD，AB=4，BD=2现有另一个与矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比为2：1最初矩形EFGH的GH边放置在BCD的平分线处（如图1），现将矩形EF

14、GH 沿着FG作一条直线l，再连接AH、BH、DH、BE，设BC与EH的交点为M，CD与 GH的交点为N（若没有交点则不计），回答下列问题（1）如图1，当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积（2）如图2，现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直线l开始出发，以1m/s的速度移动设移动时间为t，矩形ABCD与矩形EFGH重合部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当t为多少时，S为最大值？（3）如图3，矩形ABCD仍然不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时CEH为等腰三角形，这时，在AHC中，AH=HC

15、成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值20在菱形ABCD中，A=60，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N、P分别为EC、BC的中点，连接NP（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；（2）如图2，若M为EF中点，求证：MN=PN；（3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，且A=DBC60，以D为顶点作三角形DEF，满足DE=DF且EDF=ABD，M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究ABD与MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论21已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在

16、CD边上的点P处，PC=4（如图1）（1）求AB的长；（2）擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN过点M作MHPB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）若M是PA的中点，求MH的长；试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度22如图1，ABCD中，AEBC于E，AE=AD，EGAB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF（1）若BE=2EC，AB=，求AD的长；（2）求证：EG=BG+FC；（3）如图2，若AF=5，EF=2，点M是线段AG上的一个动点，连

17、接ME，将GME沿ME翻折得GME，连接DG，试求当DG取得最小值时GM的长23如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BHAF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF（1）求证：OAEOBG；（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）试求：的值（结果保留根号）24在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，旋转角为（090），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P（1）如图1，若四边形ABCD是正方形求证：AOC1BOD1请直接写出AC1 与BD1的

18、位置关系（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值25已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和FCG的面积；（2）如图1，设AE=x，三角形FCG的面积=y，求与x之间的函数关系式与y的最大值；（3）当CGF是直角三

19、角形时，求x和y值26如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F（1）如图，求证：AF=2CF；（2）如图，作DGAC于G，试探究：当AB与AD满足什么关系时，使得AG=CF成立？并证明你的结论；（3）如图，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰RtDEM，交对角线BD于N，连接AM，若AB=AD，请直接写出的值27数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=2，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点联结OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线过点O作OMBC，垂足为M求解你认

20、为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，ADBC，BC=4，CD=3，AD=2”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程28如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF（1）求证：EAF=45；（2）作EFC的平分线FG交AE的延长线于

21、G，连接CG，如图2求证：BCCF=CG；（3）若F是DC的中点，AB=4，如图3，求EG的长29已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DECF则DECDCFAD（填“”或“=”或“”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得DECD=CFAD成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，BAD=90，DECF则的值为30如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE点F是

22、对角线BD上一动点（点F不与点B、D重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60得到线段AM，连接FM（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：ACM=30；（3）连接EM，若AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出AFM的周长答案1在ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当BAC=

23、DCF=时，直接写出AG与DG的数量关系【分析】（1）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD=90，即可求得AGGD，AG=GD；（2）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD是等边三角形，即可证得AGGD，AG=DG；（3）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得A

24、BHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD是等腰三角形，即可证得DG=AGtan2如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MPAB交边CD于点P，连接NM，NP（1）若B=60，这时点P与点C重合，则NMP=30度；（2）求证：NM=NP；（3）当NPC为等腰三角形时，求B的度数【分析】（1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明MNBENC，进而得解；（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可若PN=PC，则PNC=NCP=2x，在PNC中，2x+2x+x=180，解得：x

25、=36，B=PNC+NPC=2x+x=363=108，若PC=NC，则PNC=NPC=x，在PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，B=PNC+NPC=x+x=45+45=903菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，MON+BCD=180，MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF（1）如图1，当ABC=90时，OEF的形状是等腰直角三角形；（2）如图2，当ABC=60时，请判断OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将MON的顶点移到AO的中点O处，MON绕点O旋转，仍满足MON+BCD=180，射线OM交直线BC于点E，射线ON交

26、直线CD于点F，当BC=4，且= 时，直接写出线段CE的长【分析】（1）先求得四边形ABCD是正方形，然后根据正方形的性质可得EBO=FCO=45，OB=OC，再根据同角的余角相等可得BOE=COF，然后利用“角边角”证明BOE和COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）过O点作OGBC于G，作OHCD于H，根据菱形的性质可得CA平分BCD，ABC+BCD=180，求得OG=OH，BCD=18060=120，从而求得GOH=EOF=60，再根据等量减等量可得EOG=FOH，然后利用“角边角”证明EOG和FOH全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）过O点作OGBC于G，作OHC

27、D于H，先求得四边形OGCH是正方形，从而求得GC=OG=3，GOH=90，然后利用“角边角”证明EOG和FOH全等，根据全等三角形对应边相等即可证得OEF是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边OE的长，然后根据勾股定理求得EG，即可求得CE的长4如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若AEP是等边三角形，连结BP，求证：APBEPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求CPF的面积【分析】（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂

