第二章 信号及信道.ppt

1、1,第二章 信号分析及信道,信号的分类 信号分析 随机信号分析 高斯随机过程 信道及其容量,2,本章重点,确知信号的分析方法 功率谱密度的计算方法 高斯白噪声的定义 信道容量的计算,3,复习： 信号的分类,1. 按信号是否确知分：确知信号和随机信号 确知信号：可用确定的数学函数表示的信号，在定义域内任意 时刻都有确定的函数值。 随机信号：给定一个时间值，信号的取值不确定，只知其取某一数值的概率。,T 为 的周期。 非周期信号：不具有重复性的信号。,2. 信号是否具有重复性：周期信号和非周期信号 周期信号：固定的时间间隔重复变化的信号。即，,4,平均功率定义为： 归一化能量（简称能量）定义为：,

2、设信号为 ，它为电压或电流，当作用在1 电阻上，其瞬时功率为 ，得到,3. 功率信号和能量信号 功率信号：能量无限大，功率有限。 能量信号：能量有限，平均功率为0。,5,结论： （1）周期信号必定是功率信号，不可能是能 量信号。 （2）对于非周期信号，可能为功率信号，也 可能为能量信号。,6,2.1 信号分析,确知信号的性质可从哪两方面分析？,频域分析：可用信号的频谱函数来表示。频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和相位。在频域上分析信号称为频域分析。,时域分析：时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变化的特性。在时域上分析信号称为时域分析。,傅里叶分析法,卷积和相关函数,7,2

3、.1.1 确知信号的分析,周期信号的傅里叶级数,非周期信号的傅里叶变换,周期信号的傅里叶变换,1. 三角形式的傅里叶级数 2. 指数形式的傅里叶级数,8,狄利克雷（Dirichlet）条件-,设(x) 是周期为2的周期函数，如果它满足： (1)在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点; (2)在一个周期内至多只有有限个极值点， 则(x) 的傅里叶级数收敛，并且 当x是(x) 的连续点时，级数收敛于 ； 当x是(x)的间断点时，级数收敛于 。,9,（ 为基波角频率）,2.1.1 确知信号的分析,周期信号的傅里叶级数 1. 三角形式的傅里叶级数,.(t)的均值（直流分量）,. (t)的第n次余弦

4、波的振幅,. (t)的第n次正弦波的振幅,对于任何一个周期为T的周期信号(t)，只要满足狄利克雷（Dirichlet）条件，则可展开为傅里叶级数。,10,根据：,11,2. 指数形式的傅里叶级数 利用欧拉公式 指数表达式：,12,指数表达式：,注：（1）一般，Fn是一个复数，它与频率之间的关系图形称为信号的幅度频谱：Fn确定周期信号(t)的第n次谐波分量的幅度。 （2）离散谱：不连续，仅存在于 0 的整数倍处。,13,非周期信号的傅里叶变换 周期信号 傅里叶级数 非周期信号如何表示呢？ 解决办法：,把非周期信号看作T的周期信号。这样周期信号的频谱分析可以推广到非周期信号。,14,当周期T时，T

5、(t)= (t), t -,+ ， 即：,非周期信号(t):,构造的周期信号T(t)：,15,当 ，有,令 满足狄利克雷（Dirichlet）条件 ，则可展开傅里叶级数：,式中，,（分量间隔）,（2-8）,（2-9）,将（2-9）代入（2-8）中，得到,16,称（2-11）为傅里叶正变换，（2-12）为傅里叶反变换。两式称为的傅里叶变换对， 表示为：,（2-11）,（2-12）,令,可简记为：,那么，,17,傅里叶变换存在的条件（充分非必要条件）： （a）在每个有限区间都满足狄利克雷（Dirichlet）条件。 （b）并且满足,正变换： 反变换：,傅里叶变换：,1. 定义,18,2. 性质,1

6、9,常用信号的傅里叶变换：,矩形脉冲，指数函数，冲激脉冲，正负号函数，阶跃函数，复指数函数，常数，余弦函数，正弦函数，周期信号,20,周期信号的傅里叶变换 按照经典数学函数的定义，周期信号的傅里叶变换是不存在的。为求得周期信号的傅里叶变换，扩大了函数定义范围，引入广义函数(t)。,(t)的表达式是什么？,设 (t) 是周期为T的周期信号，把它展开成指数傅里叶级数，得到：,式中，,21,对周期信号求傅里叶变换 由傅里叶变换的频移特性, 所以得到,（2-16）,可见：周期信号的傅里叶变换由一系列位于各谐波频率 n0上的冲激函数组成，各冲激函数的强度为 2Fn 。,小结：引入冲激函数之后，对周期信号

