11页辅助线-初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题

1、.数学专题 三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。三、考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一， 是今后学习其他知识的基础。 判断三角形全等的公理有 sas、asa、aas、sss和 hl，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。典型例题人说几何

2、很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一

3、”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例 1：如图， abc是等腰直角三角形， bac=90， bd平分 abc交 ac于点d，ce垂直于 bd，交 bd的延长线于点 e。求证： bd=2ce。.思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路 ：要求证 bd=2ce，可用加倍法，延长短边，又因为有bd平分 abc的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程 ：证明：延长ba ，ce 交于点 f，在bef和bec中， 1= 2， be=be ， bef= bec=90 ， bef bec， ef=ec，从而 cf=2ce 。又 1+ f= 3+

4、 f=90，故 1= 3。在 abd 和 acf中， 1= 3， ab=ac ， bad= caf=90 ， abd acf， bd=cf ， bd=2ce 。解题后的思考： 等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例 2：如图，已知abc 中， ad 是 bac 的平分线， ad 又是 bc 边

5、上的中线。求证：abc是等腰三角形。思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路 ：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 ad 又是 bc 边上的中线这一条件，而且要求证 ab=ac ，可倍长 ad 得全等三角形，从而问题得证。解答过程：.证明：延长ad 到 e，使 de=ad ，连接 be 。又因为 ad 是 bc 边上的中线，bd=dc又 bde= cdabedcad，故 eb=ac ， e= 2， ad 是 bac 的平分线 1= 2， 1= e ，ab=eb，从而 ab=ac，即ab

6、c是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线， 常加倍延长此线段， 再将端点连结，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3：已知，如图， ac平分 bad， cd=cb，abad。求证： b+adc=180。思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路 ：因为 ac是 bad的平分线，所以可过点 c作 bad的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程 ：证明：作 ceab于 e，cf ad于 f。a

7、c平分 bad，ce=cf。在 rt cbe和 rt cdf中，ce=cf， cb=cd，. rt cbertcdf， b=cdf， cdf+adc=180， b+adc=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例 4：如图，abc中，ab=ac， e 是 ab上一点， f 是 ac延长线上一点，连ef交 bc于 d，若 eb=cf。求证： de=df。思路分析 ：1）题意分析 ： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路 ：因为 de

8、 、df 所在的两个三角形deb与dfc不可能全等，又知 eb=cf ，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过e 作 eg/cf，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：.证明：过 e 作 eg/ac交 bc于 g，则 egb= acb，又 ab=ac， b=acb， b=egb， egd=dcf，eb=eg=cf， edb= cdf， dge dcf，de=df。解题后的思考： 此题的辅助线还可以有以下几种作法：例 5：abc中， bac=60， c=40，ap平分 bac交 bc于 p，bq平分 abc交 ac于 q，求证： ab+bp=bq+a

9、q。思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路 ：本题要证明的是ab+bp=bq+aq。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 o作bc的平行线。得 ado aqo。得到 od=oq， ad=aq，只要再证出 bd=od就可以了。解答过程 ：证明：如图（ 1），过 o作 od bc交 ab于 d， ado=abc=180 60 40=80，又 aqo= c+qbc=80， ado=aqo，.又 dao=qao， oa=ao， ado aqo，od=oq，ad=aq，又 od bp， pbo=dob，又

10、 pbo=dbo， dbo=dob，bd=od，又 bpa= c+pac=70，bop= oba+ bao=70， bop=bpo，bp=ob，ab+bp=ad+db+bp=aq+oq+bo=aq+bq。解题后的思考：（1）本题也可以在 ab上截取 ad=aq，连 od，构造全等三角形， 即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（ 2），过 o作 odbc交 ac于 d，则 ado abo从而得以解决。如图（ 5），过 p 作 pdbq交 ac于 d，则 abp adp从而得以解决。.小结：通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同

11、的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6：如图甲， adbc，点 e 在线段 ab上， ade=cde， dce= ecb。求证： cd=ad+bc。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）

12、解题思路： 结论是 cd=ad+bc，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 cd上截取 cf=cb，只要再证 df=da即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程 ：证明：在 cd上截取 cf=bc，如图乙. fce bce（sas）， 2=1。又 adbc， adc+bcd=180， dce+cde=90， 2+3=90， 1+4=90， 3=4。在 fde与 ade中， fde ade（asa），df=da，cd=df+cf，cd=ad+bc。解题后的思考： 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时， 一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条

13、中的一条， 然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形， 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再运用三角形三边的不等关系证明。.小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍

14、半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。预习导学下一讲我们就要进入八下的学习了，八下的第一章是分式。请同学们预习课本，并思考以下问题。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的运算法则是什么？同步练习全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例一有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图 1：已知 ad为 abc的中线，且 1 2, 3 4, 求证： becfef。anef1 2 34bdc图 1二、有以线段中点为端点的线段时，常延长a加倍此线段，构造全等三角形。ef例：如图 2：ad为 abc的中线

15、，且 1 2，23 3 4，求证： becfef4c1bdm图2.三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图 3：ad为 abc的中线，求证： abac2ad。abdce图 3练习：已知 abc，ad是 bc边上的中线，分别以 ab边、 ac边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 4， 求证 ef2ad。eabdc图4四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 5：在 abc中， ab ac， 1 2， p 为 ad上任一点。求证： ab acpb pc。a1 2pndb图 5e五、延长已知边构造三角形：例如：如图 6：已知 acbd，ad ac于 a ，bc bd于 b，求证： adbcabodc图6fcm.六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7：ab c