28、直，根据E为AB中点，得到AE=EB=PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到APB为90，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）根据三角形AEP为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得证；（3）过P作PMCD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BQ的长，根据BP=2BQ求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的长，根据AFAP求出PF的长，由PM与AD平

29、行，得到三角形PMF与三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的长，再由FC=AE=3，求出三角形CPF面积即可5如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQAP交CD于点Q，将BQC沿BQ所在的直线对折得到BQC，延长QC交BA的延长线于点M（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长【分析】（1）要证AP=BQ，只需证PBAQCB即可；（2）过点Q作QHAB于H，如图易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2易得

30、DCAB，从而有CQB=QBA由折叠可得CQB=CQB，即可得到QBA=CQB，即可得到MQ=MB设QM=x，则有MB=x，MH=x2在RtMHQ中运用勾股定理就可解决问题；（3）过点Q作QHAB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长6如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，BCD=60，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点（1）求证：ADPECP；（2）若BP=nPK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明MON是等腰三角形，并直接写出MON的度数【分析】（1）根据菱形的性质得到AD

31、BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理证明结论；（2）作PICE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；（3）作OGAE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OGMN，证明MON是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出MON的度数7在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中

32、的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系【分析】（1）根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；（2）根据正方形的性质和旋转的性质证明FOAEOD，得到答案；作OGAB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；过点P作HPBD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，根

33、据解答结果总结规律得到当BD=mBP时，PE与PF的数量关系8在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH（1）若点P在线段CD上，如图1依题意补全图1；判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且AHQ=152，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）【分析】（1）根据题意画出图形即可；连接CH，先根据正方形的性质得出DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出HDPHQC，故PH=CH，HPC=HCP，由正方

34、形的性质即可得出结论；（2）根据四边形ABCD是正方形，QHBD可知DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ作HRPC于点R，由AHQ=152，可得出AHB及DAH的度数，设DP=x，则DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论9如图，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QPN绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；（2）如图，将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）

35、中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得APEDPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出MDP是等边三角形，易证MPEFPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，（3）当点E落在AD上时，DE+DF=AD，当点E落在AD的延长线上时，DFDE=AD10如图，点P是正方形ABC

36、D内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90，得到线段CQ，连接BP，DQ（1）如图a，求证：BCPDCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E如图b，求证：BEDQ；如图c，若BCP为等边三角形，判断DEP的形状，并说明理由【分析】（1）根据旋转的性质证明BCP=DCQ，得到BCPDCQ；（2）根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；根据等边三角形的性质和旋转的性质求出EPD=45，EDP=45，判断DEP的形状11已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿

37、DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EFBD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动连接PF，设运动时间为t（s）（0t8）解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD在RtAOB中，运用勾股定理求出AB=10再由DFQDCO得出=求出DF由AP=DF求出t（2）过点

38、C作CGAB于点G，由S菱形ABCD=ABCG=ACBD，求出CG据S梯形APFD=（AP+DF）CGSEFD=EFQD得出y与t之间的函数关系式；（3）过点C作CGAB于点G，由S菱形ABCD=ABCG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由PBNABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE12已知菱形ABCD的边长为1，ADC=60，等边AEF两边分别交DC、CB于点E、F（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上

39、移动，记等边AEF的外心为P 猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值【分析】（1）连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，得出ACBD，BD平分ADC，AD=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，证得0E=OF=OA，则可得点O即为AEF的外心；（2）连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于J，求出IPJ的度数，又由点P是等边AEF的外心，易证得PIEPJA，可得PI=PJ，即点P在ADC的平分线上，即点P落

40、在直线DB上；连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心设DM=x，DN=y（x0，yO），则CN=y1，先利用AAS证明GBPMDP，得出BG=DM=x，CG=1x，再由BCDA，得出NCGNDM，根据相似三角形对应边成比例得出=，进而求出为定值213已知：在四边形ABCD中，ADBC，BAC=D，点E、F分别在BC、CD上，且AEF=ACD（1）如图1，若AB=BC=AC，求证：AE=EF；（2）如图2，若AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）如图3，若AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并

41、证明【分析】（1）中所给的是最特殊的一种情况，但对整个题来说，要从（1）中找到基本的解题思路，此题难的是构造全等三角形，从而证明线段相等虽然（1）中没有要求步骤，但能正确的解出（1）可以给（2）和（3）定一个基调；（2）是将（1）中的等边三角形变为等腰三角形，但起关键作用的条件没变，任然可以仿照（1）中的方法去做；（3）中将三角形变为更一般的三角形，但和（1）比较起来还是有两个条件没变，而利用这两个条件能证明两个三角形相似，从而利用相似的对应边成比例得出结论14正方形ABCD的边长为4cm，点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转（090）得线段EF，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH；（