7、也能进行傅里叶变换，从而对周期信号和非周期信号可以统一处理，这给信号的频域分析带来了很大的方便。,22,2.1.4 卷积定义与性质,卷积的定义： 物理意义：表示一个函数与另一个函数折叠之积的曲线下的面积，因而卷积又称为折积积分（卷积也表明一个函数与另一折叠函数的相关程度）。 卷积的性质 （1）交换律： （2）分配律： （3）结合律：,23,（4）卷积的微分 卷积定理 （1）时域卷积定理 （2）频域卷积定理,24,2.1.5 波形的互相关和自相关,相关函数：信号之间的相关函数来表征，它是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数。 1. 自相关函数 能量信号的自相关函数：,功率信号的自相关函数：,自相

8、关函数反映了一个信号与其延迟 秒后的信号之间相关的程度。 当=0，能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量； 而功率信号的自相关函数R(0),等于信号的平均功率。,25,2. 互相关函数 两个能量信号的互相关函数： 两个功率信号的互相关函数：,互相关函数反映了一个信号与另一个延迟 秒后的信号间相关的程度。 互相关函数和两个信号的前后次序有关，即有,26,令t1=t+，得,即：,证明：,27,2.1.3 能量谱密度与功率谱密度,信号的能量 时域角度： 频域角度： 推导：,28,能量谱密度 定义：单位频带内信号的能量为能量谱密度 （简称能量谱），单位：J/Hz, 用 表示。,能量信号(t) 的自

9、相关函数和能量谱密度是一对傅里叶变换，即,29,令t1=t+，则 =t1-t ，d =d t1,证明：,30,信号的功率 时域定义： 频域定义：,是 的截短函数 的频谱函数,功率谱密度 定义：单位频带内的平均功率定义为功率谱密度 （简称功率谱），单位W/Hz，用 表示。,31,功率信号 (t) 的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换，即,32,2.2 随机信号分析,随机过程的定义 随机过程的统计特性 概率分布 数字特征,33,随机过程：随时间变化的无数个随机变量的集合。 通信系统中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间 的随机过程。 随机信号：信号的某个或几个参数不能预知或不能完全 预知的信号

10、。 随机噪声：不能预测的噪声。 以N台性能相同，工作条件完全一致的接收机输出端的噪声电压波形为例，随机过程 (t) 如图所示：,随机过程的定义,34,随机过程有两个基本属性： （1）(t)是时间t的函数； （2） 在任意时刻t1上，观察到的全体样本却是不确定的，是一个随机变量。,随机过程 (t) 表示为：,接收机输出端噪声电压波形：,或,35,1. 概率分布分布函数和概率密度函数 随机过程的统计特性是通过它的概率分布或数字特征加以表述。 连续型随机信号：分布函数、概率密度 离散型随机信号：分布函数、概率分布,随机过程的统计特性,36,设(t) 表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上，(t1)

11、 是一个随机变量。 (1) (t)的一维分布函数 F1(x1,t1)=P (t1)x1 (t)的一维概率密度函数：,37,(2) (t)的n维分布函数 Fn(x1 x2 xn;t1, t2tn) =P (t1)x1 , (t2)x2 , (tn)xn (t)的n维概率密度函数：,注意：n越大，用n维分布函数或n维概率密度函 数去描述(t)的统计特性就越充分。,38,2. 数字特征数学期望、方差和相关函数 数学期望： 并记为 ，随机过程的数学期望是时间t的函数。 数学期望的物理意义：信号或噪声的直流分量。 方差： D (t) = E(t) - E(t) 2 =E2(t) a2(t) = 2 (t

12、） 方差的物理意义：信号或噪声的交流功率。,39,自协方差和自相关函数 作用：衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的关联程度。 （1）自协方差：Bt1,t2=E(t1)-a(t1) (t2)-a(t2) 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 （2）自相关函数：Rt1,t2=E(t1).(t2) 用途： a 用来判断广义平稳。 b 用来求解随机过程的功率谱密度和平均功率。 （3）二者的关系： B(t1,t2）= R(t1,t2)-a(t1)a(t2),40,互协方差和互相关函数 协方差和相关函数的概念也可引入到两个或更多个随机过程中去，从而获得互协方差及互相关函数。 设(t)

13、和(t)分别表示两个随机过程 （1）互协方差定义 Bt1,t2=E(t1)- a(t1) (t2)- a(t2) （2）互相关函数定义 Rt1,t2=E(t1).(t2),如果t2t1,并令t2=t1+，则 是t2与 t1之间的时间间隔，则相关函数R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+) 。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及时间间隔 ，即： 相关函数是 t1和 的函数。,41,例2.2 设随机过程(t)可表示为(t)=2cos(2t+)，式中是一个离散随机变量，且P(=0)=1/2，P(=/2)=1/2，试求E(1)及R(0,1)？,在t=1时， (t)的数学期望,在t1=0,t2=1时，

