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向量的数量积,无锡市第六高级中学 李凌,引入: 一个物体在力 的作用下发生了位移 , 那么该力对此物体所做的功是多少?,( 为力 与位移 方向的夹角),( 为向量 与 的夹角 ),向量的夹角,对于两个非零向量 和 , 作 , , 则 叫做向量 与 向量 的夹角,范围:,向量的数量积,已知两个非零向量 和 ,它们的夹角是 ,我 们把数量 叫做 向量 和 的数量积, 记作 ,即,规定:零向量与任一向量的数量积为 0,当 时 ,当 时 ,当 时 ,例1.已知向量 与向量 的夹角为 , , ,分别在下列条件下求 .,解(1):,解(2):当 时, 或 .,若 , .,若,思考1:当 时, 反之成立吗?,思考2:若 ,则,思考3:若已知 以及 的大 小,如何求出向量 与 的夹角 ?,数量积的运算律,例2:已知 , ,向量 与 的夹角是 ,求:,解:,解:,变式1:已知 , ,向量 与 的夹角是 , 求 .,变式2:已知 , , ,求向量 与 的夹角.,变式3:已知 , 求 .,变式4:已知 , ,向量 与 的夹角是 ,求使 与 垂直的 的值.,例3.用向量数量积的运算证明:

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