函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

1、.函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用一、知识回顾：1、对于给定区间 d 上的函数 f ( x) ，如果 _，则称 f (x) 是区间 d 上的增（减）函数 .2、判断函数单调性的常用方法：观察图像法、定义法3、关于函数单调性还有以下一些常见结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是 _；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有 _的单调性；4、函数的奇偶性：（1）对于函数 f ( x) ，其定义域关于原点对称：如果，那么函数f ( x) 为奇函数；如果，那么函数f ( x) 为偶函数 .（2）奇函数的图象关于 _对称，偶函数的图象

2、关于_对称 .周期函数的定义：对于函数 f x ，存在非 0 常数 t，使得对于其定义域内总有 f x t f x ，则称的常数 t 为函数的周期。5 、函数的周期性 f xaf xfx 的周期为 2a ；如 f x a1；f x 的周期为 2af x如 f x1f x的周期为 4a ；axf对于三角函数 yasinxb. y acos xb ，其周期 t2 ；对于 ya tanxb.yacotxb ，其周期 t若 yf x 关于直线 xa, xb ab 对称，则 yf x 一定为周期函数， 2 ba为 y f x 的周期二、例题例 1、已知 f (x)ax 7bx 5cx 3dx5 ，其中

3、a, b, c, d 为常数，若 f (7)7 ，则f (7)_（构造奇偶函数）变式 1、已知 f(x) 是定义在 r 上的奇函数，则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= _变式 2、已知 f(x) 是定义在 r 上的偶函数，它在 0,) 上递减，那么一定有a cf (3 )f ( a2a1)4f (3 )f ( a2a1)4bdf (3 )f (a 2a1)4f (3 )f (a2a1)4.例 2、若 f(x)=-x 2+2ax 与 g( x)a在区间 1,2 上都是减函数，则a 的取值范围是x1a ( 1,0)( 0,1)b ( 1,0)(0,1c（ 0，1）d (0,1

4、变式1 、若函数f(x)=a xb 在 0,+ 上为增函数, 则实数a、 b 的取值范围是.例 3、已知奇函数 f (x) 是定义在 ( 2,2) 上的减函数， 若 f (m1)f ( 2m1)0 ，求实数 m 的取值范围变式 1、已知 f ( x)是 r 上的增函数， a （0， 1），b（3,1）是其图象上的两点，则不等式 | f ( x1) |1的解集为 _例 、已知函数f(x)x22ax24（）若方程 f (x)0有两不相等的根，求 a 的取值范围；（）若函数 f (x) 满足 f( 2 )f ( 0 ) ，求函数在 x 5, 5 的最大值和最小值；（3 ）若 a 为任何实数，讨论f

5、(x) 在 x 5 ,5 的最小值（ 条件 f (2) f (0) 改为 f(1 x) f(1 x)有什么区别）变式 1、已知函数 yx 22x 3 在区间 0，m 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是a 、 1，+）b、0， 2c、（-， 2d、1 ，2变式 、已知二次函数 f (x) ax2bx(a 0)满足条件： f (5 x ) f ( x 3)2且方程 f ( x )x 有等根， 求 f ( x) 的解析式； 是否存在实数 m, n(mn) ，使得 f ( x) 的定义域为 m, n ，值域为 3m,3n 。例 5、已知函数 f(x)，xf，那么集合 ( x，y)|y=f

6、(x)，xf ( x， y)|x=1中所含元素的个数是（）a0b1c 0 或 1d1 或 2分析： 这个问题是求函数y=f(x)， xf 的图象与直线 x=1 的交点个数 (这是一次数到形的转化 )，这里给出了函数y=f(x)的定义域是 f，但未明确给出1 与 f 的关系，当 1f 时有 1 个交点，当 1f 时没有交点，所以选c.例 6、 (一次函数 f(x)=kx+h(k0)，若 mn 有 f(m) 0， f(n) 0，则对于任意 x(m，n)都有 f(x)0，试证明之；证明：当 k0 时，函数 f(x)=kx+h 在 xr 上是增函数， mxn，f(x)f(m) 0；当 k0 时，函数

7、f(x)=kx+h 在 xr 上是减函数， mxn，f(x)f(n) 0所以对于任意 x(m， n)都有 f(x) 0 成立。例 7.设 f (x) 定义在（0，+ ）上的单调增函数，满足f ( xy)f (x)+f ( y) ， f (3)1 。 求：（1） f (1);(2) 若 f (x)+f ( x 8)2, 求 x 的取值范围。例 8、（2006 年山东卷） 已知定义在 r 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2 )= f(x),则 ,f(6)的值为 (b)(a) 1(b) 0(c)1(d)2【考点分析 】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由 f x 2f xf x 4f x