14、 (t)的自相关函数,解：,42,2.3 平稳随机过程 2.3.1 狭义平稳随机过程,狭义平稳随机过程：随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间的起点无关。 fn(x1 x2 xn;t1, t2, tn) =fn(x1 x2 xn;t1+, t2 + , tn+) 含义：指随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。即当取样点在时间轴上作任意偏移时，随机过程的所有有限维分布函数不变。且有， 一维分布与时间无关：f1(x1,t1)=f1(x1) 二维分布只与时间间隔有关：f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2; ) 数字特征： 数学期望与方差和时间都无关 自相关函数只与时间间隔有关R

15、(t, t+ )=R(),43,广义平稳随机过程：随机过程的数学期望为常数（与时间无关）,自相关函数只与时间间隔有关。 通信系统中的信号及噪声，大多可视为平稳的随机过程。 研究平稳随机过程有很大的实际意义。 a(t)=a(常数) R(t1, t1+)=R(),2.3.2 广义平稳随机过程,注意：狭义平稳一定是广义平稳的， 反之不 一定成立。,44,平稳随机过程的各态历经性 （1）问题的提出 （2）各态历经性 “时间平均”代替“统计平均” 一个随机过程的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称该随机过程具有各态历经性。,2.3.3 各态历经性,注意：只有平稳随机过程才具有各态历经性。即，各态历经的

16、随机过程一定是平稳的，而平稳随机过程则需要一定的条件才是各态历经的。,满足的条件：,45,2.4 高斯随机过程 2.4.1 高斯过程的定义,1. 高斯过程定义（又称正态随机过程） 若随机过程 (t) 的任意n维概率密度函数都服从正态分布，则称它为高斯过程。,46,（2-68）,其中:,47,2. 一维概率密度函数和分布函数,均值， 2方差,48,f(x)对称与 x=直线，即f (+x)=f (-x) f(x)在 内单调上升，在 内单调下降，且在点处达到极大值。 且有 对不同的，表现为 f(x)的图形左右平移；对不同的， f(x)的图形将随的减小而变高和变窄。,x,f(x),(1) 一维概率密度

17、函数,49,当=0， =1，则称这种正态分布为标准化正态分布。,正态分布函数 F(x)：,Q(x) 称为概率积分函数：,(2) 分布函数,50,3. 误差函数（互补误差函数）与概率积分函 数的关系,误差函数的定义： 互补误差函数的定义：erfc(x)=1-erf(x) 它是自变量的递增函数：erfc(0)=1, 且 erfc(-x)=2-erfc(x) 当x1时，有,51,x 时：,x 时：,52,2.4.2 高斯过程的性质,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。 高斯过程若是广义平稳随机过程，则又是狭义平稳随机过程； 若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是相

18、互独立的； 若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程； 高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯过程。,53,2.7 信道及其容量 2.7.1 信道的定义和分类,1信道的定义 2信道的分类,54,（1）调制信道,模拟信道的质量用信号在传输过程中发生的失真及输出信噪比来衡量。 数字信道的输入和输出均为比特流，其特性用误码率衡量。,调制信道传输的是模拟信号,编码信道传输的是数字信号,收、发转换器：放大，频率变换，电电磁波的转换。,图2.6 调制信道与编码信道,（2）编码信道,55,2.7.2 高斯白噪声,1. 白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。 2. 自相关函数 双边功率谱密度：P()

19、=n0/2 ； n0是一个常数，单位：W/Hz 自相关函数：R()= ()n0/2,物理意义：表明该随机过程上任何两个随机变量之间都是不相关的，只有当=0时例外。,56,高斯白噪声定义： （1） P()= n0/2 （2）服从高斯分布 带限白噪声 常见的限带白噪声有两种： a. 理想低通白噪声 b. 理想带通白噪声,57,一、窄带随机过程 1. 必要性 2. 窄带条件：频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离开零频率又相当远。,2.7.3 正弦波加窄带高斯过程,补充,58,1. 用包络和相位的变化表示 其中： ：窄带随机过程的包络函数 ：窄带随机过程的随机相位函数

20、二者均为随机过程。 包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观；相 位的变化，则看不出来，只能理解。,（2-78）,二、窄带过程的数学表示,补充,59,将式 （2-78）展开，得到：,2. 用同相分量和正交分量表示,补充,60,设 信号： 窄带高斯信号（用同相分量，正交分量描述）： 混合信号： r(t) =Acos(ct+)+n(t) =Acos(ct+)+nc(t)cos(ct)-ns(t)sin(ct) =Acoscosct- Asinsinct +nc(t)cos(ct) -ns(t)sin(ct) =Acos+nc(t) cos(ct) Asin+ ns(t)sin(ct) =Z(t)cosct+(t),正弦波加窄带高斯过程:,61,1. 随机包络服从广义瑞利分布，也称莱斯分布。,包络的概率密度函数为：,相位：,包络：,2. 随机相位的分布 小信噪比时，接近于均匀分布。 大信噪比时，趋于一个在原点的冲激函数。,62,式中： C信道的容量 S信号的平均功率(W)； N加性高斯白噪声的平均功率(W) ； B