解绝对值不等式的几种常用方法以及变形

1、.解绝对值不等式的几种常用方法以及变形一 . 前提 : a 0 ;形式 :f (x)a ;f ( x) a ;f ( x)a, f (x)a 等价转化为f (x)af (x)a或f ( x)a ;f ( x)aaf ( x)af (x)af (x)a或f ( x)a ;f ( x)aaf ( x)a例 1. (1) |2x3| 5解： 52x35，得 1x4 - 转化为一元一次不等式(2) |x2 3x1| 3解：x2 3x1 3 或 x23x13 - 转化为一元二次不等式即： x23x 2 0 或 x23x40不等式的解为 1x2 或 x 1 或 x4(3)2x3 1x 2解：2x 3 1

2、或2x3 1 - 绝对值不等式转化为分式不等式x2x2解之得： 2 x 1 或 x 2 或 x 53不等式的解为 x 2 或 2x 1 或 x53反思： (1)转化的目的在于去掉绝对值。(2)规范解答，可以避免少犯错误。二 . 形如 | f ( x) | g( x) , f ( x)g (x) 型不等式（ 1） f(x) g(x)- g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)（ 3） f(x) g(x)f2(x)g2(x);（ 4） f(x) 2 x ；.解： (1)原不等式等价于x +12 x 或 x +1 1 或无解，所以原不等式的解集是 x | x 1 22(2) | x2 2 x 6|3

3、x解 : 原不等式等价于 3 x x2 2 x 63 xx22x63xx2x 6 0( x3)( x 2) 0x3或 x2即2x63xx25x 6 0( x1)( x 6) 01 x 6x2即 : 2 x 6所以原不等式的解集是 x |2 x 6(3) 解不等式 x 1 2 x 3 。解:原不等式(x 1)2(2 x3) 2(2 x 3) 2( x 1)20(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)0(3x-4)(x-2)042。x3说明 : 求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。三 .前提 :a, b0形如 :af (x)xa- 转化为不等式组来解决bbx例 3.解不等式 1| 2x-

4、1 | 5| 2x1 | 552x 1 5解：原不等式等价于或| 2x 1 | 12 x 1 1 2x 1 12x3或x0x 1原不等式的解集为x | -2 x0 或 1x3四 .含有两个绝对值的不等式 -(常常采用零点分段法来讨论 )例 4 : 解不等式： |x-3|-|x+1|1.解:原不等式等价于x1x1无解(x3)( x1)1411x31x3113(x3)( x1)1xx22x3x3x 3( x3)(x1)141综上原不等式的解集为 x | x12练习 不等式 |x+3|-|2x-1|0 即 a -1 时， - (a+1)2x+3a 4a 22 x 2综上得： a1时，解集为； a1时

5、，解集为 x |a 4xa 222.六 :含有绝对值不等式有解. 解集为空 ,与与恒成立问题例 6: 若不等式 | x 4|+|3 x |0 时，先求不等式 | x 4|+|3 x |a 有解时 a 的取值范围。令 x 4=0 得 x =4，令 3 x =0 得 x =3 当 x 4时，原不等式化为 x 4+ x 3 a ，即 2 x 712x7a2 当 3 x 4 时，原不等式化为4 x + x 31 当 x 3时，原不等式化为4 x+3 x a 即 72 x 172综合可知，当 a 1 时，原不等式有解，从而当 0| x 4|+|3 x | |x 4+3 x |=1当 a 1 时， | x 4|+|3 x |a 有解从而当 a 1时，原不等式解集为空集。总结(1) :fxa 有解afx min ； f xa 解集为空集afx min ；这