8、 2f x由 f x 是定义在 r 上的奇函数得 f 00 ， f6f 42f2f 00 ，故选择 b。【窥管之见 】本题用到两重要性质： fxaf xf x 的周期为 2a ；如 f x 是定义在 r 上的奇函数，则 f 00。例 9、设 f(x)是定义在 r 上的奇函数，且 yfx的图象关于直线 x1 对称，则 f (1)+f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.2【考点分析 】本题考查函数的周期性解析： f0f 0得 f 00，假设 fn0因为点（n ，0）和点（ n1,0 ）关于 x1 对称，所以 f n1fnf n0因此，对一切正整数 n 都有： fn02从而：

9、 f 1f2f 3 f4f 50。本题答案填写： 0例 10、（ 2006 福建卷）已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x1时， f ( x)lg x.设 af ( 6), bf ( 3), cf ( 5), 则522（a） a b c（ ） b a c（c） c b a（d） c a bb解：已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f ( x) lg x.设 af ( 6) f ( 4)f ( 4 ) ， bf ( 3 )f ( 1)f ( 1) ， c f ( 5 )f ( 1 ) 0，55522222cab ，选 d.例 11、（ 2006 年安徽卷

10、理） 函数 fx 对于任意实数 x 满足条件 fx21，fx若 f15, 则 ff5_。.【考点分析 】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由 fx 21得 fx41f ( x) ，所以 f (5)f (1)5 ，则xfx2ff f 5f ( 5) f ( 1)f (12)1 。15【窥管之见 】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解fx21“只要加 2，则变倒数，加两次fx则回原位” 则一通尽通也。例 12、设 fx 是,上的奇函数， fx2f x，当 0 x1 时， f xx ，则 f（7.5）等于（）a.0.5b.0.5c.1.5

11、d. 1.5解析：由 fx 2fxf7.5f 5.5f 3.5f 1.5f0.5 ，又 f x是奇函数，故 f 0.5f0.50.5，故选择 b。例 13、（ 2005 福建卷） f ( x) 是定义在 r 上的以 3 为周期的偶函数，且 f (2)0 ，则方程 f ( x) =0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是 （b）a 5b 4c3d2解析：由 f ( x) 的周期性知， f (2)f 5f1f 1f 40即至少有根 1，2，4，5。故选择 b。例 14 、（ 05 广 东 卷 ） 设 函 数 f ( x)在 ( ,) 上 满 足 f (2 x) f (2x) ，f (7 x) f

12、 (7 x) ，且在闭区间 0，7上，只有 f (1)f (3) 0 （）试判断函数 yf ( x) 的奇偶性；（）试求方程 f (x) =0 在闭区间 -2005，2005上的根的个数， 并证明你的结论.解:由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 yf ( x) 的对称轴为 x2和 x7 ,从而知函数 yf ( x) 不是奇函数 ,由 f (2x)f (2x)f (x)f (4x)f( 4)f(14x)f (7x)f (7x)f (x)f (14x)xf (x)f ( x10) ,从而知函数 yf ( x) 的周期为 t10又 f (3)f (0)0,而f (7)0

13、,故函数 yf ( x) 是非奇非偶函数 ;f (2x)f ( 2x)f ( x)f ( 4x)f ( 4x)f (14x)(ii) 由x)f (7x)f ( x)f (14x)f (7f (x) f ( x10)(ii) 又 f (3)f (0)0, f (11)f (13)f ( 7) f (9)0故 f(x) 在0,10 和-10,0 上均有有两个解 ,从而可知函数 yf (x) 在 0,2005上有 402个解 ,在-2005.0上有 400 个解 ,所以函数 yf (x) 在 -2005,2005上有 802 个解 .作业：1、 f ( x) 为 (,) 上的减函数， ar ，则（）

14、（a ） f ( a)f (2a)（ b） f (a 2 )f (a)（c）f (a 21)f( a)（d） f (a 2a) f ( a)2、如果奇函数f(x) 在区间 3，7上是增函数，且最小值为5，.那么在区间 7， 3上是（）a 增函数且最小值为 5b增函数且最大值为 5c减函数且最小值为 5d减函数且最大值为 53 、 定 义 在 1，1 上 的 函 数 yf ( x) 是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 若f (a2a1)f (4a5)0 ，求实数 a 的范围。4、已知二次函数f (x)ax2bx 满足 f (1x)f (1x) ，且方程 f ( x)x 有两个相等实根，若函数f ( x) 在定义域为 m,n 上对应的值域为 2