3.2.3空间的角的计算.ppt

1、第3章3.2 空间向量的应用,3.2.3空间的角的计算(2) 二面角的计算,江苏省阜宁中学数学组顾乃春,1.能够利用向量方法解决面面的夹角问题. 2.掌握用空间向量解决面面的夹角问题的基本步骤.,学习目标,问题情境,我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交直线所成的角来度量,如何用向量的方法来求空间二面角的大小呢？,建构数学,总结：二面角的大小与其两个半平面的法向量夹角的关系？ 二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，如图所示.,设二面角-l-的平面角为, 平面，的法向量为n1,n2,则,0，,数学应用,向量法求二面

2、角(或其某个三角函数值)的步骤,反思与感悟,数学应用,1.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_.,45或135,解析答案,练一练,2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE. (1)证明：BD平面PAC； (2)若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.,练一练,3.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA， QA=AB= PD (1)证明：平面PQC平面DCQ； (2)求二面角Q-BP-C的余弦值,【规范解答】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单

3、位长，射线DA,DP,DC分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系.2分 (1)依题意有Q(1,1,0)， C(0,0,1)，P(0,2,0)， 则 =(1,1,0)， =(0,0,1)， =(1,-1,0), ，4分,设m是平面PBQ的一个法向量，则 可取m=(1,1,1), 12分 由图形可知二面角Q-BP-C为钝角， 故二面角Q-BP-C的余弦值为 14分,4.如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明：AEPD； (2)若PA=AB=2，求二面角E-AF-C的余弦值.,【解析】(1)由四边形ABCD为

4、菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC. 又BCAD，因此AEAD. 因为PA平面ABCD，AE平面ABCD， 所以PAAE. 而PA平面PAD，AD平面PAD且PAAD=A, 所以AE平面PAD. 又PD平面PAD，所以AEPD.,(2)由(1)知AE,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E,F分别为BC,PC的中点， 所以A(0，0，0)，B( ，-1，0)， D(0，2，0)，E( ，0，0)，,设平面AEF的一个法向量为m=(x1,y1,z2), 取z1=-1,则m=(0,2,-1). 因为BDAC，BDPA，PAAC=A， 所以BD平面AFC. 故 为平面AFC的一个法向量. 又 =(- ，3，0)，,因为二面角E-AF-C为锐角， 所以二面角E-AF-C的余弦值为,本节课学习了以下内容： 1用向量方法解决二面角的计算问题: 利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系. 首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关