随机变量的期望、方差的计算-华北电力大学成人教育学院

1、精品 料推荐随机变量的期望、方差的计算方法辛开远，杨玉华与随机 量有关的某些数 ， 然不能完整的描述随机 量，但能描述随机 量在某些方面的重要特征。 些数学特征在理 与 践上都具有重要的意 ， 本文介 一 随机 量的常用数字特征：数学期望、方差。一、数学期望1 离散型随机 量x 的分布律 ：p x xkpk ，xk 1， 2，如果 数xkpk 收 ， 称 数xk pk 的和 随机 量 x 的数学期望，即k 1k1e( x)xk pkk 12 型随机 量 x 的概率密度 f (x) ，若 分xf ( x) dx 收 ， 称 分xf ( x)dx 的 随机 量x 的数学期望，即e( x)xf (

2、x) dx3 数学期望的性 （ 1） e(c )c ，（ c 常数）（ 2） e(kx )ke ( x ) ，（ k 常数， x 是随机 量）（ 3） e( xy) e( x )e(y) ，（ x ， y 是两个随机 量）（ 4）若 x ， y 是相互独立的随机 量， 有e( xy ) e(x ) e(y)二、随机 量的函数的数学期望设 y 是 x 的函数， y g( x ) 。1当 x 是离散型随机 量 ，x 的分布律 p x xkpk ， k1， 2，若 数g(xk ) pk 收 ， 函数 y 的数学期望 k1e(y ) e g( x )g( xk ) pkk 12当 x 是 型随机 量

3、，x 的概率密度 f (x) ，若 分g( x) f ( x) dx 收 ， 函数 y 的数学期望 e(y )e g( x )g (x) f ( x)dx三、方差设 x 是一个随机 量，若e x e( x ) 2存在， 称它 x 的方差， 作d ( x ) ，1精品 料推荐即d ( x ) e x e( x ) 2 称d( x ) 为 x 的均方差或者 准差。1 若 x 是离散型随机 量， d ( x ) xk e( x ) 2 pkk 12 若 x 是 型随机 量， d ( x ) x e( x ) 2 f ( x)dx方差 d ( x )反映了随机 量 x 取 分散的程度，d ( x )

4、越小， x 的取 越集中。3 方差的性 （ 1） d ( x ) 0 ；（ 2） d (c )0，（其中 c 是常数）；（ 3） d (kx )k2 d ( x ) ，其中 k 是常数，（ 4）若 x ， y 是两个相互独立的随机 量， 有d ( xy ) d ( x ) d (y )（ 5）d ( x ) 0的充分必要条件是， 里c e( x )；p x c 1（ 6） d ( x )e( x 2 ) e ( x ) 2常用公式（ 6） 算方差。四、矩1 x 离散型随机 量（ 1）若 e( x k )xik pi ，k1，2，存在， 称它 x 的 k 原点矩。i 1（ 2）若 e xe( x

5、 ) k xie( x )k pi 存在， 称它 x 的 k 中心矩。i 12 x 型随机 量（ 1） e( x k )x k f (x)dx 存在， 称它 x 的 k 原点矩。（ 2）若 e xe( x ) k x e( x ) kf ( x)dx 存在， 称它 x 的 k 中心矩，其中， f (x) 为 x 的概率密度。五、关于两个随机 量的函数zg( x , y) 的数学期望1 ( x ,y) 是二 离散型随机 量， 若其分布律 p x xi,y yi pij ，（ i, j1，2，），则 e( z) e g( x ,y)g( xi , y j ) pijj 1 i1 里，等式右端的 数

6、 收 。2 ( x , y) 是二 型随机 量，若其概率密度 f ( x, y)e( z) e g( x ,y)g(x, y) f ( x, y)dxdy则 里，等式右端的 数或 分 收 。六、 方差和相关系数1 ( x ,y) 是二 随机 量， 若 e x e( x ) ye(y)存在， 称它是 x 和 y 的2精品 料推荐协方差，记作cov ( x ,y) ，即cov( x , y)e xe( x ) ye(y)（ 1）当 (x , y) 为离散型随机变量时，cov( x , y) xi e( x ) y j e(y) pijj 1i 1（ 2）当 (x , y) 是连续随机变量时，cov

7、( x , y) x e( x ) y e(y ) f ( x, y)dxdy其中， f ( x, y) 是 ( x ,y) 的概率密度。2若 d ( x ) 0， d (y ) 0，则称xycov( x , y)d( x )d (y)为 x 和 y 的相关系数。七、例题分析x-202例 1设随机变量x 的分布律为，求 ： e( x ) ， e( x2 ) ，pk0.40.30.3d ( x ) 。解：e( x ) ( 2) 0.4 0 0.3 2e( x 2 ) ( 2) 20.4 020.3 220.3 2.8d ( x ) e( x 2 ) e( x ) 22.8 ( 0.2) 22.7

8、6例 2设随机变量x 1 , x 2 的概率密度分别为2e 2 x , x 04e 4x , x 0f x1(x)，f x2(x)0,x00,x 0求： e( x 1x 2 ) ， d ( x 1 ) ， d ( x 2 ) 。解： e( x1 x 2 )e( x 1 )e( x 2 )0x2e 2x dxx 4e 4 x dx0113244d ( x 1 ) e( x12 ) e( x 1 ) 2x 22e 2 x dxx 2e 2 x dx21004d ( x 2 )e( x 22 ) e( x 2 ) 23精品 料推荐x 24e 4x dx210x4e 4x dx016( x ,y )

9、具有概率密度 f (x, y)1,x 2y 21例 3设二维随机变量,0 ,其它求： cov ( x , y) ，xy 。解： u1e( x )xf ( x, y)dxdy121rdrd00r cos0u2e(y)yf (x, y)dxdy1r sinrdrd0cov( x ,y )( xu1 )( yu2 ) f ( x, y)dxdy1212 sin cosrdrd00r0xycov( x , y)0d(y)d( x )例 4设二维随机变量( x ,y ) 的分布律为x-101pyy j y-11113888801012888111138888p x xi 3231888求： e( x ) ， e(y ) ， cov ( x , y) ，xy 。解： e(