42、1）如图，分别连接线段AF、FH、AH，AH交EF于点I；求证FAH的度数是一个常数；求证：2AE2=AHIH（2）如图，若=60，点E为AB的中点，在直线AG上是否存在一点J，使EBJ的周长最小？若存在，求出EBJ的最小周长；若不存在，说明理由（3）如图，若=45，点E从A出发，按1cm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运动，设点E的运动时间为t（t0），正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请用含t的代数式表示S【分析】（1）易证A、F、H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，根据圆周角定理可得FAH=FEH=45；由于FH=EF=AE，要证2AE2=AHIH，只需证

43、到FH2=AHIH，只需证到FHIAHF即可；（2）连接DE与直线AG交于点N，连接NB，如图，易证AFGAEH，则有FAG=EAH，从而可得DAG=GAE由AD=AB可得点D与点B关于直线AG对称，从有而ND=NB，从而可求得EN+BN+EB=2+2根据两点之间线段最短可得：当点J运动到点N处，EBJ的周长最短，问题得以解决；（3）点E运动的过程中，依次出现图a、图b、图c、图d、图e、图f的情况，只需运用割补法分别求出图a、图c、图e中S与t的关系式，运用方程思想求出图b、图d、图f中对应t的值，就可解决问题15请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题（1）初步探究：如图（1），点E

44、、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DECF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为EDA和FCD都是EDC的余角，就会由ASA判定得出ADEDCF（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DECF于点P，她发现，请你替她完成证明；（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论【分析】（2）根据A=ADC=90，DECF，证明ADE=DCF，得到ADEDCF，得到答案；（3）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，证明ADEDCM，得到答案16如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边

45、CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且DMF=ABF（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM；（3）若矩形ABCD改为ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理求出AE，即可得出AP的长；（2）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CNAB，得出N=PBA，NEP=BAP，由ASA证明NEPBAP，得出PB=PN，再证出FN=FM，即可得出结论；（3）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CNAB，得出N=PBA，NEP=BAP，由AS

46、A证明NEPBAP，得出PB=PN，再证出FN=FM，即可得出结论【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论17在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明（提示：延长GP交CD于点E）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写

47、出你猜想【分析】（1）延长GP交DC于点E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂线，在RtCPG中，PCG=60，即可得出PG=PC（2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明DPEFPG，再证得CDECBG，利用在RtCPG中，PCG=60，即可得出PG=PC（3）延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，作FEDC，先证GFPHDP，再证得HDCGBC，在RtCPG中，PCG=60，即可得出PG=PC18问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作

48、BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE变式探究：分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB的延长线于点G，垂足为点F求证：OG=OE（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且ABC=60，其余条件不变，试求的值拓展延伸：（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“ABC=60”改为“ABC=”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“”的式子表示的值分析】（1）证明AOGBOE，根

49、据全等三角形的性质证明即可；（2）证明AOGBOE，再根据ABC=60求出的值，得到答案；（3）证明AOGBOE，再根据ABC=求出的值，得到答案19已知矩形ABCD，AB=4，BD=2现有另一个与矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比为2：1最初矩形EFGH的GH边放置在BCD的平分线处（如图1），现将矩形EFGH 沿着FG作一条直线l，再连接AH、BH、DH、BE，设BC与EH的交点为M，CD与 GH的交点为N（若没有交点则不计），回答下列问题（1）如图1，当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积（2）如图2，现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直

50、线l开始出发，以1m/s的速度移动设移动时间为t，矩形ABCD与矩形EFGH重合部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当t为多少时，S为最大值？（3）如图3，矩形ABCD仍然不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时CEH为等腰三角形，这时，在AHC中，AH=HC成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值【分析】（1）首先根据相似和矩形的性质，判断出HMD为等腰直角三角形，然后再求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积即可；（2）作过点D作DTEN于点T，再根据矩形性质得出函数关系式，可求出最大值；（3）首先连接AE，交CH与点Q，连接H

51、D，则AC=CE=EH=2，所以ACEH是等腰梯形，进而判断出AHC、BHD是等腰三角形，所以AH=HC成立；然后根据（2）求出的S关于t的函数关系式，求出此时S和t的值各是多少即可20在菱形ABCD中，A=60，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N、P分别为EC、BC的中点，连接NP（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；（2）如图2，若M为EF中点，求证：MN=PN；（3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，且A=DBC60，以D为顶点作三角形DEF，满足DE=DF且EDF=ABD，M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究ABD与

52、MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论【分析】（1）首先根据四边形ABCD是菱形，A=60，判断出ABD、BCD是等边三角形；然后判断出DME=90，在RtCME中，根据N为EC的中点，求出MN的长是多少即可（2）首先连接BE、CF，根据三角形的中位线定理，判断出MN=，PN=；然后根据全等三角形判定的方法，判断出BDECDF，即可判断出CF=BE，所以MN=PN（3）ABD与MNP的和是一个定值，ABD+MNP=180首先连接BE、CF，延长CE交BD于点G，根据三角形的中位线定理，判断出MNE=FCE=FCD+DCEM，ENP=BEG；然后根据全等三角形判定的方法，判断出BDECDF，即可判断出DBE=DCF；最后根据三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理，判断出ABD+MNP=180即可21已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC