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1、3.1.3 空间向量的数量积运算,人教A版选修2-1,W= |F| |s| cos,根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度的问题.,1了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点） 3能将立体几何问题转化为向量运算问题（难点）,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.,A1,B1,B,A,注：性质是证明两向量垂直的依据； 性质是求向量的长度（模）的依据. 性质是利用向量解决角度问题的依据。,注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全

2、平方公式、十字相乘等均成立.,例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.,分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！,逆命题成立吗?,证明：设直线l的一个方向向量为 ，同时取向量 ，,分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,m,n,取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?,证明：在 内作任一直线g，分别在l,m,n,g上取非零

3、向量 ， 因为m与n相交，故 不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对（x,y），使 将上式两边与向量 作数量积，得,而g是内 的任一直线，故,1.已知 ，则：,-4,-1,-,D,例3如图所示，在空间四边形OABC中，OA8， AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60 ，求OA与BC夹角的余弦值,点评： 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法： 根据已知条件在异面直线上取两个向量； 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； 利用数量积公式求向量夹角的余弦值； 异面直线所成角的余弦值等于向量的夹角余弦值的绝对值,变 式 训 练,例5已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.,练习：如图所示，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.求证：BD平面ADC.,变 式 训 练,变 式 训 练,通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1.证明两直线垂直. 2.求两点之间的距离或线段长度. 3.证明

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